积分变换第讲拉普拉斯变换

积分变换第讲拉普拉斯变换1第1页，共35页，2023年，2月20日，星期二拉普拉斯变换2第2页，共35页，2023年，2月20日，星期二对于一个函数j(t),有可能因为不满足傅氏变换的条件,因而不存在傅氏变换.但是对之进行某些处理后，便可进行傅氏变换了。

①因此,首先将j(t)乘上u(t),这样t小于零的部分的函数值就都等于0了；

②而大家知道在各种函数中,指数函数ebt(b>0)的上升速度是最快的了,因而e-bt下降的速度也是最快的.

因此,几乎所有的实用函数j(t)乘上u(t)再乘上e-bt后得到的j(t)u(t)e-bt傅氏变换都存在。3第3页，共35页，2023年，2月20日，星期二tf(t)Otf(t)u(t)e-btO4第4页，共35页，2023年，2月20日，星期二对函数j(t)u(t)e-bt(b>0)取傅氏变换,可得5第5页，共35页，2023年，2月20日，星期二定义设函数f(t)当t0时有定义,而且积分在s的某一域内收敛,则由此积分所确定的函数可写为称此式为函数f(t)的拉普拉斯变换式(简称拉氏变换式--单边拉氏变换),记为

F(s)=L[f(t)]F(s)称为f(t)的拉氏变换(或称为象函数).而f(t)称为F(s)的拉氏逆变换(或象原函数)记为

f(t)=L

-1[F(s)]也可记为f(t)F(s).6第6页，共35页，2023年，2月20日，星期二例1求单位阶跃函数根据拉氏变换的定义,有这个积分在Re(s)>0时收敛,而且有7第7页，共35页，2023年，2月20日，星期二例2求指数函数f(t)=ekt的拉氏变换(k为实数).

根据(2.1)式,有这个积分在Re(s)>k时收敛,而且有其实k为复数时上式也成立,只是收敛区间为Re(s)>Re(k)8第8页，共35页，2023年，2月20日，星期二拉氏变换的存在定理若函数f(t)满足:

1,在t0的任一有限区间上分段连续

2,当t时,f(t)的增长速度不超过某一指数函数,即存在常数M>0及c0,使得

|f(t)|Mect,0t<

则f(t)的拉氏变换在半平面Re(s)>c上一定存在,右端的积分在Re(s)c1>c上绝对收敛而且一致收敛,并且在Re(s)>c的半平面内,F(s)为解析函数.9第9页，共35页，2023年，2月20日，星期二MMectf(t)tO10第10页，共35页，2023年，2月20日，星期二证由条件2可知,对于任何t值(0t<),有

|f(t)e-st|=|f(t)|e-btMe-(b-c)t,Re(s)=b,

若令b-ce>0(即bc+e=c1>c),则

|f(t)e-st|Me-et.

所以根据含参量广义积分的性质可知,在Re(s)c1>c上拉氏变换的积分不仅绝对收敛而且一致收敛.11第11页，共35页，2023年，2月20日，星期二在(2.1)式的积分号内对s求导,则由此可见,上式右端的积分在半平面Re(s)c1>c内也是绝对收敛且一致收敛,从而微分与积分可以交换顺序。12第12页，共35页，2023年，2月20日，星期二因此得这就表明,F(s)在Re(s)>c内是可微的.根据复变函数的解析函数理论可知,F(s)在Re(s)>c内是解析的.13第13页，共35页，2023年，2月20日，星期二例3求f(t)=sinkt(k为实数)的拉氏变换14第14页，共35页，2023年，2月20日，星期二同理可得15第15页，共35页，2023年，2月20日，星期二G-函数(gamma函数)简介,在工程中经常应用的G-函数定义为利用分部积分公式可证明16第16页，共35页，2023年，2月20日，星期二例4求幂函数f(t)=tm(常数m>-1)的拉氏变换.为求此积分,若令st=u,s为右半平面内任一复数,则得到复数的积分变量u.因此,可先考虑积分17第17页，共35页，2023年，2月20日，星期二积分路线是OB直线段,B对应着

sR=rRcosq+jrRsinq,A对应着rRcosq,取一很小正数e,则C对应se=recosq+jresinq,

D对应recosq.考察R,的情况.qaODCAt(实轴)虚轴Bv18第18页，共35页，2023年，2月20日，星期二根据柯西积分定理,有19第19页，共35页，2023年，2月20日，星期二20第20页，共35页，2023年，2月20日，星期二21第21页，共35页，2023年，2月20日，星期二同理22第22页，共35页，2023年，2月20日，星期二23第23页，共35页，2023年，2月20日，星期二例5求周期性三角波且f(t+2b)=f(t)的拉氏变换bOb2b3b4btf(t)24第24页，共35页，2023年，2月20日，星期二25第25页，共35页，2023年，2月20日，星期二26第26页，共35页，2023年，2月20日，星期二对一般周期函数也成立27第27页，共35页，2023年，2月20日，星期二满足拉氏变换存在定理条件的函数f(t)在t=0处有界时,积分中的下限取0+或0-不会影响其结果.但如果f(t)在t=0处包含脉冲函数时,就必须明确指出是0+还是0-,因为28第28页，共35页，2023年，2月20日，星期二当f(t)在t=0处有界时,则当f(t)在t=0处包含了脉冲函数时,则29第29页，共35页，2023年，2月20日，星期二为了考虑这一情况,需将进行拉氏变换的函数f(t),当t0时有定义扩大为当t>0及t=0的任意一个邻域内有定义.这样,原来的拉氏变换的定义但为了书写方便起见,仍写成(2.1)式的形式.30第30页，共35页，2023年，2月20日，星期二例6求单位脉冲函数d(t)的拉氏变换.解：31第31页，共35页，2023年，2月20日，星期二例7求函数f(t)=e-btd(t)-be-btu(t)(b>0)的拉氏变换.解：32第32页，共35页，2023年，2月20日，星期二在今后的实际工作中,我们并不要求用广义积分的方法来求函数的拉氏变换,有现成的拉氏变换表可查,就如同使用三角函数表,