金属塑性变形的力学基础

金属塑性变形的力学基础第1页/共154页塑性理论的几点假设变形体是连续的变形体是均质的和各向同性的在变形的任意瞬间，力的作用是平衡的在一般情况下，忽略体积力的影响且初应力为0在变形的任意瞬间体积不变第2页/共154页§2.1金属塑性成形过程的受力分析作用于金属的外力可以分为两类：作用在金属表面上的力，为面力作用在金属每个质点上的力，为体积力。第3页/共154页

面力面力可分为作用力、反作用力和摩擦力。

作用力：是由塑性加工设备提供的，用于使金属坯料产生塑性变形。

反作用力：是工具反作用于金属坯料的力。摩擦力：金属在外力作用下产生塑性变形时，在金属与工具的接触面上产生阻止金属流动的摩擦力第4页/共154页

体积力

体积力是与变形体内各质点的质量成正比的力，如重力、磁力和惯性力等。对一般的塑性成形过程，由于体积力与面力相比要小得多，可以忽略不计。但在加速度较大的场合，体积力不能忽略。

第5页/共154页内力定义：内力是材料内部所受的力，它的产生来自于外界作用和物体内维持自身完整性的力。当外界作用于物体时，迫使原子间距发生变化，而原子则以力的形式与外界抗衡，以恢复稳定位置，保持原有的间距。所以内力是物体抵抗外界作用而产生于内部各部分之间相互平衡的力。第6页/共154页§2.2变形体内一点的应力状态分析1.应力分析的截面法2.三维坐标系的应力分量和应力张量3.任意斜面上的应力4.主应力和应力不变量第7页/共154页5.主切应力和最大切应力6.应力球张量和应力偏张量7.八面体应力和等效应力8.应力平衡微分方程9.平面应力状态和轴对称应力状态10.应力莫尔圆第8页/共154页1.应力分析的截面法应力：是单位面积上的内力，其定义式为：=S=第9页/共154页第10页/共154页第11页/共154页2.三维坐标系的应力分量和应力张量第12页/共154页第13页/共154页第14页/共154页3.任意斜面上点的应力状态

现考察变形体内任一点M某一斜面上的应力情况。设过M点三个坐标面上的应力为已知。设斜面与三个坐标轴的截距为dx、dy、dz，以四面体近似表示点，从而斜面近似通过M点（见图1-3）。斜面外法线n的方向余弦分别为：第15页/共154页图1-3四面体受力示意图

第16页/共154页

若斜面ABC的面积为dA，则dA在三个坐标面上的投影面积分别为：

dAx=ldA；dAy=mdA；dAz=ndA

现设斜面ABC上的全应力为S，它在三个坐标轴方向的分量为Sx、Sy、Sz，由于四面体QABC出于平衡状态，由静力平衡条件第17页/共154页

则有：

第18页/共154页于是可求得全应力为:全应力S在法线N上的投影就是斜面上的正应力，它等于Sx、Sy、Sz在N上的投影之和。第19页/共154页若令：则有：其中：称为应力张量。第20页/共154页若质点处于边界，设外力为F，则有：第21页/共154页4.主应力与应力张量不变量

主应力是指作用面上无切应力时所对应的正应力，该作用面称作主平面，法线方向为主轴或主方向。

第22页/共154页设主应力为，当为主方向时，有，代入（式2.6），整理，有：第23页/共154页解的非零解，必有系数行列式值为零，最终可得其中称作应力张量的第一、二、三不变量。第24页/共154页

上式称为应力状态特征方程。可以证明该方程必然有一组唯一的三个实根，它的三个实根就是三个主应力。将所得的主应力值带入（2-11）中的任意两式，并与式（2-12）联解，便可求出三个互相垂直的主方向。第25页/共154页以上分析表明，一定，主应力与I1，I2，I3的大小就完全确定。因此，一点的应力状态也可用主应力来表示。特别是，当坐标轴与主轴相重合时，的表现形式最为简洁。同样I1，I2，I3的形式也可简化。不论坐标系怎样变化，一点的主应力与应力张量不变量保持恒定。第26页/共154页应力椭球面

应力椭球面是在主轴坐标系中点的应力状态的几何表达。有式（2-6a）可得

于是得第27页/共154页上式就是椭球面方程，其主半轴的长度分别等于。这个椭球面称为应力球椭球面，如图2-8所示。对一个确定的应力状态，任意斜面上全应力矢量S的端点必然在椭球面上。在三个主应力中，如果有两个主应力为零，叫单向应力状态。属圆柱应力状态。如果一个主应力为零，则是两向应力状态，为某个平面上的椭圆轨迹。如三个主应力都相等，则为球应力。第28页/共154页主应力图

