理论力学动静法

理论力学动静法第1页，共65页，2023年，2月20日，星期一本章介绍动力学的一个重要原理——达朗伯原理。应用这一原理，就将动力学问题从形式上转化为静力学问题，从而根据关于平衡的理论来求解。这种解答动力学问题的方法，因而也称动静法。动力学2第2页，共65页，2023年，2月20日，星期一§14–1质点的动静法§14–2质点系的动静法§14–3刚体惯性力系的简化§14–4刚体定轴转动时轴承动反力的概念达朗伯原理的应用第十四章动静法第3页，共65页，2023年，2月20日，星期一§14-1质点的动静法动力学力是由于小车具有惯性，力图保持原来的运动状态，对于施力物体(人手)产生的反抗力。称为小车的惯性力。一、惯性力的概念人用手推车，人给小车一个力，而反过来小车也给人手一个力，由牛顿第三定律，（作用力与反作用力定律）；由牛顿第二定律所以4第4页，共65页，2023年，2月20日，星期一动力学[注]质点惯性力不是作用在质点上的真实力，它是质点对施力体反作用力的合力。加速运动的质点，对迫使其产生加速运动的物体的惯性反抗的总和。

定义：质点惯性力5第5页，共65页，2023年，2月20日，星期一动力学非自由质点M，质量m，受主动力，约束反力，合力质点的动静法二、质点的动静法6第6页，共65页，2023年，2月20日，星期一动力学即：质点在任意瞬时，除作用的主动力和约束反力外，如再假想地加上惯性力，则这些力在形式上将组成一平衡力系。7第7页，共65页，2023年，2月20日，星期一动力学该方程对动力学问题来说只是形式上的平衡，并没有改变动力学问题的实质。采用动静法解决动力学问题的最大优点，可以利用静力学提供的解题方法，给动力学问题一种统一的解题格式。8第8页，共65页，2023年，2月20日，星期一动力学[例1]列车在水平轨道上行驶，车厢内悬挂一单摆，当车厢向右作匀加速运动时，单摆左偏角度，相对于车厢静止。求车厢的加速度。9第9页，共65页，2023年，2月20日，星期一动力学选单摆的摆锤为研究对象虚加惯性力

角随着加速度的变化而变化，当不变时，角也不变。只要测出角，就能知道列车的加速度。这就是摆式加速计的原理。解：由动静法,有解得10第10页，共65页，2023年，2月20日，星期一动力学§14-2质点系的动静法对整个质点系，主动力系、约束反力系、惯性力系形式上构成平衡力系。这就是质点系的动静法。可用方程表示为：设有一质点系由n个质点组成，对每一个质点，有11第11页，共65页，2023年，2月20日，星期一动力学注意到 ,将质点系受力按内力、外力划分,则表明：对整个质点系来说，动静法给出的平衡方程，只是质点系的惯性力系与其外力的平衡，而与内力无关。12第12页，共65页，2023年，2月20日，星期一动力学对平面任意力系：对于空间任意力系：实际应用时,同静力学一样任意选取研究对象,列平衡方程求解。用动静法求解动力学问题时，13第13页，共65页，2023年，2月20日，星期一动力学

§14-3刚体惯性力系的简化简化方法就是采用静力学中的力系简化的理论。将虚拟的惯性力系视作力系向任一点O简化而得到一个惯性力和一个惯性力偶。无论刚体作什么运动，惯性力系主矢都等于刚体质量与质心加速度的乘积，方向与质心加速度方向相反。14第14页，共65页，2023年，2月20日，星期一动力学一、刚体作平动向质心C简化：刚体平动时惯性力系合成为一过质心的合惯性力。翻页请看动画15第15页，共65页，2023年，2月20日，星期一动力学16第16页，共65页，2023年，2月20日，星期一动力学空间惯性力系—>平面惯性力系（质量对称面）O为转轴z与质量对称平面的交点，向O点简化：二、定轴转动刚体先讨论具有垂直于转轴的质量对称平面的简单情况。O直线i:平动，过Mi点，17第17页，共65页，2023年，2月20日，星期一动力学主矩：主矢：18第18页，共65页，2023年，2月20日，星期一动力学向O点简化：向质点C点简化：作用在C点作用在O点19第19页，共65页，2023年，2月20日，星期一动力学讨论：①刚体作匀速转动，转轴不通过质点C。20第20页，共65页，2023年，2月20日，星期一动力学讨论：②转轴过质点C，但0，惯性力偶（与反向）21第21页，共65页，2023年，2月20日，星期一动力学讨论：③刚体作匀速转动，且转轴过质心，则（主矢、主矩均为零）22第22页，共65页，2023年，2月20日，星期一动力学假设刚体具有质量对称平面，并且平行于该平面作平面运动。此时，刚体的惯性力系可先简化为对称平面内的平面力系。刚体平面运动可分解为随基点（质点C）的平动：绕通过质心轴的转动：

