北京市2023届高三数学模拟试卷（3套附参考答案）

高三数学一模试卷一、单选题1．已知集合，集合，则（ ）A．B．C．D．2．直线被圆截得的弦长为（ ）A．1B．C．2D．3．已知平面向量， 满足，，且与 的夹角为 ，则（ ）A．B．C．D．34．设，若 ，，，则（ ）A．B．C．D．已知函数，若 ，则实数 的值为（ A．-2 B．C．1 D．26．已知 ，则“ ”是“”的（ ）充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件已知三棱锥，现有质点Q从A点出发沿棱移动，规定质点Q从一个顶点沿棱移动到另一个顶点为1次移动，则该质点经过3次移动后返回到A点的不同路径的种数为( )A．3 B．6 C．9 D．12已知数列，若存在一个正整数 使得对任意 ，都有 ，则称 为数列的周期.若四个数列分别满足：，②，③，，①，②，③，，④ ，.则上述数列中，8为其周期的个数是（ ）A．1 B．2 C．3 D．41，20222，径为上口半径为下口半径为高为.在冷却塔的轴截面所在平面建立如图3所示的平面直角坐标系设，则双曲线的方程近似（ （参考数据：，，）A．B．C．D．在通用技术教室里有一个三棱锥木块如图所示两两垂直（单位，小明同学计划通过侧面内任意一点 将木块锯开，使截面平行于直线和，则该截面面积（单位：）的最大值是（ ）A．二、填空题B．C．D．11．计算 ．12．已知直线和 是曲线的相邻的两条对称轴则满足条件的一个 的值是 .在平面直线坐标系中，设抛物线：的焦点为，直线：与抛物线交于点，且点在轴上方，过点作抛物线的切线与抛物线的准线交于点，与轴交于点.给出下列四个结论：① 的面积是；②点 的坐标是；③在轴上存在点使；④以 为直径的圆与 轴的负半轴交于点，则.其中所有正确结论的序号是 .已知数列是首项为3公比为的等比数列，是其前项的和若则 .某地进行老旧小区改造有半径为60米圆心角为的一块扇形空置（如图现欲从中规划出一块三角形绿地 其中 在 上， 垂足为 ， 垂足为 设，则 （用表示；当 在上运动时，这块三角形绿地的最大面积是 .三、解答题在中，.求 ；再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择两个作为已知使存在且唯一确定求的面积.条件①： ；条件②：；条件③： .注：如果选择的条件不符合要求，第（2）0一个解答计分.某学校在寒假期间安排了“垃圾分类知识普及实践活动”.为了解学生的学习成果，该校从全校学501006， ， ， ， ， ，并整理得到如下频率分布直方图：若全校学生参加同样的测试，试估计全校学生的平均成绩（；在样本中从其成绩在80分及以上的学生中随机抽取3人用 表示其成绩在中的人数，求 的分布列及数学期望；在（2）抽取的3人中，用 表示其成绩在 的人数，试判断方差 与 的大小.（直接写结果），如图在四边形中，，

，，， ， 分别是 ，，，上的点，，， ，.将 沿 折起到的位置，得到五棱锥，如图2.求证： 平面；若平面平面，求二面角的余弦值；对线段上任意一点，求证：直线与平面相交.已知， .若曲线在点处的切线与轴重合，求的值；若函数 在区间 上存在极值，求的取值范围；设，在（2）的条件下，试判断函数在区间上的单调性，并说明理由.已知椭圆 ：的一个焦点为 ，且过点.求椭圆的方程和离心率；过点且与轴不重合的直线与椭圆 交于 ， 两点，与直线 交于点，点 足轴，轴，试求直线 的斜率与直线的斜率的比值.对非空数集 ，中元素的个数.，定义与的和集.对任意有限集 记 为集合（1）若集合，，写出集合与；（2）若集合满足，，且，求证：数列，，，是等差数列；（3）设集合满足，，且，集合（，，求证：存在集合 满足 且.1．D2．B3．A4．C5．C6．A7．B8．B9．A10．B11．-1+i12．（答案不唯一）13．①③④14．；15． 