受力物体内一点的应力状态可用作用在应力单元上的主应力来描述，只用主应力的个数及符号来描述一点应力状态的简图称为主应力图（见书本图2-10）主应力图共有九种，各主应力符号相同的称为同号主应力，符号不同的，称为异号主应力图。第29页/共154页5.主切应力和最大切应力

切应力也随着斜面上的方位而改变，当斜面上的切应力为极大值时，该切应力称为主切应力。主切应力作用的平面称为主切应力平面。主切应力平面共有12个，它们分别与一个主平面垂直，与另外两个主平面交成45°角。第30页/共154页6.应力球张量和应力偏张量

1.应力张量的分解塑性变形时体积变化为零，只有形状变化。因此，可以把分解成与体积变化有关的量和与形状有关的量。前者称应力球张量，后者称应力偏张量。设为平均应力，则有：

第31页/共154页按照应力叠加原理，具有可分解性。因此有：式中当时，；当时，第32页/共154页

上式中右边的后一项表示球应力的状态，故称应力球张量。其任何方向都是主方向，而且主应力相同，均为平均应力。由于球应力状态在任何斜面上都没有切应力，所以它不能使物体产生形状变化（塑性变形），只能产生体积变形。如胀性成形。第33页/共154页

上式右边的前一项称为应力偏张量，它是由原来的应力张量分解出球张量后得到的。由于被分解出的应力球张量没有切应力，任意方向都是主方向且主应力相等。因此，应力偏张量的切应力分量、主切应力、最大切应力以及应力主轴等都与原应力张量相同。因而应力偏张量使物体产生形状的变化，而不产生体积变化，材料的塑性变形就是由应力偏张量引起的。第34页/共154页应力偏张量不变量

应力偏张量仍然是一个二阶对称张量，同样有三个不变量，分别为。第35页/共154页

表明应力偏张量已不含平均应力成份。与屈服准则有关，反映了物体形状变化的程度。反映了变形的类型：表示广义拉伸变形；表示广义剪切变形，表示广义压缩变形。

第36页/共154页7.八面体应力和等效应力

1．八面体应力

在主应力空间中，每一掛限中均有一组与三个坐标轴成等倾角的平面，八个掛限共有八组，构成正八面体，简称八面体面。八面体表面上的应力为八面体应力。第37页/共154页八面体的余弦：代入式（2-8a）和（2-9a）中，可求得八面体正应力和八面体切应力：第38页/共154页

由上面两式可以看出，就是平均应力，即球应力，是不变量。则是与应力球张量无关的不变量，反映了三个主切应力的综合效应，与应力偏量第二不变量有关。第39页/共154页

用任意坐标系应力分量表示八面体应力第40页/共154页意义Ⅰ：三组主平面，应力空间中构成平行六面体。Ⅱ：六组主切平面，在应力空间构成十二面体。Ⅲ：四组八面体面，构成正八面体。总共有26个，这些平面上的应力值，对研究一点的应力状态有重要的作用。图1-4应力球与特殊面

第41页/共154页2．等效应力

为了使不同应力状态具有可比性，定义了等效应力（应变能相同的条件下），也称相当应力或应力强度。第42页/共154页等效应力特点等效应力是一个不变量等效应力在数值上等于单向均匀拉伸（压缩）时的拉伸（压缩）应力。等效应力并不代表某一实际表面上的应力，因而不能在某一特定平面上表示出来。等效应力可以理解为代表一点应力状态中应力偏张量的综合作用。第43页/共154页八、应力平衡微分方程

应力平衡微分方程就是物体任意无限相邻二点间关系，可以通过微体沿坐标轴力平衡来得到，一般应力平衡方程在不同坐标系下有不同的表达形式。第44页/共154页直角坐标下的平衡微分方程

假设物体为连续介质。无限邻近二点的应力状态分别为，

（见图1-8）。假设的连续可导则有：

第45页/共154页图1-8直角坐标系微体受力第46页/共154页

直角坐标下的应力平衡微分方程*

即（不计体力）

物理意义：表示变形体内无限相邻两质点的点的应力状态的关系。对弹性变形和塑性变形均适用。第47页/共154页

推导原理：静力平衡条件：

静力矩平衡条件：泰勒级数展开：

第48页/共154页圆柱坐标下的应力平衡微分方程

第49页/共154页九、平面应力状态和轴对称应力状态在变形体为板料或薄壁件时，则认为某个平面上没有应力的作用，这就是平面应力状态。第50页/共154页平面应力状态的特点①变形体内各质点在与某一方向垂直的平面上没有应力作用,即②沿z轴方向均匀分布，即应力分量与z轴无关，对z轴的偏导数为零。第51页/共154页平面应力状态的应力张量或第52页/共154页平面应力状态下的主切应力为：主应力为：一般，z方向有应变，只有纯剪切时，z向既无应力也无应变。第53页/共154页平面应变状态的应力

