2023届黑龙江省龙西北八校联合体高三下学期开学考试数学试题（解析版）

试卷第=page22页，共=sectionpages44页第Page\*MergeFormat12页共NUMPAGES\*MergeFormat14页2023届黑龙江省龙西北八校联合体高三下学期开学考试数学试题一、单选题1．若复数z满足，则（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及共轭复数和复数模公式，即可求解【详解】依题意有：复数，则.故选：D2．设集合，，则（

）A．（﹣∞，2） B．（﹣1，0] C．（﹣1，2） D．（﹣1，0）【答案】B【分析】解对数不等式化简集合，解一元二次不等式化简集合，根据补集运算可得结果.【详解】∵集合，，∴，故选：B.【点睛】本题主要考查了对数与二次不等式的求解以及集合的补集运算.属于基础题.3．已知则p是q的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据解分式不等式的方法，结合充分不必要条件的定义进行判断即可.【详解】或，显然由p一定能推出q，但是由q不一定能推出p，所以p是q的充分不必要条件，故选：A4．已知角的终边经过点（3，-7），将角的终边顺时针旋转后得到角，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】运用公式求得的值，再运用正切差角公式计算即可.【详解】由题意知，，又因为，所以.故选：A.5．某单位安排甲、乙、丙、丁四人去、、三个劳动教育基地进行社会实践，每个人去一个基地，每个基地至少安排一个人，则乙被安排到基地的排法总数为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】对基地安排的人数进行分类讨论，利用分类加法计数原理可得结果.【详解】分以下两种情况讨论：若基地只安排乙一人，将其余人分为组，人数分别为、，此时不同的排法种数为种；若基地安排两人，则需从甲、丙、丁中再选择一人安排至基地，此时不同的排法种数为.综上所述，乙被安排到基地的排法总数为种.故选：B.6．已知抛物线的焦点为，准线为，过上的一点作的垂线，垂足为，点，与相交于点．若，且的面积为，则的方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】设点，根据给定条件，结合抛物线定义用p表示点A的坐标，再利用三角形面积求出p值作答.【详解】设点，抛物线的焦点，准线，由得：，解得，不妨令点A在第一象限，则，，如图，因为，则，即有点D到x轴距离，，解得，所以的方程为.故选：C7．已知等比数列的前n项和为，若，，且，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设等比数列的公比为，由，，列方程求出，进而可求出，结合指数函数的性质求出的最大、小值，列不等式组即可求出的取值范围【详解】解：设等比数列的公比为，因为，，所以，解得，所以，当x为正整数且奇数时，函数单调递减，当x为正整数且偶数时，函数单调递增，所以时，取得最大值，当时，取得最小值，所以，解得.故选：B.8．已知函数，若有三个零点，则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题可知时，函数至多有一个零点，进而可得时，要使得有两个零点，然后根据二次函数的性质结合条件即得.【详解】当时，单调递增且，此时至多有一个零点，若有三个零点，则时，函数有两个零点；当时，，故；当时，要使有两个零点，则，所以，又，所以实数m的取值范围是.故选：C.二、多选题9．微信运动是由腾讯开发的一个类似计步数据库的公众账号．用户可以通过关注微信运动公众号查看自己每天行走的步数，同时也可以和其他用户进行运动量的或点赞，某学校为了解学生每周行走的步数，从高一、高二两个年级分别随机调查了200名学生，得到高一和高二学生每周行走步数的频率分布直方图，如图所示．若高一和高二学生每周行走步数的中位数分别为，，平均数分别为，，则（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】分别求出满意度评分中位数分别为,平均数分别为,即可比较大小.【详解】由频率分布直方图，，，，则，，进行数据分析可得:，解得，，解得所以满意度评分中位数，故B正确，，，所以满意度评分平均数，故D正确，故选：BD.10．长方体中，，，，则（

