广东省广州市广东第二师范学院番禺附中2022-2023学年数学高二下期末质量跟踪监视模拟试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知O为坐标原点,抛物线y2=2x与过焦点的直线交于A,B两点,则的值是A． B． C．3 D．32．由曲线，所围成图形的面积是（）A． B． C． D．3．甲乙两队进行排球比赛，已知在一局比赛中甲队获胜的概率是23A．2027B．49C．84．已知，，，若,则（）A．2 B． C． D．55．已知函数（为自然对数的底），若方程有且仅有四个不同的解，则实数的取值范围是（）．A． B． C． D．6．甲乙丙丁四名学生报名参加四项体育比赛，每人只报一项，记事件“四名同学所报比赛各不相同”，事件“甲同学单独报一项比赛”，则()A． B． C． D．7．分配名工人去个不同的居民家里检查管道，要求名工人都分配出去，并且每名工人只去一个居民家，且每个居民家都要有人去检查，那么分配的方案共有（）A．种 B．种 C．种 D．种8．设集合，则（）A． B． C． D．9．已知，函数，若在上是单调减函数，则的取值范围是()A． B． C． D．10．已知曲线：经过点，则的最小值为（）A．10 B．9 C．6 D．411．设，分别是定义在上的奇函数和偶函数，当时，，且，则不等式的解集是（）A． B．C． D．12．已知数列，都是等差数列，，，设，则数列的前2018项和为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．下表提供了某学生做题数量x（道）与做题时间y（分钟）的几组对应数据：x（道）3456y（分钟）2.5t44.5根据上表提供的数据，得y关于x的线性回归方程为则表中t的值为_____．14．由曲线，坐标轴及直线围成的图形的面积等于______。15．已知函数f(x)＝||，实数m，n满足0＜m＜n，且f(m)＝f(n)，若f(x)在[m2，n]上的最大值为2，则＝________.16．已知数列是等差数列，是等比数列，数列的前项和为.若，则数列的通项公式为_________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）设椭圆：的离心率与双曲线的离心率互为倒数，且椭圆的长轴长为1．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线交椭圆于，两点，（）为椭圆上一点，求面积的最大值．18．（12分）已知，求的值．19．（12分）用数学归纳法证明：．20．（12分）设,函数,是函数的导函数,是自然对数的底数.(1)当时,求导函数的最小值;(2)若不等式对任意恒成立,求实数的最大值;(3)若函数存在极大值与极小值，求实数的取值范围.21．（12分）已知命题：对，函数总有意义；命题：函数在上是增函数.若命题“”为真命题且“”为假命题，求实数的取值范围.22．（10分）近来国内一些互联网公司为了赢得更大的利润、提升员工的奋斗姿态，要求员工实行“996”工作制，即工作日早9点上班，晚上21点下班，中午和傍晚最多休息1小时，总计工作10小时以上，并且一周工作6天的工作制度，工作期间还不能请假，也没有任何补贴和加班费.消息一出，社交媒体一片哗然，有的人认为这是违反《劳动法》的一种对员工的压榨行为，有的人认为只有付出超越别人的努力和时间，才能够实现想要的成功，这是提升员工价值的一种有效方式.对此，国内某大型企业集团管理者认为应当在公司内部实行“996”工作制，但应该给予一定的加班补贴（单位：百元），对于每月的补贴数额集团人力资源管理部门随机抽取了集团内部的1000名员工进行了补贴数额（单位：百元）期望值的网上问卷调查，并把所得数据列成如下所示的频数分布表：（1）求所得样本的中位数（精确到百元）；（2）根据样本数据，可近似地认为员工的加班补贴服从正态分布，若该集团共有员工40000人，试估计有多少员工期待加班补贴在8100元以上；（3）已知样本数据中期望补贴数额在范围内的8名员工中有5名男性，3名女性，现选其中3名员工进行消费调查，记选出的女职员人数为，求的分布列和数学期望.附：若，则，，.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】抛物线的焦点为,当直线l与x轴垂直时，,所以2、A【解析】

先计算交点，再根据定积分计算面积.【详解】曲线，，交点为：围成图形的面积：故答案选A【点睛】本题考查了定积分的计算，意在考查学生的计算能力.3、A【解析】试题分析：“甲队获胜”包括两种情况，一是2:0获胜，二是2:1获胜.根据题意若是甲队2:0获胜，则比赛只有2局，其概率为(23)2=49；若是甲队2:1获胜，则比赛3局，其中第3考点：相互独立事件的概率及n次独立重复试验.【方法点晴】本题主要考查了相互独立事件的概率及n次独立重复试验，属于中档题.本题解答的关键是读懂比赛的规则，尤其是根据“采用三局两胜制比赛，即先胜两局者获胜且比赛结束”把整个比赛所有的可能情况分成两类，甲队以2:0获胜或2:1获胜，据此分析整个比赛过程中的每一局的比赛结果，根据相互独立事件的概率乘法公式及n次独立重复试验概率公式求得每种情况的概率再由互斥事件的概率加法公式求得答案.4、A【解析】