变形物体在某一方向不产生变形，称为平面变形，其应力状态称为平面应变状态下的应力状态，发生变形的平面称为塑性流平面。第54页/共154页平面应变的应力状态特点①

不产生变形的方向为主方向，与该方向垂直的平面没有切应力；②在z方向有阻止变形的正应力；③所有应力分量沿z轴均匀分布，即与z轴无关，对z的偏导数为零。第55页/共154页平面应变状态下的应力张量为：第56页/共154页在主轴坐标系中应力张量平面应变的应力状态=纯剪切+应力球状态第57页/共154页轴对称应力状态特征：应力张量第58页/共154页应力微分方程第59页/共154页十、应力莫尔圆应力莫尔圆是表示点的应力状态的一种几何方法。已知某点的一组应力分量或主应力，就可以利用应力莫尔圆通过图解法来确定过该点任意斜面上的正应力和切应力。

注意：作应力莫尔圆时，顺时针作用于所研究的单元体上的切应力为正，反之为负；正应力拉为正，压为负。第60页/共154页1、平面应力状态的莫尔圆由于：,代入方程组设斜面法线N与X轴夹角是，如图有：第61页/共154页可得：消去第62页/共154页圆心：半径：第63页/共154页

图2-19平面应力状态莫尔圆莫尔圆上每一点表示一个垂直xoy坐标面（平行于z轴）的斜面上的正应力和切应力。莫尔圆上两点的圆心角是实际物理平面夹角的两倍（逆时针旋转）。练习：1画出纯剪切状态下（）应力莫尔圆。第64页/共154页2三向应力莫尔圆设可得：第65页/共154页三圆一定相交于一点（为什么），交点坐标即为斜面上的正应力和切应力。第66页/共154页若l、m、n分别为0，则可得：第一式表示的圆上的点为法向量n=0的平面上的正应力和切应力。此三式即为三向应力莫尔圆。第67页/共154页若第68页/共154页以上三式说明：过某质点任意斜面上的应力一定在三个莫尔圆相交的阴影区域。应力球张量在莫尔圆上仅为一点，坐标为应力偏张量与应力球张量莫尔圆大小形状相同，仅将轴右移。第69页/共154页3.平面应变状态的应力莫尔圆平面应变状态第70页/共154页第71页/共154页练习：某点应力状态。画出应力单元体求主应力和主方向画出应力莫尔圆，标出x、y、z面在圆上的位置第72页/共154页§2.3变形体内一点的应变状态分析应变是表示变形大小的物理量应变是由位移引起的。（有应变一定有位移，反之不一定，应排除刚性位移。）以下结论适用于小变形（～的弹塑性变形）第73页/共154页质点的应变状态位移及其分量或位移增量：第74页/共154页线应变和切应变线应变表示线元长度的相对变化率，切应变表示相交两线元夹角的变化。第75页/共154页线应变：线元伸长时为正，缩短时为负。第76页/共154页工程切应变（相对切应变）：切应变：

∠CPA减小时为正，反之为负；角标1表示线元方向，角标2表示线元偏转方向。第77页/共154页？为什么用表示切应变第78页/共154页应变分量和应变张量(straintensor)其中：第79页/共154页点的应变状态和应力状态的类比

1.由可求得任意方向的线应变和切应变位移分量应排除由刚性转动应起的相对位移分量第80页/共154页2.存在三个相互垂直的主方向该方向上只有线应变，没有切应变。3.存在三个应变张量不变量4.主应变和主切应变5.应变张量=应变偏张量6.八面体应变和等效应变见书P41-P42第81页/共154页应变与位移关系方程1

几何方程2

变形连续方程第82页/共154页

1

几何方程

第83页/共154页

讨论：

1.物理意义：表示位移(displacement)

与应变(strain)之间的关系；

2.位移包含变形体内质点的相对位移（产生应变）和变形体的刚性位移（平动和转动）；

3.工程剪应变理论剪应变

第84页/共154页4.应变符号规定：正应变或线应变()：伸长为正，缩短为负；剪应变或切应变（）：夹角减小为正，增大为负；5.推导中应用到小变形假设、连续性假设及泰勒级数展开等。第85页/共154页2

