北京市西城区月坛中学2022-2023学年高二数学第二学期期末达标检测模拟试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．如图，在△中,,是上的一点,若,则实数的值为()A． B． C． D．2．已知直线是圆的对称轴，则实数()A． B． C．1 D．23．若正数满足，则当取最小值时，的值为（）A． B． C． D．4．将函数的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图像向左平移个单位，则所得函数图像对应的解析式为（）A． B．C． D．5．已知函数，则函数的定义域为（）A． B． C． D．6．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取4%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为()A．400，40 B．200，10 C．400，80 D．200，207．长方体中，，，则直线与平面ABCD所成角的大小（）A． B． C． D．8．已知圆C:(x-a)2+(y-b)2=1，平面区域Ω:x+y-6≤0x-y+4≥0y≥0A．-∞,-73∪75,+∞9．从名学生志愿者中选择名学生参加活动，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从人中剔除人，剩下的人再按系统抽样的方法抽取人，则在人中，每人入选的概率（）A．不全相等 B．均不相等C．都相等，且为 D．都相等，且为10．从、、中任取两个字母排成一列，则不同的排列种数为（）A． B． C． D．11．命题；命题.若为假命题，为真命题，则实数的取值范围是（）A． B．或C．或 D．或12．命题的否定是（）A． B．C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设α是第二象限角，P(x，4)为其终边上的一点，且cosα＝x，则tanα＝________.14．要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6门课各一节的课程表，要求数学课排在前3节，英语课不排在第6节，则不同的排法种数为．（以数字作答）15．在1，2，3，…，80这八十个数中，随机抽取一个数作为数，将分别除以3，5，7后所得余数按顺序拼凑成一个具有三位数字的数，例如，时，时，．若，则_____.16．已知复数z=1+mi（i是虚数单位，m∈R），且（3+i）为纯虚数（是的共轭复数）则＝_____三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）现计划用两张铁丝网在一片空地上围成一个梯形养鸡场，，，已知､两段是由长为的铁丝网折成，､两段是由长为的铁丝网折成.设上底的长为，所围成的梯形面积为.（1）求S关于x的函数解析式，并求x的取值范围；（2）当x为何值时，养鸡场的面积最大?最大面积为多少?18．（12分）在某地区2008年至2014年中，每年的居民人均纯收入y（单位：千元）的数据如下表：对变量t与y进行相关性检验，得知t与y之间具有线性相关关系．（1）求y关于t的线性回归方程；（2）预测该地区2016年的居民人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，19．（12分）已知，.（1）求证：；（2）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围.20．（12分）已知的展开式前两项的二项式系数之和为1．（1）求的值．（2）求出这个展开式中的常数项．21．（12分）某超市为了解气温对某产品销售量的影响，随机记录了该超市12月份中天的日销售量(单位：千克)与该地当日最低气温(单位:)的数据，如下表所示:求关于的线性回归方程；（精确到）判断与之间是正相关还是负相关；若该地12月份某天的最低气温为，请用中的回归方程预测该超市当日的销售量.参考公式：，参考数据：，22．（10分）用数学归纳法证明：

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

先根据共线关系用基底表示，再根据平面向量基本定理得方程组解得实数的值.【详解】如下图，∵三点共线，∴，∴，即,∴①,又∵，∴，∴②，对比①，②，由平面向量基本定理可得：．【点睛】本题考查向量表示以及平面向量基本定理，考查基本分析求解能力.2、B【解析】

由于直线是圆的对称轴，可知此直线过圆心，将圆心坐标代入直线方程中可求出的值【详解】解：圆的圆心为，因为直线是圆的对称轴，所以直线过圆心，所以，解得，故选：B【点睛】此题考查直线与圆的位置关系，利用了圆的对称性求解，属于基础题3、A【解析】

根据正数满足，利用基本不等式有，再研究等号成立的条件即可.【详解】因为正数满足，所以，所以，当且仅当，即时取等号.故选：A【点睛】本题主要考查基本不等式取等号的条件，还考查了运算求解的能力，属于基础题.4、B【解析】

函数的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得，再将所得图像向左平移个单位，得，选B.5、B【解析】

根据对数的真数大于零，负数不能开偶次方根，分母不能为零求解.【详解】因为函数，所以，所以，解得，所以的定义域为.故选：B【点睛】本题主要考查函数定义域的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.6、A【解析】

由扇形图能得到总数，利用抽样比较能求出样本容量；由分层抽样和条形图能求出抽取的高中生近视人数.【详解】用分层抽样的方法抽取的学生进行调查，样本容量为：，抽取的高中生近视人数为：，故选A.【点睛】该题考查的是有关概率统计的问题，涉及到的知识点有扇形图与条形图的应用，以及分层抽样的性质，注意对基础知识的灵活应用，属于简单题目.7、B【解析】

连接，根据长方体的性质和线面角的定义可知：是直线与平面ABCD所成角，在底面ABCD中，利用勾股定理可以求出，在中，利用锐角三角函数知识可以求出的大小.【详解】连接，在长方体中，显然有平面ABCD，所以是直线与平面ABCD所成角，在底面ABCD中，，在中，，故本题选B.【点睛】本题考查了线面角的求法,考查了数学运算能力.8、A【解析】