先求出的坐标，再利用共线向量的坐标关系式可求的值.【详解】，因，故，故.故选A.【点睛】如果，那么：（1）若，则；（2）若，则；5、D【解析】

首先需要根据方程特点构造函数,将方程根的问题转化为函数零点问题，并根据函数的奇偶性判断出函数在上的零点个数，再转化成方程解的问题，最后利用数形结合思想，构造两个函数，转化成求切线斜率问题，从而根据斜率的几何意义得到解.【详解】因为函数是偶函数，，所以零点成对出现，依题意，方程有两个不同的正根，又当时，，所以方程可以化为：，即，记，，设直线与图像相切时的切点为，则切线方程为，过点，所以或（舍弃），所以切线的斜率为，由图像可以得.选D.【点睛】本题考查函数的奇偶性、函数零点、导数的几何意义，考查函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归思想，突显了直观想象、数学抽象、逻辑推理的考查.属中档题.6、D【解析】

求出，根据条件概率公式即可得解.【详解】由题：，.故选：D【点睛】此题考查求条件概率，关键在于准确求出AB的概率和B的概率，根据条件概率公式计算求解.7、C【解析】

根据题意，分析可得，必有2名水暖工去同一居民家检查；分两步进行，①先从4名水暖工中抽取2人，②再将这2人当做一个元素，与其他2人，共3个元素，分别分配到3个不同的居民家里，由分步计数原理，计算可得答案.【详解】解：根据题意，分配4名水暖工去3个不同的居民家里，要求4名水暖工都分配出去，且每个居民家都要有人去检查；

则必有2名水暖工去同一居民家检查，

即要先从4名水暖工中抽取2人，有种方法，

再将这2人当做一个元素，与其他2人，共3个元素，分别分配到3个不同的居民家里，有种情况，

由分步计数原理，可得共种不同分配方案，

故选：C.【点睛】本题考查排列、组合的综合应用，注意一般顺序是先分组（组合），再排列，属于中档题.8、C【解析】

先求，再求【详解】,故选C.【点睛】本题考查了集合的并集和补集，属于简单题型.9、C【解析】

根据函数的解析式，可求导函数，根据导函数与单调性的关系，可以得到；分离参数，根据所得函数的特征求出的取值范围.【详解】因为所以因为在上是单调减函数所以即所以当时，恒成立当时，令，可知双刀函数，在上为增函数，所以即所以选C【点睛】导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立；（3）若恒成立，可转化为（需在同一处取得最值）..10、B【解析】

曲线过点得，所以展开利用均值不等式可求最小值.【详解】由曲线：经过点得.所以当且仅当，即时取等号.故选：B【点睛】本题考查利用均值不等式求满足条件的最值问题，特殊数值1的特殊处理方法，属于中档题.11、D【解析】

先构造函数，再利用导函数研究函数的增减性，结合，的奇偶性判断函数的奇偶性，再结合已知可得，，即可得解.【详解】解：设,则，由当时，，则函数在为增函数，又，分别是定义在上的奇函数和偶函数，则在上为奇函数，则函数在为增函数，又，所以，则，则的解集为，即不等式的解集是，故选：D.【点睛】本题考查了函数的奇偶性及单调性，重点考查了导数的应用，属中档题.12、D【解析】

利用，求出数列，的公差，可得数列，的通项公式，从而可得，进而可得结果.【详解】设数列，的公差分别为，，则由已知得，，所以，，所以，，所以，所以数列的前2018项和为,故选D.【点睛】本题主要考查等差数列通项公式基本量运算，考查了数列的求和，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、3【解析】

现求出样本的中心点，再代入回归直线的方程，即可求得的值.【详解】由题意可得，因为对的回归直线方程是，所以，解得.【点睛】本题主要考查了回归直线方程的应用，其中解答的关键是利用回归直线方程恒过样本中心点，代入求解，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.14、1【解析】