米；平方米.16（1）解：∵∴，又，，∴，即，又，∴ ；（2）解：选①②，由，，，∴，，，又，∴不存在；选①③， ，由余弦定理可得， ，即，∴，即 ，∴的面积为 ；选②③，∵， ，，∴ ，，∴，∴ 的面积为.17（1）解：由直方图可得第二组的频率为，∴全校学生的平均成绩为：（2）解：由题可知成绩在80分及以上的学生共有人，其中中的人数为5，所以 可取0，1，2，3，则，，，，故 的分布列为：0123P；（3）解：.18（1）证明：∵，，∴，∴，又，∴ 平面；解（i）由，可知为的平面角，又平面平面，∴，即，又，∴平面，如图建立空间直角坐标系，则，∴，设平面的法向量为，则，即，令，则，又平面的一个法向量可取，∴，∴二面角 的余弦值为；（ii）由题设 ，又，∴，∴ ，又 ，∴ ，又平面的一个法向量为，由，可得，又 ，∴，∴直线与平面相交.19（1）解：因为，，，所以曲线在点处的切线方程为，即，因为曲线在点处的切线与轴重合，所以，解得.（2）解：由（1）得，因为函数在区间上存在极值，所以在区间上有变号零点，当 时，在区间上单调递增，，故不符合题意；当 时，在区间上单调递减，且当趋近于 时，趋近于 故要使 在区间 上有变号零点，则 ，即综上，，即的取值范围是.解：函数在区间上单调递减，理由如下：，， ，所以，令，则在恒成立，所以函数在上单调递减，由于，所以函数在上恒成立，所以函数 在区间 上的单调递减.20（1）解：由题设有 ，故 ，故椭圆的方程为 ，故离心率为.（2）解：由题设可得的斜率必存在且不为零，设，由可得，则，，故，，由可得故即，且，，又，故，21（1）解：∵集合，，∴，；（2）解：∵，∴集合 中至少包含所以，又个元素，，由题可知 ，又为整数，∴ ，∴，∴ 中的所有元素为，又是中的个元素，且，∴，即，∴，∴数列，， ，是等差数列；（3）解：∵集合，∴，设，其中，设是首项为 ，公差为 的等差数列，即，令集合，则，∴，即，∵，∴，所以，故存在集合 满足 且.一、单选题

高三数学高考一模试卷1．已知集合，，则（）A．B．C．D．2．复数的虚部为（ ）B．-1 C． D．3．设等差数列的前n项和为，若，则（ A．60 B．70 C．120 D．1404．在△ABC中，已知，，，则（）A．1 B．C．2 5．若a，，则“”是“”的（ ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．20229429，5，4100（单位小时并按，，分组，分别得到频率分布直方图如下：是和A．，则（，）B．，C．，D．，7．设是和A．，则（，）B．，C．，D．，7．设（是抛物线）上的一点，是抛物线的焦点， 是坐标原点，若 ，则A．3 B．4 C． D．（即太阳在当地的仰角，为此时太阳直射点纬度， 为当地纬度值，那么这三个量满足．通州区某校学生科组别甲组乙组丙组丁组木杆影长度（米）0.820.800.830.85技社团尝试估测通州区当地纬度（取正值选择春分当（组别甲组乙组丙组丁组木杆影长度（米）0.820.800.830.85则四组中对通州区当地纬度估测值最大的一组是（ ）A．甲组 B．乙组 C．丙组 D．丁组已知直线和圆若存在三点其中点A在直线l上点和D在圆C上，使得四边形ABCD是正方形，则实数m的取值范围是（ ）A．B．C．D．已知函数，其中，且．给出下列三个结论：①函数是单调函数；②当 时函数的图象关于直线 对称当 时，方根的个数可能是1或2．其中所有正确结论的序号是（ ）A．①② B．①③ C．②③ 二、填空题在的展开式中， 的系数是 ．已知双曲线的一条渐近线方程是，则 ．幂函数在上单调递增， 在上单调递减能够使是奇函数的一组整数m，n的值依次是 ．在矩形ABCD中， ，，点P在AB边上，则向量在向量上的投影向量的长度是 ，的最大值是 ．如图在棱长为2的正方体中点分别是棱BC， ， 的中点点P为底面A1B1C1D1上任意一点若P与重合则三棱锥E-PFG的体积是 若直线BP与平面无公共点，则BP的最小值是 ．三、解答题，．P-ABCDABCDABCD，EAD，．求证： ；PACABCD

