电路理论-线性网络定理

电路理论__线性网络定理第1页，共54页，2023年，2月20日，星期二2023/5/12背景电路电源激励响应(电压、电流)通用分析方法其它分析方法？？Us++R1R2IsU1已知：Us=10V，Is=2A，计算得到：U1=5V。当Us=20V，Is=4A，求：U1=？利用电路定理，分析电路；第2页，共54页，2023年，2月20日，星期二2023/5/13基本要求掌握叠加定理及其应用熟练求解戴维南及诺顿等效电路，灵活运用戴维南定理求解电路基本掌握替代定理和互易定理的应用了解特勒根定理第3页，共54页，2023年，2月20日，星期二2023/5/14提纲4.1齐性定理和叠加定理

4.2替代定理

4.3戴维南定理和诺顿定理

4.4最大功率传输定理

4.5特勒根定理4.6互易定理4.7对偶原理

第4页，共54页，2023年，2月20日，星期二2023/5/154.1齐性定理和叠加定理图示简单电路中，两个激励源为Us和Is，根据节点电压法求响应电压U1节点电压方程为：可以认为：U11为Us的分量；U12为Is的分量，即：当Is=0时，U1=U11，Us单独作用；当Us=0时，U1=U12，Is单独作用；结论：U1可以看作每个电源单独作用时分别产生的节点电压的叠加。Us++R1R2U11+R1R2IsU12Us++R1R2IsU1第5页，共54页，2023年，2月20日，星期二2023/5/16齐性定理和叠加定理线性电路：由线性元件和独立电源组成的电路为线性电路。齐性定理和叠加定理是反映线性电路本质的重要定理。齐性定理：在只有一个激励（电源）的线性电路中，若激励增大或缩小倍，则任一电压响应或电流响应也同样增大或缩小倍。叠加定理：在含多个独立电源的线性电路中，任一电压或电流响应都是各个独立电源单独作用时产生的相应响应的代数和。第6页，共54页，2023年，2月20日，星期二2023/5/17实例若：电源f1(t)单独作用下电路响应为y1(t)，电源f2(t)

单独作用下电路响应为y2(t)。若：电源f1(t)增大倍，则单独作用下电路响应为：y1(t)；电源f2(t)增大倍，则单独作用下电路响应为：y2(t)；在f1(t)和f2(t)两个电源共同作用下，电路响应为：y1(t)+y2(t)；在电源f1(t)和f2(t)共同作用下，电路响应为：y1(t)+y2(t)。无源网络f1(t)f2(t)y(t)齐性定理叠加定理N1第7页，共54页，2023年，2月20日，星期二2023/5/18应用叠加定理时要注意的问题：①叠加定理只适用于线性电路，不适用于非线性电路。10V+5Ai2+u+2i1④叠加时要注意电流和电压的参考方向。⑤功率不能用叠加定理计算。②独立电源可以作为激励源，受控源不能作为激励源。③在叠加的各分电路中，置零的独立电压源用短路代替，置零的独立电流源用开路代替，受控源保留在各分电路中，但其控制量和被控量都有所改变。10V+i12+2i11u1+5Ai22+u2+2i21第8页，共54页，2023年，2月20日，星期二2023/5/19例4-1将例2-1的电源电压U改为20V，应用齐性定理重新求解ab端的等效电阻及电流I1和电压U1。U1+I+U=20V11112221I1ab解：如图所示，设I1

＝1A，则

U1＝1*I1＝1V

I＝2*2*2*I1＝8A

U＝(1+1)I＝16V给定U＝20V，相当于激励增加了＝20/16=1.25

倍即，根据齐性定理，I1＝I1＝1.25A，U1＝U1＝1.25V，I＝I＝10A根据欧姆定律：第9页，共54页，2023年，2月20日，星期二2023/5/110例4-2应用叠加定理求图示电路3电阻的电压U及功率。12V+3A2U+63812V+2U1+6383A2U2+638当12V电压源作用时，应用分压公式得：解：首先画出电源单独作用的电路如图所示当3A电流源作用时，应用分流公式得：则所求电压：U=U1+U2=－4+6＝2V3电阻消耗的功率：注意：该功率不等于每一个电源单独作用时3电阻消耗的功率的叠加，原因是：(－4)2＋62≠(－4＋6)2第10页，共54页，2023年，2月20日，星期二2023/5/111例4-3用叠加定理计算图示电路的电压u