作用于质心三、刚体作平面运动23第23页，共65页，2023年，2月20日，星期一动力学24第24页，共65页，2023年，2月20日，星期一动力学对于平面运动刚体：由动静法可列出如下三个方程：实质上：25第25页，共65页，2023年，2月20日，星期一动力学[例1]均质杆长l,质量m,与水平面铰接,杆由与平面成0角位置静止落下。求开始落下时杆AB的角加速度及A点支座反力。选杆AB为研究对象虚加惯性力系：解：根据动静法，有26第26页，共65页，2023年，2月20日，星期一动力学27第27页，共65页，2023年，2月20日，星期一动力学用动量矩定理+质心运动定理再求解此题：解：选AB为研究对象由得：由质心运动定理：28第28页，共65页，2023年，2月20日，星期一动力学

[例2]牵引车的主动轮质量为m，半径为R，沿水平直线轨道滚动，设车轮所受的主动力可简化为作用于质心的两个力及驱动力偶矩M，车轮对于通过质心C并垂直于轮盘的轴的回转半径为，轮与轨道间摩擦系数为f,试求在车轮滚动而不滑动的条件下，驱动力偶矩M之最大值。取轮为研究对象虚加惯性力系：解：O29第29页，共65页，2023年，2月20日，星期一动力学由(1)得O由动静法，得：30第30页，共65页，2023年，2月20日，星期一动力学由(2)得N=P+S，要保证车轮不滑动，必须F<fN=f(P+S)(5)可见，f越大越不易滑动。Mmax的值为上式右端的值。把(5)代入(4)得：O31第31页，共65页，2023年，2月20日，星期一动力学§14-4刚体定轴转动时轴承动反力的概念

一、刚体的轴承动反力刚体的角速度，角加速度（逆时针）主动力系向O点简化:主矢,主矩惯性力系向O点简化:主矢,主矩32第32页，共65页，2023年，2月20日，星期一动力学33第33页，共65页，2023年，2月20日，星期一动力学根据动静法：其中有五个式子与约束反力有关。设AB=l,OA=l1,OB=l2可得34第34页，共65页，2023年，2月20日，星期一动力学

由两部分组成，一部分由主动力引起的，不能消除，称为静反力；一部分是由于惯性力系的不平衡引起的，称为附加动反力，它可以通过调整加以消除。使附加动反力为零，须有静反力附加动反力动反力35第35页，共65页，2023年，2月20日，星期一动力学当刚体转轴为中心惯性主轴时，轴承的附加动反力为零。对z轴惯性积为零，z轴为刚体在O点的惯性主轴；过质心36第36页，共65页，2023年，2月20日，星期一动力学

静平衡：刚体转轴过质心，则刚体在仅受重力而不受其它主动力时，不论位置如何，总能平衡。

动平衡：转动为中心惯性主轴时，转动时不产生附加动反力。二、静平衡与动平衡的概念37第37页，共65页，2023年，2月20日，星期一动力学[例1]质量不计的刚性轴以角速度匀速转动，其上固结着两个质量均为m的小球A和B。指出在图示各种情况下，哪些是静平衡的？哪些是动平衡的？静平衡：(b)、(d)动平衡：(a)38第38页，共65页，2023年，2月20日，星期一动力学动平衡的刚体，一定是静平衡的；反过来，静平衡的刚体，不一定是动平衡的。[例2]两个相同的定滑轮如下图示，开始时都处于静止，问哪个角速度大？(a)绳子上加力G(b)绳子上挂一重G的物体OO39第39页，共65页，2023年，2月20日，星期一动力学根据达朗伯原理，以静力学平衡方程的形式来建立动力学方程的方法，称为动静法。应用动静法既可求运动，例如加速度、角加速度；也可以求力，并且多用于已知运动，求质点系运动时的动约束反力。应用动静法可以利用静力学建立平衡方程的一切形式上的便利。例如，矩心可以任意选取，二矩式，三矩式等等。因此当问题中有多个约束反力时，应用动静法求解它们时就方便得多。达朗伯原理的应用40第40页，共65页，2023年，2月20日，星期一动力学

