第一节重积分的概念与性质_第1页
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第一节重积分的概念与性质第1页，共25页，2023年，2月20日，星期三解法:类似定积分解决问题的思想:给定曲顶柱体:底：

xoy面上的闭区域D.顶:

连续曲面侧面：以D的边界为准线,母线平行于z轴的柱面.求其体积.“划分,近似,求和,逼近(取极限)”

第2页，共25页，2023年，2月20日，星期三步骤如下：将

D任意划分为n个小闭区域在每个中任取一点则第

i小块的体积总体积取极限,得第3页，共25页，2023年，2月20日，星期三２．求平面薄片的质量在每个中任取一点则第i小块的质量步骤：将

D任意划分为n个小闭区域D取极限,得第4页，共25页，2023年，2月20日，星期三两个问题的共性：(1)解决问题的步骤相同(2)所求量的结构式相同曲顶柱体体积:

平面薄片的质量:

“划分,近似,求和,逼近(取极限)”

第5页，共25页，2023年，2月20日，星期三3.二重积分的概念第6页，共25页，2023年，2月20日，星期三积分区域积分和被积函数积分变量被积表达式面积元素第7页，共25页，2023年，2月20日，星期三若在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D，故二重积分可写为D则面积元素为对二重积分定义的说明：曲顶柱体体积:平面薄片的质量:

第8页，共25页，2023年，2月20日，星期三二重积分的几何意义：二重积分存在定理:(证明略)定理：第9页，共25页，2023年，2月20日，星期三性质１当为常数时，性质２（二重积分与定积分有类似的性质）二、二重积分的性质第10页，共25页，2023年，2月20日，星期三性质３对区域具有可加性性质４设为D的面积，性质５若在D上特别地则有第11页，共25页，2023年，2月20日，星期三例1.

比较下列积分的大小:其中解:

积分域D的边界为圆周它与x轴交于点(1,0),从而而域

D

位于直线的上方,故在D上

(仅在点(1,0)处取等号)第12页，共25页，2023年，2月20日，星期三解第13页，共25页，2023年，2月20日，星期三解第14页，共25页，2023年，2月20日，星期三性质６性质７（二重积分中值定理）（二重积分估值不等式）第15页，共25页，2023年，2月20日，星期三解第16页，共25页，2023年，2月20日，星期三解第17页，共25页，2023年，2月20日，星期三二重积分的定义二重积分的性质二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积）（和式的极限）小结第18页，共25页，2023年，2月20日，星期三被积函数相同,且非负,思考与练习解:

由它们的积分域范围可知1.

比较下列积分值的大小关系:第19页，共25页，2023年，2月20日，星期三2.

设D

是第二象限的一个有界闭域,且0<y<1,则的大小顺序为()提示:因0<y<1,故故在D上有第20页，共25页，2023年，2月20日，星期三3.证明:其中D为解:

利用题中x,y位置的对称性,有又D的面积为1,

故结论成立.第21页，共25页，2023年，2月20日，星期三练习题第22页，共25页，2023年，2月20日，星期

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