分析：画出可行域，由可行域结合圆C与x轴相切，得到b=1且-3≤a≤5，从而可得结果.详解：画出可行域如图，由圆的标准方程可得圆心C(a,b)，半径为1因为圆C与x轴相切，所以b=1，直线y=1分别与直线x+y-6=0与x-y+4=0交于点B5,1所以-3≤a≤5，圆心C(a,b)与点（2,8-3≤a<2时，k∈72<a≤5时k∈-所以圆心C(a,b)与点（2,8）连线斜率的取值范围是-点睛：本题主要考查可行域、含参数目标函数最优解，属于中档题.含参变量的线性规划问题是近年来高考命题的热点，由于参数的引入，提高了思维的技巧、增加了解题的难度，此类问题的存在增加了探索问题的动态性和开放性，此类问题一般从目标函数的结论入手，对目标函数变化过程进行详细分析，对变化过程中的相关量的准确定位，是求最优解的关键.9、D【解析】

根据简单随机抽样与系统抽样方法的定义，结合概率的意义，即可判断出每个人入选的概率.【详解】在系统抽样中，若所给的总体个数不能被样本容量整除时，则要先剔除几个个体，然后再分组，在剔除过程中，每个个体被剔除的概率相等，所以，每个个体被抽到包括两个过程，一是不被剔除，二是选中，这两个过程是相互独立的，因此，每个人入选的概率为.故选：D.【点睛】本题考查简单随机抽样和系统抽样方法的应用，也考查了概率的意义，属于基础题.10、D【解析】

从、、中任取两个字母排成一列，直接利用排列数公式可得出结果.【详解】由排列数的定义可知，从、、中任取两个字母排成一列，则不同的排列种数为.故选：D.【点睛】本题考查排列数的应用，考查计算能力，属于基础题.11、B【解析】

首先解出两个命题的不等式，由为假命题，为真命题得命题和命题一真一假．【详解】命题，命题．因为为假命题，为真命题．所以命题和命题一真一假，所以或，选择B【点睛】本题主要考查了简易逻辑的问题，其中涉及到了不等式以及命题真假的判断问题，属于基础题．12、A【解析】

根据命题“”是特称命题，其否定为全称命题，将“∃”改为“∀”，“≤“改为“＞”即可得答案【详解】∵命题“”是特称命题∴命题的否定为．故选A．【点睛】本题主要考查全称命题与特称命题的相互转化问题．这里注意全称命题的否定为特称命题，反过来特称命题的否定是全称命题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、－【解析】

先根据已知和三角函数的坐标定义得到cosα＝x＝，解方程解答x的值，再利用三角函数的坐标定义求tanα的值.【详解】因为α是第二象限角，所以cosα＝x<0，即x<0.又cosα＝x＝，解得x＝－3，所以tanα＝＝－.故答案为－【点睛】（1）本题主要考查三角函数的坐标定义，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2)点p(x,y)是角终边上的任意的一点（原点除外）,r代表点到原点的距离，则sin=cos=,tan=.14、288.【解析】解：∵数学课排在前3节，英语课不排在第6节，∴先排数学课有种排法，再排最后一节有种排法，剩余的有种排法，∴根据分步计数原理知共有=288种排法.15、49【解析】

由的个位数字为0，所以一定是7的倍数，它可能的取值为7，14，21,28,35,42,49,56,63,70,77，再分别求出它们所对应的数，可知。【详解】由的个位数字为0，所以一定是7的倍数，它可能的取值为7，14，21,28,35,42,49,56,63,70,77，它们所对应的数分别为120,240,010,130,200,020,140,210,030,100,220，故。【点睛】本题主要考查合情推理，列举找规律。16、【解析】

先求出的表达式，再由纯虚数的定义，可求出的值，进而可求出.【详解】由题意，，，则为纯虚数，故，解得.故，.【点睛】本题考查了复数代数形式的四则运算，考查了共轭复数、复数的模、纯虚数的定义，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），，（2）当x为时，养鸡场的面积最大，最大为.【解析】

（1）由已知条件的该梯形为等腰梯形，作出高，用含的代数式表示出上、下底和高，从而表示出面积；（2）利用导数最值求出最大值【详解】解：（1）由题意，，，过A点作，垂足为E，则，梯形的高由，解得.综上，，（2）设，，令，得（，舍去）时，，单调递增，时，，单调递减.∴当时，的最大值是1080000，此时.∴当为时，养鸡场的面积最大，最大为.【点睛】本题主要考察用函数模型解决实际问题，利用导数研究函数的单调性，属于基础题．18、（1）（2）千元【解析】

（1）根据所给的数据利用最小二乘法．写出线性回归方程的系数和a的值，写出线性回归方程，注意运算过程中不要出错．（2）将2016年的年份代号t＝9代入前面的回归方程，预测该地区2016年的居民人均纯收入．【详解】解：（1）由已知表格的数据，得，，，，∴．∴．∴y关于t的线性回归方程是．（2）由（1），知y关于t的线性回归方程是．将2016年的年份代号代入前面的回归方程，得．故预测该地区2016年的居民人均收入为千元．【点睛】本题考查线性回归方程，是一个基础题，解题的关键是利用最小二乘法写出线性回归系数，注意解题的运算过程不要出错．19、（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）．【解析】试题分析：(1)由题意结合柯西不等式的结论即可证得题中的结论；(2)结合(1)的结论可得绝对值不等式，零点分段求解绝对值不等式可得实数的取值范围为.试题解析：(Ⅰ)证明:由柯西不等式得,,的取值范围是.(Ⅱ)由柯西不等式得.若不等式对一切实数恒成立,则,其解集为,即实数的取值范围为.20、（1）（2）672【解析】试题分析：（1）根据二项式展开式得到前两项的系数，根据系数和解的n的值，（2）利用展开式的通项，求常数项，只要使x的次数为0即可试题解析：（1）即（2）展开式的通项令且得展开式中的常数项为第7项，即考点：二项式系数的性质21、（1）（2）与负相关，预测该超市当日的销售量为千克【解析】

（1）根据线性回归直线的求解方法求解；（2）