①选取研究对象。原则与静力学相同。

②受力分析。画出全部主动力和外约束反力。

③运动分析。主要是刚体质心加速度，刚体角加速度，标出方向。应用动静法求动力学问题的步骤及要点：④虚加惯性力。在受力图上画上惯性力和惯性力偶，一定要在正确进行运动分析的基础上。熟记刚体惯性力系的简化结果。41第41页，共65页，2023年，2月20日，星期一动力学

⑤列动静方程。选取适当的矩心和投影轴。

⑥建立补充方程。运动学补充方程（运动量之间的关系）。

⑦求解求知量。

[注]的方向及转向已在受力图中标出，建立方程时，只需按 代入即可。42第42页，共65页，2023年，2月20日，星期一动力学

[例1]质量为m1和m2的两重物，分别挂在两条绳子上，绳又分别绕在半径为r1和r2并装在同一轴的两鼓轮上，已知两鼓轮对于转轴O的转动惯量为I，系统在重力作用下发生运动，求鼓轮的角加速度。取系统为研究对象解：方法1用达朗伯原理求解43第43页，共65页，2023年，2月20日，星期一动力学虚加惯性力和惯性力偶：由动静法：列补充方程： 代入上式得：44第44页，共65页，2023年，2月20日，星期一动力学方法2用动量矩定理求解根据动量矩定理：取系统为研究对象45第45页，共65页，2023年，2月20日，星期一动力学取系统为研究对象，任一瞬时系统的方法3用动能定理求解46第46页，共65页，2023年，2月20日，星期一动力学两边除以dt，并求导数，得47第47页，共65页，2023年，2月20日，星期一动力学[例2]在图示机构中，沿斜面向上作纯滚动的圆柱体和鼓轮O均为均质物体，各重为P和Q，半径均为R，绳子不可伸长，其质量不计，斜面倾角，如在鼓轮上作用一常力偶矩M，试求：(1)鼓轮的角加速度？(2)绳子的拉力？(3)轴承O处的支反力？(4)圆柱体与斜面间的摩擦力（不计滚动摩擦）？48第48页，共65页，2023年，2月20日，星期一动力学解：方法1用达朗伯原理求解取轮O为研究对象，虚加惯性力偶列出动静方程：取轮A为研究对象，虚加惯性力和惯性力偶MQC如图示。49第49页，共65页，2023年，2月20日，星期一动力学列出动静方程：运动学关系：，将MQ，RQ，MQA及运动学关系代入到(1)和(4)式并联立求解得：50第50页，共65页，2023年，2月20日，星期一动力学代入(2)、(3)、(5)式，得：51第51页，共65页，2023年，2月20日，星期一动力学方法2用动力学普遍定理求解(1)用动能定理求鼓轮角加速度。取系统为研究对象52第52页，共65页，2023年，2月20日，星期一动力学两边对t求导数：53第53页，共65页，2023年，2月20日，星期一动力学(2)用动量矩定理求绳子拉力（定轴转动微分方程）取轮O为研究对象，由动量矩定理得54第54页，共65页，2023年，2月20日，星期一动力学(3)用质心运动定理求解轴承O处支反力取轮O为研究对象，根据质心运动定理：55第55页，共65页，2023年，2月20日，星期一动力学(4)用刚体平面运动微分方程求摩擦力取圆柱体A为研究对象，根据刚体平面运动微分方程方法3：用动能定理求鼓轮的角加速度

用达朗伯原理求约束反力（绳子拉力、轴承O处反力和及摩擦力）。56第56页，共65页，2023年，2月20日，星期一动力学[例3]均质圆柱体重为P，半径为R，无滑动地沿倾斜平板由静止自O点开始滚动。平板对水平线的倾角为，试求OA=S时平板在O点的约束反力。板的重力略去不计。解：(1)用动能定理求速度，加速度圆柱体作平面运动。在初始位置时，处于静止状态，故T1=0；在末位置时，设角速度为，则vC=R,动能为：P57第57页，共65页，2023年，2月20日，星期一动力学主动力的功：由动能定理得对t求导数，则：(2)用达朗伯原理求约束反力取系统为研究对象，虚加惯性力和惯性力偶MQCP58第5