变形连续方程第86页/共154页讨论：

1.物理意义：表示各应变分量之间的相互关系“连续协调”即变形体在变形过程中不开裂，不堆积；

2.应变协调方程说明：同一平面上的三个应变分量中有两个确定，则第三个也就能确定；在三维空间内三个切应变分量如果确定，则正应变分量也就可以确定；

3.如果已知位移分量，则按几何方程求得的应变分量自然满足协调方程；若是按其它方法求得的应变分量，则必须校验其是否满足连续性条件。第87页/共154页

应变增量

全量应变

前面所讨论的应变是反映单元体在某一变形过程或某一变形阶段终了时的总变形大小，称作全量应变。增量应变将变形物体在变形过程中任意瞬间的形状和尺寸作为初始状态，在此基础上产生的无限小应变，称作增量应变或应变增量。第88页/共154页应变增量也是二阶对称张量。第89页/共154页应变速率张量

速度场和速度分量或速度场：速度分量：位移增量：第90页/共154页应变速率（变形速度）和一样，是描述某瞬时的变形状态。当不考虑对材质影响时，用和计算结果一致。若对于敏感的材料（如超塑性材料），应用计算。第91页/共154页应变速率张量应变速率几何方程：第92页/共154页例题：第93页/共154页塑性变形程度的表达式相对应变(平均应变）对数应变（真实应变）第94页/共154页是一种全量应变。两种应变的关系或对数应变的特点对数应变具有可加性当很小时，第95页/共154页对数应变为可比应变对数应变是全量应变，只有当变形过程中主应变方向始终不变时，对数应变才等于实际应变。第96页/共154页塑性变形的体积不变条件证明过程见P51，自习第97页/共154页

主应变图与变形程度表示主变形图是定性判断塑性变形类型的图示方法。主变形图只可能有三种形式第98页/共154页主应力、主应变图示：主应力—9种；主应变—3种[但只有23种可能的应力应变组合（塑性变形力学图），为什么？]第99页/共154页变形程度表示绝对变形量

——指工件变形前后主轴方向上尺寸的变化量相对变形

——指绝对变形量与原始尺寸的比值，常称为形变率真实变形量

——即变形前后尺寸比值的自然对数第100页/共154页应力应变分析的相似性与差异性相似性：张量表示、张量分析、张量关系相似

第101页/共154页

差异性：概念：应力研究面元ds上力的集度应变研究线元dl的变化情况内部关系：应力—应力平衡微分方程应变—应变连续（协调）方程弹性变形：相容方程塑性变形：体积不变条件

第102页/共154页等效关系：等效应力—弹性变形和塑性变形表达式相同等效应变—弹性变形和塑性变形表达式不相同对于弹性变形：（——泊松比）对于塑性变形：第103页/共154页

真实应力和真实应变含义：

表示某瞬时的应力值表示对某瞬时之前的应变的积分第104页/共154页塑性变形程度的表达式塑性指标的测量方法塑性指标第105页/共154页塑性指标概念：金属在破坏前产生的最大变形程度，即极限变形量。表示方法：断面收缩率延伸率冲击韧性最大压缩率扭转角（或扭转数）弯曲次数第106页/共154页塑性指标的测量方法拉伸试验法压缩试验法扭转试验法轧制模拟试验法第107页/共154页拉伸试验法式中：L0——拉伸试样原始标距长度；

Lh——拉伸试样破断后标距间的长度；

F0——拉伸试样原始断面积；

Fh——拉伸试样破断处的断面积

第108页/共154页压缩试验法

简单加载条件下，压缩试验法测定的塑性指标用下式确定：

式中：

——压下率；

H0——试样原始高度；

Hh——试样压缩后，在侧表面出现第一条裂纹时的高度第109页/共154页扭转试验法

对于一定试样，所得总转数越高，塑性越好，可将扭转数换作为剪切变形（γ

）。

式中：R——试样工作段的半径；

L0——试样工作段的长度；

n——试样破坏前的总转数。

第110页/共154页轧制模拟试验法

在平辊间轧制楔形试件，用偏心轧辊轧制矩形试样，找出试样上产生第一条可见裂纹时的临界压下量作为轧制过程的塑性指标。

第111页/共154页§2.4屈服准则

又称塑性条件(plasticconditions)或屈服条件(yieldconditions)，它是描述不同应力状态下变形体某点进入塑性状态并使塑性变形继续进行所必须满足的力学条件。用屈服函数(yieldfunction)表示：