）A．到平面的距离为B．到平面的距离为C．沿长方体的表面从到的最短距离为D．沿长方体的表面从到的最短距离为【答案】AC【分析】利用体积相等求出点到平面的距离即可判断选项和；求点到的最短距离，由两点之间直线段最短，想到需要把长方体剪开再展开，把到的最短距离转化为求三角形的边长问题，根据实际图形，应该有三种展法，展开后利用勾股定理求出每一种情况中的长度，比较三个值的大小后即可得到结论，进而判断和.【详解】如图，连接，因为，，，所以，，，在中，由余弦定理可得：，所以，则，又，设点到平面的距离为，由体积相等可得：，即，所以，解得：，故选项正确；选项错误；长方体的表面可能有三种不同的方法展开，如图所示：，，，表面展开后，依第一个图形展开，则；依第二个图形展开，则；依第三个图形展开，则；三者比较得：点沿长方形表面到的最短距离为，故选项正确，选项错误，故选：.11．下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】对于选项A，运用指数函数、对数函数单调性比较即可；对于选项B，构造函数运用函数的单调性比较即可；对于选项C，作差后运用基本不等式判断；对于选项D，寻找中介值比较即可.【详解】对于选项A，因为，所以，，所以，故选项A错误；对于选项B，设，则，又因为，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，即：，又因为，所以.故选项B正确；对于选项C，，因为，所以，所以，即：.故选项C正确；对于选项D，因为，所以，所以，又因为，所以，所以，所以.故选项D正确.故选：BCD.12．已知函数，则下列说法正确的是（

）A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称C．在上单调递增 D．的值域为【答案】BCD【分析】计算是否成立可判断A项，运用周期性计算是否成立即可判断B项，对于C项，运用导数判断在上的符号即可，对于D项，运用导数研究在一个周期内的单调性进而可求得值域.【详解】对于A项，因为，所以不是的最小正周期，故A项错误；对于B项，由A项知，的一个周期为，又因为，，所以，所以关于对称，故B项正确；对于C项，由题意知，，当时，，则，即：，所以，所以在上单调递增，故C项正确；对于D项，由A项知，的一个周期为，由C项知，，当时，，则，即：，所以，所以在上单调递减，又因为，，，所以，，所以的值域为，故D项正确.故选：BCD.三、填空题13．若向量，，且，共线，则______．【答案】【分析】根据向量共线的充要条件得出，然后利用向量的坐标运算即可求解.【详解】因为，共线，所以，解得：，所以，，所以，故答案为：.14．请写出与曲线在处具有相同切线的另一个函数：______．【答案】（答案不唯一）【分析】利用导数的几何意义可求得在处的切线斜率，由此可得切线方程；若两曲线在原点处具有相同切线，只需满足过点且在处的导数值即可，由此可得曲线方程.【详解】的导函数为，又过原点，在原点处的切线斜率，在原点处的切线方程为；所求曲线只需满足过点且在处的导数值即可，如，，又过原点，在原点处的切线斜率，在原点处的切线方程为.故答案为:（答案不唯一）.15．如图，已知椭圆C：的左、右顶点分别为A，B，点P是直线上的一点，直线PB交C于另外一点M，记直线PA，AM的斜率分别为，，则______．【答案】【分析】设，由斜率公式可得，设，则有，由，可得.【详解】，，设，则，直线PB的斜率．设，则有，由，，所以，所以，故．故答案为：16．如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠ACB＝90°，PA＝CA＝CB＝2，若D，E分别为棱PA，AB的中点，过C，D，E三点的平面截三棱锥P－ABC的外接球，则截面的面积为______．【答案】【分析】将三棱锥放入到一个正方体中，则三棱锥的外接球即为该正方体的外接球，利用正方体的棱长求出外接球半径，用向量法求球心到截面距离，几何法求截面面积.【详解】由PA⊥平面ABC，∠ACB＝90°，PA＝CA＝CB＝2，将三棱锥P－ABC放入到一个正方体中（如图），则三棱锥P－ABC的外接球即为该正方体的外接球，该外接球的球心为正方体的中心O（体对角线的中点），因为，所以外接球的半径，以C为原点，的方向为轴，轴，轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，，，，，，，，设平面CDE的一个法向量，，令，，则，点O到平面CDE的距离为，所以平面CDE截球所得截面的半径，故所求截面的面积为．