北师大版-选修4-1-第一章 直线、多边形、圆 市赛一等奖

一、选择题1．一个直角三角形两条直角边的比为1∶eq\r(5)，则它们在斜边上的射影比为()A．1∶2 B．1∶3C．1∶eq\r(5) D．1∶5【解析】设Rt△ABC中∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，eq\f(AC,BC)＝eq\f(1,\r(5))，则AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB，∴eq\f(AD,BD)＝(eq\f(AC,BC))2＝(eq\f(1,\r(5)))2＝eq\f(1,5).【答案】D2．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，若eq\f(AC,AB)＝eq\f(3,4)，则eq\f(BD,CD)等于()\f(3,4) \f(4,3)\f(16,9) \f(9,16)

【解析】如图，由射影定理，得AC2＝CD·BC，AB2＝BD·BC，∴eq\f(AC2,AB2)＝eq\f(CD,BD)＝(eq\f(3,4))2，即eq\f(CD,BD)＝eq\f(9,16)，∴eq\f(BD,CD)＝eq\f(16,9).【答案】C3．在Rt△ACB中，∠C＝90°，CD⊥AB于D，若BD∶AD＝1∶4，则tan∠BCD的值是()\f(1,4) \f(1,3)\f(1,2) D．2【解析】如图，由射影定理得CD2＝AD·BD，又∵BD∶AD＝1∶4，令BD＝x，则AD＝4x(x＞0)∴CD2＝AD·BD＝4x2，∴CD＝2x.在Rt△CDB中，tan∠BCD＝eq\f(BD,CD)＝eq\f(x,2x)＝eq\f(1,2).【答案】C4．在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AD∶BD＝2∶3，则△ACD与△CBD的相似比为()A．2∶3 B．4∶9\r(6)∶3 D．不确定【解析】如图所示，在Rt△ACB中，CD⊥AB，由射影定理得：CD2＝AD·BD，即eq\f(CD,AD)＝eq\f(BD,CD).又∵∠ADC＝∠BDC＝90°，∴△ACD∽△CBD.又∵AD∶BD＝2∶3，令AD＝2x，BD＝3x(x＞0)，∴CD2＝6x2，∴CD＝eq\r(6)x.∴△ACD与△CBD的相似比为eq\f(AD,CD)＝eq\f(2x,\r(6)x)＝eq\f(\r(6),3)，即相似比为eq\r(6)∶3.【答案】C二、填空题5．如图1－1－49所示，在矩形ABCD中，AE⊥BD，OF⊥AB，DE∶EB＝1∶3，OF＝a，则对角线BD的长为________．图1－1－49【解析】由题意知，AD＝2a，DE＝eq\f(1,4)BD，∴AD2＝DE·BD＝eq\f(1,4)BD2，∴BD2＝4AD2＝16a2，∴BD＝4a.【答案】4a6．已知在梯形ABCD中，DC∥AB，∠D＝90°，AC⊥BC，AB＝10cm，AC＝6cm，则此梯形的面积为________．【解析】如图，过C点作CE⊥AB于E.在Rt△ACB中，∵AB＝10cm，AC＝6cm，∴BC＝8cm，∴BE＝cm，AE＝cm.∴CE＝eq\r×＝(cm)，∴AD＝cm.又∵在梯形ABCD中，CE⊥AB，∴DC＝AE＝cm.∴S梯形ABCD＝eq\f(10＋×,2)＝(cm2)．【答案】cm2三、解答题7．如图1－1－50所示，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，BE平分∠ABC交AC于E，EF⊥BC于F，且BD·CF2＝CD·EF2.求证：EF∶DF＝BC∶AC.图1－1－50【证明】∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，由射影定理知AC2＝CD·BC，即eq\f(AC,CD)＝eq\f(BC,AC).∵BE平分∠ABC，EA⊥AB，EF⊥BC，∴AE＝EF.∵EF⊥BC，AD⊥BC，∴EF∥AD.∴eq\f(AE,DF)＝eq\f(AC,DC).∴eq\f(EF,DF)＝eq\f(AC,DC).∴eq\f(EF,DF)＝eq\f(BC,AC).即EF∶DF＝BC∶AC.8．(2013·开封模拟)已知直角三角形周长为48cm，一锐角平分线分对边为3∶5两部分.(1)求直角三角形的三边长；(2)求两直角边在斜边上的射影的长．【解】(1)如图，设CD＝3x，BD＝5x，则BC＝8x，过D作DE⊥AB，由题意可得，DE＝3x，BE＝4x，∴AE＋AC＋12x＝48.又AE＝AC，∴AC＝24－6x，AB＝24－2x，∴(24－6x)2＋(8x)2＝(24－2x)2，解得：x1＝0(舍去)，x2＝2，∴AB＝20，AC＝12，BC＝16，∴三边长分别为：20cm,12cm,16cm.(2)作CF⊥AB于F，∴AC2＝AF·AB，∴AF＝eq\f(AC2,AB)＝eq\f(122,20)＝eq\f(36,5)(cm)；同理：BF＝eq\f(BC2,AB)＝eq\f(162,20)＝eq\f(64,5)(cm)．∴两直角边在斜边上的射影长分别为eq\f(36,5)cm，eq\f(64,5)cm.9．如图1－1－51，四边形ABCD是正方形，E为AD上一点，且AE＝eq\f(1,4)AD，N是AB的中点，NF⊥CE于F.求证：FN2＝EF·FC.图1－1－51【证明】分别连接NE，NC.设正方形的边长为a.∵AE＝eq\f(1,4)a，AN＝eq\f(1,2)a，∴NE＝eq\r(\f(a2,16)＋\f(a2,4))＝eq\f(\r(5)a,4).∵BN＝eq\f(1,2)a，BC＝a，∴NC＝eq\r(\f(a2,4)＋a2)＝eq\f(\r(5)a,2).∵DE＝eq\f(3,4)a，DC＝a，∴EC＝eq\r(\f(9a2,16)＋a2)＝eq\f(5a,4).∴NE2＝eq\f(5a2,16)，NC2＝eq\f(5a2,4)，EC2＝eq\f(25a2,16)，∴NE2＋NC2＝eq\f(25a2,16)，∴NE2＋NC2＝EC2，∴EN⊥CN，∴FN2＝EF·FC.10.已知如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，DE⊥AC于E，DF⊥BC于F.求证：CD3＝AE·BF·AB.【解】∵∠BCA＝90°，CD⊥BA，∴CD2＝AD·BD.又∵