第112页/共154页

Tresca屈服准则（最大剪应力准则）

Mises屈服准则

回忆：

]第113页/共154页比较两屈服准则的区别：（1）物理含义不同：Tresca：最大剪应力达到极限值

KMises：畸变能达到某极限（2）表达式不同;（3）几何表达不同：

Tresca准则：在主应力空间中为一垂直π平面的正六棱柱。

Mises准则：在主应力空间中为一垂直于π平面的圆柱。

(π平面:在主应力坐标系中，过原点并垂直于等倾线的平面)

第114页/共154页比较两屈服准则的区别第115页/共154页两准则的联系：

（1）空间几何表达：Mises圆柱外接于Tresca六棱柱；在π平面上两准则有六点重合；（2）通过引入罗德参数和中间主应力影响系数β，可以将两准则写成相同的形式：

其中称为中间主应力影响系数

称为Lode参数。

第116页/共154页讨论：①当材料受单向应力时，β=1，两准则重合；②在纯剪应力作用下，两准则差别最大；按Tresca准则：按Mises准则：

③一般情况下，β=1－1.155第117页/共154页§2.5塑性变形的应力应变关系

塑性变形时应力应变之间的关系称为本构关系，这种关系的数学表达式称为本构方程，也叫物理方程。是求解塑性变形问题的补充方程。第118页/共154页回顾并思考：1．单向拉伸试验：随着外载荷或强制应变的增加，会发生什么现象？弹性变形→屈服→均匀塑性变形→塑性失稳→断裂2．应力增加到什么程度材料屈服？屈服条件，两种判别准则。3．材料发生屈服后如何？塑性本构关系，两种理论，几种简化模型。第119页/共154页4．如何进行数值求解？塑性力学解析法：工程法（主应力法）：“塑性加工原理”重点讲授滑移线法能量法（上限法）有限单元法（FEM——FiniteElementMethod）：硕士阶段“现代材料加工力学”详述硕士阶段另一门学位课程第120页/共154页一、弹性应力应变关系对于一般应力状态下的各向同性材料的弹性应力应变关系，则由广义胡克定律表达，即式中E——弹性模量

v——泊松比

G——切变模量第121页/共154页弹性变形时，应力—应变关系有以下特点：1）应力与应变完全成线性关系，应力主轴与全量应变主轴重合；2）弹性变形是可逆的，应力与应变之间是单值关系，加载与卸载的规律完全相同；3）弹性变形时，应力球张量使物体产生体积变化，泊松比v＜0.5.第122页/共154页二、塑性应力应变关系的特点材料在塑性变形时，应力与应变之间的关系有以下特点;1)塑性变形是不可恢复的，是不可逆的关系；2）对于应变硬化材料，卸载后再重新加载，其屈服应力就是卸载时的屈服应力，比初始屈服应力要高；3)塑性变形时，可以认为体积不变，即应变球张量为零，泊松比v=0.5；4）应力与应变之间的关系是非线性的，因此，全量应变主轴与应力主轴不一定重合。第123页/共154页第124页/共154页第125页/共154页增量理论瞬时应力状态<--------->瞬时应变增量1.Levy-Mises方程前提假设：1）理想刚塑性材料

2）服从Mises准则

3）瞬时应力与瞬时应变增量主轴重合

4）体积不变第126页/共154页d为一正的瞬时常数。（1）——等效塑性应变增量——等效应力（2）第127页/共154页主应力状态下：即应变增量与应力偏张量成正比。(3)第128页/共154页证明：1平面塑性变形：因为代入（3）式即得。2轴对称时，若，则有第129页/共154页2.应力-应变速率方程（Saint-Venant方程）（1）（2）第130页/共154页*L-M方程只适用塑性变形远大于弹性变形场合。**与非单值对应。见P72第131页/共154页3.Prandtl-Reuss方程（1）（2）第132页/共154页*L-M方程适用于大应变；

P-R方程适用于小应变及求弹性回跳、残余应力场问题。**增量理论能反映复杂的加载过程，卸载仍按胡克定律进行。第133页/共154页全量理论前提：比例加载，即C--------单调增函数，理想塑性材料c为常数。汉基方程：（1）第134页/共154页塑性切变模量比例系数伊留申全量理论前提：1）塑性变形是微小的，和弹性变形同一数量级。

2）外载荷各分量按比例增加，中途不卸载。

3）变形体不可压缩，即第135页/共154页4）加载过程中，应力主轴方向与应变主轴方向固定不变，且重合。5）满足若材料是刚塑性的（1）第136页/共154页（2）塑性模量第137页/共154页