为等边三角形，平面已知函数 的最小正周期为．求 的值；从下面四个条件中选择两个作为已知求 的解析式并求其在区间上的最大值和最小值．条件①：的值域是；条件②： 在区间上单调递增；条件③：的图象经过点；条件④： 的图象关于直线对称．注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答给分．选择餐厅情况（午餐，晚餐）甲员工30天20天40天10天选择餐厅情况（午餐，晚餐）甲员工30天20天40天10天乙员工20天25天15天40天假设甲、乙员工选择餐厅相互独立，用频率估计概率．AB就餐的概率；记X为甲、乙两员工在一天中就餐餐厅的个数，求X的分布列和数学期望；BA并说明理由．已知函数， ．当时，求曲线在点处的切线方程；若函数的最小值是2，求a的值；设t为常数，求函数的单调区间．已知椭圆C：的左、右顶点分别为A，B， ，离心率为．求椭圆的方程；设点D为线段AB上的动点，过D作线段AB的垂线交椭圆C于不同的两点E和F，N为线段AE上一点是否存在实数使得 ？若存在求出的值若不存在请明理由．从一个无穷数列中抽出无穷多项依原来的顺序组成一个新的无穷数列若新数列是递增数列，则称之为的一个无穷递增子列．已知数列是正实数组成的无穷数列，且满足．若，，写出数列前项的所有可能情况；求证：数列存在无穷递增子列；求证：对于任意实数 ，都存在，使得．1．C2．A3．B4．D5．A6．A7．B8．D9．C10．D11．-1012．513．1，-1（答案不唯一）14．；-215．；16（1）证明：因为△PAD为正三角形，E为AD中点所以 ，因为平面 平面ABCD，平面 平面，平面PAD，所以 平面ABCD．因为 平面所以（2）解：由（1）知， 平面取BC中点F，连结EF，因为底面ABCD为矩形，E为AD中点所以 ，所以EA，EF，EP两两垂直．E，EA，EF，EPx，y，z则，，，，所以，．设平面PAC的法向量，由，得，令，得 ，，所以，平面ABCD的法向量可取．设平面PAC与平面ABCD夹角大小为，可知为锐角，则 所以平面PAC与平面ABCD夹角的余弦值为．17（1）解：因为，所以（2）解：方案一：选择①，③因为的值域是，所以 ．所以．的图象经过点，，即又．，所以．所以的解析式为．因为，所以．当即，时，取得最小值；当，即时，取得最大值．方案二：选择条件①，④因为的值域是，所以．所以．因为的图象关于直线对称，所以，所以．又，所以 ．所以的解析式为 ．以下同方案一．方案三：选择条件③，④因为的图象关于直线．，对称，又，所以．因为的图象经过点，所以即，．所以的解析式为．以下同方案一．18（1解设事件一天中甲员工午餐和晚餐都选择A餐厅就餐事件 一天中乙员工午和晚餐都选择B餐厅就餐．100AB40，所以，解甲员工午餐晚餐都选择 餐厅就餐的概率为甲员工午餐晚餐都选择 餐厅就餐的率为；乙员工午餐、晚餐都选择 餐厅就餐的概率为，乙员工午餐、晚餐都选择 餐厅就餐的概率为．依题意 的所有可能取值为1，2．120.10.9所以，．所以 的分布列为120.10.9所以解设 “甲员工晚餐选择B餐厅就餐“乙员工晚餐选择B餐厅就餐“甲员工在午餐时选择A餐厅就餐， “乙员工在午餐时选择A餐厅就餐，则，．因为，所以在已知晚餐选择B餐厅就餐的条件下，甲员工更有可能在午餐时选择A餐厅就餐19（1）解：当 时，，．， ，即切线斜率 所以切线方程为解：函数的定义域为 ．令，得 ．当 时，．所以在单调递增，无最小值．当 时，令，得 ；令，得 ．所以在单调递减，在单调递增，所以最小值为．所以，即解：函数的定义域为，．由（2）知，当 时，若 ，则．所以 ，所以的减区间为 ， ，无增区间20（1）解：由已知 得，，．因为 ，所以．因为，所以．C（2）解：假设存在满足题意的实数，由已知得，．设，，，则，因为，所以，即．所以，，即．因为，所以．所以，即，化简得．因为，所以，所以，解得 （舍，或．所以存在 ，使得21（1）解：由已知，即，可得或.当时，由，即，因为，可得；当时，由，即，因为，可得5.因此若 写出数列前项的所有可能情况为235或1231或121、3证明：对于数列中的任意一项，由已知得，若，则由或可得，即；或若设集合，则，此时，由已知得，若，则由或可得，即；或若设集合，则，此时，、，即，且，，，， ，， ，．则数列是数列一个无穷递增子列证明：考察数列和．①当或时，显然成立；②当时，设 ，由（2）可知．如果，那么，或，于是总有，此时；如果，那么，或，于是总有，此时．综上，当且时总有．所以，所以，，，，叠加得，．令，解得，即存在 （其中 表示不超过 的最大整数使得．又因为是的子列，令，则．由①②可知，对于任意实数 ，都存在，使得一、单选题

