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文档简介

1复习一、函数项级数的概念定义收敛域;收敛点;发散点;发散域;和函数;部分和;余项.二、幂级数及其收敛性幂级数:2定理1

（阿贝尔(Abel)定理）1）若在处收敛,则在满足的点x处绝对收敛;2）若在处发散,则在满足的点x处发散。推论时，幂级数绝对收敛;时，幂级数发散;时，幂级数可能收敛也可能发散.则必有一个完全确定的正数R存在，使得当:之一，称为收敛区间。区间正数R

称为幂级数的收敛半径。3设其中是幂级数的相邻两项的系数，则其收敛半径为:定理2（幂级数收敛半径的求法）对于幂级数三、幂级数的运算4四、幂级数的和函数的重要性质设幂级数的收敛半径为R，其和函数为S(x)，则有:性质1性质2性质3推论S(x)在内连续.S(x)在内可导，且有逐项求导公式S(x)在内具有任意阶导数.S(x)在内是可积的，且有逐项积分公式5第四节函数展开成幂级数1（预习）泰勒公式:其中拉格朗日余项若函数在某邻域内有直到阶的导数，则一、泰勒级数其误差为:6若函数在某邻域内具有任意阶的导数，则称为函数的泰勒级数.显然当时，泰勒级数收敛于2.泰勒级数问题:（2）若上级数收敛,是否收敛于时,上述级数是否收敛?（1）7证:设函数在点的某一邻域内具有各阶导数，则在该邻域内能展开成泰勒级数的充要条件是定理记则泰勒公式可记为:8称为麦克劳林级数。特别的，在泰勒级数中，若则性质函数若能展开成x的幂级数，则展开式是唯一的，且一定有注为和函数，取决于是否成立.给定上式中右边式子容易求出，其收敛区间也容易求出。但它是否以9二、函数展开成幂级数1直接展开法㈠

依次求出其步骤如下：若在x=0处某阶导数不存在，就停止进行，此即说明函数不能展开成幂级数.㈢

写出幂级数：并求出收敛半径R.㈡

求出:㈣

考察当

时，若则若极限不为零，则函数不能展开成幂级数.10得级数收敛半径解例1

将函数展开成x的幂级数.所以考察级数敛,11例2

将函数展开成

x

的幂级数.解得收敛半径122间接展开法利用一些已知的函数展开式、幂级数的运算性质（如四则运算，逐项求导，逐项积分）以及变量代换等，将所给函数展开成幂级数，其优点是计算简单，且避免研究余项。常用的幂级数展开式：13例3

将函数展开成

x

的幂级数.解对上式逐项求导，即得:14例4

将函数展开成

x

的幂级数.解把x

换成例5

将函数展开成的幂级数.解由知15例6

将函数展开成

x

的幂级数.解逐项积分，得当时,发散；当时,收敛.所以，有注意：经过求导或求积后得到的展式,必须考虑在端点的情况.16例7

将函数展开成的幂级数。收敛；解两边积分，得所以当时,当时,收敛.17例8

将函数展开成的幂级数.解18例9

将函数展开成的幂级数.解由得例10

将函数展开成的幂级数。解由得19例11

将函数展开成的幂级数.解由及得20例12

将函数展开成

x

的幂级数.解得级数（用直接展开法）故对任意常数

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