和电流i。10V+5Ai2+u+2i15Ai22+u2+2i2110V+i12+2i11u1+解：首先画出独立源单独作用时的电路如图所示，当10V电压源作用时：解得：i1＝2A，当5A电流源作用时，所以：u＝u1＋u2＝6＋2＝8Vi＝i1＋i2＝2＋(－1)＝1A解得：i2＝－1A，(2+1)i1＋2i1－10＝0u1＝2i1＋1*i1＝3i1＝6V2i2＋1*(5+i2)＋2i2＝0u2＝－2i2＝2V第11页，共54页，2023年，2月20日，星期二2023/5/112例4-4图示电路中，测得下列实验数据：当is=1A，us=2V时，响应i=2A，当is=2A，us=－1V时，响应i=1A。求：is=5A，us=－3V时，i＝？无源线性网络+isius解：设is=1A单独作用时i为k1（A）、us=1V单独作用时i为k2（A），则当us和is共同作用时，根据齐性定理和叠加定理：根据已知条件，得：解得：k1＝0.8，k2＝0.6因此,is=5A，us=－3V时：第12页，共54页，2023年，2月20日，星期二NN12023/5/1134.2替代定理在电路定理的证明和电路分析中，经常用到替代定理。应用替代定理可以化简电路，使电路更直观、易于分析。双口网络N和N1的伏安特性曲线示如图所示。N1N两条伏安特性曲线的交点Q的坐标即为电压U和电流I的解，U＝1.5V、I=1A。任何一条通过Q的直线，例如与I轴平行的N2、与U轴平行的N3和过原点的N4，与N的交点都是Q。N2N3N4U=0.5I+1U=-1.5I+33V+1V+1.50.5U+I元件？？？第13页，共54页，2023年，2月20日，星期二2023/5/114替代定理的表述N2、N3和N4对应的二端网络分别为图所示的1.5V独立电压源、1A独立电流源和1.5电阻。可以验证，用N2、N3和N4替代N1之后，电压U、电流I以及N网络内部的电压和电流均不受影响。3V+1V+1.50.5U+INN11.5V+U+N21AU+N3U+N41.5IIIU＝1.5V、I=1A。第14页，共54页，2023年，2月20日，星期二2023/5/115替代定理的表述定义：在任意线性或非线性、时变或非时变电路中，若已求得N和N1两个二端网络连接端口的电压为UQ、电流为IQ，只要N1中没有N中受控源的控制量，那么N1总可以用下列任一元件替代：电压大小和方向与UQ

相同的独立电压源；电流大小和方向与IQ

相同的独立电流源；电阻为的线性电阻（UQ和IQ关于R关联方向）。第15页，共54页，2023年，2月20日，星期二2023/5/116对替代定理做几点说明(1)如果N1中某支路电压或电流为N中受控源的控制量，那么替代之后该电压或电流不复存在，所以此时不能应用替代定理。(2)与N1等效的单口网络必须有与N1相同的伏安特性曲线，所以，N2、N3和N4只是在工作点Q能够替代N1，并不是N1的等效网络。(3)应用替代定理后单口网络N中全部电压和电流均将保持原来值，而电路分析得到简化。上述独立电压源、独立电流源和电阻是替代N1的最简单的三种形式。第16页，共54页，2023年，2月20日，星期二2023/5/117例4-5，图中R未知，求电压U。9V+2A6U+R39V+2A6U+3解：由于R未知，所以不能应用电阻串并联求U，但是可以应用支路电流法、回路法和节点法求解。现在要应用替代定理，只能将R所在支路替代成2A电流源，如图所示，这样就能应用等效变换和叠加定理求解，当然仍然还能应用支路电流法、回路法和节点法。例如，节点法：