高三数学二模试卷1．已知集合，，则 （ ）A．B．C．D．已知双曲线的焦点分别为，，，双曲线上一点满足，则该双曲线的离心率为（ ）A．B．C．2D．33．已知为等差数列，首项，公差，若，则 （）A．1 B．2C．3D．4下列函数中，与函数的奇偶性相同，且在上有相同单调性的是（ ）A．B． C． D．已知直线与圆 ：交于 ， 两点，且，则的值为（ ）A．B． C． D．26．已知是单位向量，向量满足，则 的取值范围是（ B． C．D．已知函数 那““ 在上是增函数（ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件已知，记关于的方程的所有实数根的乘积为，则（ A．有最大值，无最小值 B．有最小值，无最大值C．既有最大值，也有最小值 D．既无最大值，也无最小值若函数的定义域和值域的交集为空集，则正数的取值范围是（ ）A．B．C．D．如图为某商铺 、 两种商品在2022年前3个月的销售情况统计图，已知 商品卖出一件盈利20元，商品卖出一件盈利10元.图中点 、 、 的纵坐标分别表示 商品2022年前3个月的销售量点、、的纵坐标分别表示 商品2022年前3个月的销售量.根据图中信息，下列四个结论中确的是（ ）①2月 、 两种商品的总销售量最多；②3月 、 两种商品的总销售量最多；③1月 、 两商品的总利润最多；④2月 、 两种商品的总利润最多.A．①③ B．①④ C．②③ 二、填空题二项式的展开式中 的系数为21，则 .已知复数在复平面内所对应的点的坐标为 ，则为 .已知数列 是首项为16，公比为的等比数列， 是公差为2的等差数列.若集合中恰有3个元素，则符合题意的的一个取值为 已知四棱锥 的高为和 均是边长为的等边三角形给出下列四个结论：①四棱锥可能为正四棱锥；②空间中一定存在到 ， ， ，， 距离都相等的点；③可能有平面 平面；④四棱锥 的体积的取值范围是.其中所有正确结论的序号是 .已知抛物线的焦点为 准线为则焦点到准线的距离为 直线与抛物线分别交于 、两点（点 在轴上方，过点 作直线的垂线交准线于点 ，则 .三、解答题在 中，.求 的大小；若，证明： .17．20211297040302211001000其中男生和女生选考乒乓球的比例分别为和选考1分钟跳绳的比例分别为和.假设选考项目中所有学生选择每一项相互独立.12132考1分钟跳绳的概率；86087.574087选考乒乓球的所有学生的乒乓球平均分的估计值为其中男生的乒乓球平均分的估计值为，试比较与的大小.（结论不需要证明）如图在三棱柱 中四边形 是边长为4的菱形点 为上动点（不与 ，重合，平面与棱交于点 .求证：；若从条件①条件②条件③这三个条件中选择两个条件作为已知求直线与平面所成角的正弦值.条件平面平面条件②：条件③：.19．已知函数.若，求的值；当时，①求证：有唯一的极值点；②记的零点为，是否存在使得 ？说明理由.已知椭圆 的左顶点为 圆 ： 经过椭圆 的上下顶点.求椭圆的方程和焦距；，，，已知，分别是椭圆和圆上的动点（，不在坐标轴，且直线与轴平行，线段的垂直平分线与轴交于点圆在点处的切线与轴交于点.求线段长度的最小值.，，，，， 表示括号中各数的最大值，表示括号中各数的最小值.，，（1）若数列 ：2，0，2，1，-4，2，求，的值；若数列 是首项为1，公比为的等比数列，且，求的值；若数列是公差的等差数列，数列是数列中所有项的一个排列，求的所有可能值（用表示）.1．A2．C3．D4．D5．B6．C7．A8．D9．B10．C11．712．13．-1（答案不唯一）14．①②④15．2；16（1）解：在 中，∵，∴，∴，∴，∵，∴（2）证明：∵，∴．由余弦定理得①，∵ ，∴②，将②代入①，得，整理得，∴17（1）解：样本中男生的人数为人，样本中女生的人数为人，设从该区所有九年级学生中随机抽取1名学生，该学生选考乒乓球为事件 则该学生选考乒乓球的概率解：设从该区九年级全体男生中随机抽取1人，选考跳绳为事件 ，从该区九年级全体女生中随机抽取1人，选考跳绳为事件，由题意，21321钟跳绳的概率为解：18（1）证明：在三棱柱中，，又平面，平面，所以平面，又因为平面平面，所以.（2）解：选条件①②.连接，取中点，连接，.在菱形中，，所以为等边三角形.又因为为中点，所以，又因为平面平面，平面平面，平面，且，所以平面，平面，所以.又因为，所以以为原点，以、、.为轴、 轴、轴建立空间直角坐标系，则所以，，，，，..设平面的一个法向量为，则，所以令又因为设直线，则，，故，与平面