根据定积分求面积【详解】.【点睛】本题考查利用定积分求面积，考查基本分析求解能力，属基础题.15、9.【解析】

先分析得到f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，再分析得到0＜m2＜m＜1，则f(x)在[m2，1)上单调递减，在(1，n]上单调递增，再根据函数的单调性得到m,n的值，即得解.【详解】因为f(x)＝|log3x|＝,所以f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，由0＜m＜n且f(m)＝f(n)，可得,则,所以0＜m2＜m＜1，则f(x)在[m2，1)上单调递减，在(1，n]上单调递增，所以f(m2)＞f(m)＝f(n)，则f(x)在[m2，n]上的最大值为f(m2)＝－log3m2＝2，解得m＝，则n＝3，所以＝9.故答案为9【点睛】本题主要考查函数的图像和性质，考查函数的单调性的应用和最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题.16、【解析】

先设数列的前项和为，先令，得出求出的值，再令，得出，结合的值和的通项的结构得出数列的通项公式。【详解】设数列的前项和为，则.当时，，，；当时，.也适合上式，.由于数列是等差数列，则是关于的一次函数，且数列是等比数列，，可设，则，，因此，。故答案为：。【点睛】本题考查利用前项和公式求数列的通项，一般利用作差法求解，即，在计算时要对是否满足通项进行检验，考查计算能力，属于中等题。三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】试题分析：（Ⅰ）利用椭圆的离心率与双曲线的离心率互为倒数，椭圆的长轴为及，求得的值，进而求得椭圆的方程；（Ⅱ）将直线与（Ⅰ）求得的椭圆方程联立，利用韦达定理和，利用弦长公式及点到直线的距离，求得的面积，同时，进而求得的面积的最大值.试题解析：（Ⅰ）双曲线的离心率为（1分），则椭圆的离心率为（2分），2a=1，（3分）由⇒，故椭圆M的方程为．（5分）（Ⅱ）由，得，（6分）由，得﹣2＜m＜2∵，．（7分）∴=又P到AB的距离为．（10分）则，（12分）当且仅当取等号（13分）∴．（11分）考点：1.椭圆的标准方程；2.韦达定理；3.弦长公式.18、【解析】

先由等式求出的值，利用诱导公式对所求分式进行化简，代入的值可得出结果.【详解】因为，所以，所以，因此，.【点睛】本题考查利用诱导公式化简求值，对于化简求值类问题，首先要利用诱导公式将代数式进行化简，再结合同角三角函数的基本关系或代值计算，考查计算能力，属于基础题.19、详见解析【解析】

用数学归纳法进行证明，先证明当时，等式成立再假设当时等式成立，进而证明当时，等式也成立.【详解】当时，左边右边，等式成立．假设当时等式成立，即当时，左边═2当时，等式也成立．综合，等式对所有正整数都成立．【点睛】数学归纳法常常用来证明一个与自然数集相关的性质，其步骤为：设是关于自然数的命题，（1）奠基在时成立；（2）归纳在为任意自然数成立的假设下可以推出成立，则对一切自然数都成立．20、（1）（2）（3）【解析】分析：（1）先求导数，再求导函数的导数为，求零点，列表分析导函数单调性变化规律，进而确定导函数最小值取法，（2）先变量分离化简不等式，再利用导数研究单调性，根据单调性确定其最小值，即得实数的取值范围，进而得其最大值;（3）函数存在极大值与极小值，即存在两个零点，且在零点的两侧异号.先确定导函数不单调且最小值小于零，即得，再证明时有且仅有两个零点.详解：解：（1）当时，记则，由得.当时，，单调递减当时，，单调递增所以当时，所以（2）由得，即因为，所以.记，则记，则因为，所以且不恒为0所以时，单调递增，当时，，所以所以在上单调递增，因为对恒成立，所以，即所以实数的最大值为（3）记，因为存在极大值与极小值，所以，即存在两个零点，且在零点的两侧异号.①当时，，单调递增，此时不存在两个零点；②当时，由，得当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以所以存在两个零点的必要条件为：，即由时，(ⅰ)记，则所以当时，单调递减，当时，，所以.所以在上，有且只有一个零点.又在上单调，所以在上有且只有一个零点，记为，由在内单调递减，易得当时，函数存在极大值（ⅱ）记，则所以时，，所以由（1）知时，有所以在上单调递增，所以时,因为且，的图像在单调且不间断，所以在上，有且只有一个零点.又在上单调所以在上有且只有一个零点，记为，由在内单调递增，易得当时，函数存在极小值综上，实数的取值范围为.点睛：导数极值点的讨论层次：一是有无，即没有零点，就没有极值点（导数存在情形下）；二是在与不在，