应用叠加定理：

第17页，共54页，2023年，2月20日，星期二2023/5/1184.3戴维南定理和诺顿定理第二章讨论过单口网络的等效化简问题，这一问题的实质是求单口网络的伏安关系式。若单口网络不含电源，则总可以等效为一个电阻；若单口网络含电源，则总可以等效为一个电阻和电压源的串联；对于任意一个线性含源单口网络，戴维南定理和诺顿定理为其提供了求解等效电路的一般方法。

6V+6+3104V8V+2104A210第18页，共54页，2023年，2月20日，星期二2023/5/119名词解释(1)开路电压：若把外电路断开，则在端口处产生电压，把这个电压称为网络Ns的开路电压，用Uoc表示。(3)短路电流：若把外电路短路，则在短路处产生电流，把这个电流称为网络Ns的短路电流，用Isc表示。N0+u－iab(2)输入电阻：若把Ns中所有的独立源置零，即把Ns中的独立电压源用短路替代，独立电流源用开路替代，并用N0表示所得到的二端网络。显然，N0可以用一个等效电阻Req表示，就是N0在端口处的输入电阻。NsabIscNsNs+Uoc－ab第19页，共54页，2023年，2月20日，星期二2023/5/120名词解释(4)输入电阻的计算：①电阻网络：电阻的串并联、星形三角形转换；②受控源网络：加电压，得电流，Req=U/I；③求Uoc、Isc：Req=Uoc/Isc；第20页，共54页，2023年，2月20日，星期二2023/5/121戴维南定理戴维南定理：任何一个线性含源单口网络，对外电路来说，总可以用一个电压源和电阻的串联组合来等效替代；此电压源的电压等于外电路断开时单口网络端口处的开路电压Uoc，电阻等于单口网络所有独立源置零时所得无源网络的等效电阻R0。NsabUOC+R0ab第21页，共54页，2023年，2月20日，星期二2023/5/122诺顿定理诺顿定理：任何一个含源线性单口网络，对外电路来说，可以等效为一个电流源和电阻的并联；电流源的电流等于该单口网络的短路电流，而电阻等于把该单口的全部独立电源置零后的输入电阻。容易发现，诺顿等效电阻与戴维南等效电阻完全相同，实际上，诺顿等效电路就是戴维南等效电路的等效变换。NsabIscR0ab第22页，共54页，2023年，2月20日，星期二2023/5/123例4-6计算图示电路中Rx分别为3.2Ω、5.2Ω时的电流I。10V+I6644RX+10V+6644Uoc++U2U16644R0解：断开RX

支路，如图所示，求该单口网络化的戴维南等效电路。(1)开路电压Uoc(2)求等效电阻R0,把电压源短路，如图所示。(1)回路法求解：需列3个联立KVL方程才能解出；(2)节点法求解：需要对节点a、b列两个KCL方程；不论用什么方法，当Rx由3.2Ω改为5.2Ω时，都需要重新列方程、重新求解。(3)戴维南定理求解：当兴趣点只聚焦在一个负载或一条支路时，常用戴维南定理或诺顿定理把该负载或支路以外的电路化简。第23页，共54页，2023年，2月20日，星期二2023/5/124例4-6UOC+IR0RX当Rx=3.2Ω时，画出等效电路，接上待求Rx支路，如图所示，当Rx