故答案为：【点睛】方法点睛：三垂直的四面体的外接球问题，把该四面体补充成正方体或者长方体.四、解答题17．已知为等差数列的前n项和，，．(1)求的通项公式；(2)若，的前n项和为，证明：．【答案】(1)；(2)详见解析.【分析】（1）设数列的公差为，将已知条件转化为关系，即可求解；（2）根据通项公式，用裂项相消法求出和，即可证明结论.【详解】（1）由设数列的公差为，则解得，，所以是首项为3，公差为2的等差数列，所以；（2）由，可得，所以,又，故.18．已知的内角的对边分别为，为钝角．若的面积为，且．(1)证明：；(2)求的最大值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）利用余弦定理及面积公式将条件变形得，再利用诱导公式及三角函数的性质可证明结论；（2）利用（1）的结论及三角公式，将转化为关于的二次函数，然后配方可以求最值.【详解】（1）由余弦定理得，，，，为钝角，则均为锐角，，即；（2），令，为钝角，则，，当，即时，取最大值，且为.19．如图，在三棱锥中，与都为等边三角形，平面平面，，分别为，的中点，且，在棱上，且满足，连接．(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）连接，利用三角形重心定理结合已知证得，再利用线面平行的判定推理作答.（2）以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解线面角的正弦作答.【详解】（1）在三棱锥中，，分别为，的中点，则是的重心，而，则，连接，如图，，而平面，平面，所以平面.（2）因为与都为等边三角形，则，又平面平面，有，即，以点O为原点，射线分别为轴非负半轴建立空间直角坐标系，令，则，，设平面的一个法向量，则，令，得，令直线与平面所成的角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值是.20．受社会对高素质人才不断扩大的需求和就业形势等多方面因素的影响，我国本科毕业生中考研人数在不断攀升，2021年考研人数是377万人，2022年考研人数为457万人，比上年增加80万人，有关机构估计2023年研究生报名人数将突破500万人．某省统计了该省五所大学2022年的本（专）科大学毕业生人数及考研人数（单位：千人），得到如下表格：A大学B大学C大学D大学E大学2022年毕业人数x（千人）7.86.24.63.432022年考研人数y（千人）0.50.40.30.20.2(1)已知与具有较强的线性相关关系，求关于的线性回归方程；(2)假设该省对选择考研的大学生每人发放0.6万元的补贴．若A大学的2022年的毕业生中小常、小郭选择考研的概率分别为p、，该省对小常、小郭两人的考研补贴总金额的期望不超过0.96万元，求p的取值范围．参考公式：，．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据回归方程的公式计算即可得答案；（2）设小常、小郭两人中选择考研的人数为，补贴为万元，则，进而计算其数学期望，解不等式即可得答案.【详解】（1）解：由题意得，，又，，所以，，所以，所以，故得y关于x的线性回归方程为．（2）解：设小常、小郭两人中选择考研的人数为，则的可能值为0、1、2，，，，所以．设补贴为万元，则，所以，所以，又因为，解得，所以，p的取值范围为．21．已知双曲线Γ：，，为Γ的左、右顶点，为Γ上一点，的斜率与的斜率之积为．过点且不垂直于x轴的直线l与Γ交于M，N两点．(1)求Γ的方程；(2)若点E，F为直线上关于x轴对称的不重合两点，证明：直线ME，NF的交点在定直线上．【答案】(1)；(2)详见解析.【分析】（1）由题可知，根据条件列出方程组，进而即得；（2）设直线MN的方程为，联立双曲线方程求得，再由直线和的方程，求得交点的横坐标，即可求解．【详解】（1）由题意得，又为Γ上一点，的斜率与的斜率之积为，所以，解得，所以双曲线Γ的标准方程为；（2）设直线MN的方程为，由，可得，则，，设，，，，，所以，直线：，：，联立两方程，可得：，解得，当直线与x轴重合时，则，：，：，联立可得，综上，直线ME与NF的交点在定直线上.22．已知．(1)求证：当x>0时，(2)若不等式，（其中）恒成立时，实数m的