=5.2Ω时，第24页，共54页，2023年，2月20日，星期二2023/5/1259V+I2.4I63+UOC+例4-7计算图示电路中的电压U。9V+I2.4I6318U++I2.4I63+Us+I1解法1应用戴维南定理(1)求开路电压Uoc，断开18Ω电阻支路，如图所示。(2)求等效电阻R0独立电源置零后的单口网络含有受控源，用外施激励法，如图所示。第25页，共54页，2023年，2月20日，星期二2023/5/126例4-7计算图示电路中的电压U。9V+I2.4I63Isc+5.4V+183.6U+1.5A183.6U+

(3)画出等效电路，如图所示，解得：右侧网孔的KVL方程：2.4I＋3I＝0，所以：I＝0，解法2应用诺顿定理(1)断开18Ω电阻支路，将端口短路，如图所示，求短路电流Isc(2)独立电源置零后求等效电阻R0，R0＝3.6

(3)画出等效电路，如图所示，解得：第26页，共54页，2023年，2月20日，星期二2023/5/127例4-8求图所示电路中的电压U。24V+336U+1A666ab24V+336Isc666ab解：因为a、b处的短路电流比开路电压容易求，所以本题用诺顿定理求比较方便。求短路电流ISC，把ab端短路，电路如图(b)所示，解得：第27页，共54页，2023年，2月20日，星期二2023/5/128例4-8求图所示电路中的电压U。336666abR0Isc4U+1A求等效电阻R0，把独立电源置零，电路如图所示，画出诺顿等效电路，接上待求支路如图所示。R0＝(6//3+6)//(3//6＋6)＝4U＝(3+1)×4＝16V第28页，共54页，2023年，2月20日，星期二2023/5/129戴维南和诺顿定理小结(1)应用戴维南定理和诺顿定理，可以将一个复杂电路中不感兴趣的有源部分等效化简，以利于其余部分的分析计算。(2)戴维南等效电路中电压源电压的方向与所求开路电压方向一致，诺顿等效电路中电流源电流的方向和求解时候设的端口短路电流方向看起来相反。(3)等效电阻R0有三种计算方法：(4)一个单口网络，当等效电阻R0＝0时，只能等效为一个理想电压源，那么它就不具有诺顿等效电路；一个单口网络，当R0＝时，只能等效为一个理想电流源，那么它就不具有戴维南等效电路。(5)戴维南和诺顿等效电路的数学本质：等效的两个单口网络具有相同的伏安关系，线性单口网络的VCR曲线一定是U、I平面上一条直线。第29页，共54页，2023年，2月20日，星期二2023/5/1304.4最大功率传输定理电的应用：能量和信息两大类，这两类系统在功率传输方面的着眼点是完全不同的。能量类系统，如电力系统，侧重于功率传输效率。信息类系统，如广播电视、通信系统，侧重于负载能获得的功率。最大功率传输定理讨论了负载为何值时能从线性含源单口网络获取最大功率、最大功率数值大小等问题。将线性含源单口网络等效成戴维南电源模型，如图所示。Ns负载IUoc+RLR0I第30页，共54页，2023年，2月20日，星期二2023/5/131最大功率传输定理Uoc+RLR0I设RL为变量，在任意瞬间，其获得的功率为：RL何时获得最大功率的问题就变为：以P为函数，以RL为变量，求RL为何值时P最大。当

因此，RL＝R0即为使功率为最大值时的条件。由线性单口网络传递给可变负载的功率为最大的条件是：负载与戴维南（诺顿）等效电阻相等，称这一条件为最大功率匹配条件。需要注意的是：计算最大功率问题结合应用戴维南定理(诺顿定理)。此时最大功率为：第31页，共54页，2023年，2月20日，星期二2023/5/132例4-9图示电路中负载电阻R为何值时其上获得最大功率，并求最大功率。5V+21I632IR5V+21I632I+Uoc解：断开电阻R，求剩余单口网络的戴维南等效电路。求开路电压：由KVL，得：5=2I＋(1+3)3I，得：I=5/14A则：Uoc＝－6*2I＋5－3*3I＝－2.5V第32页，共54页，2023年，2月20日，星期二2023/5/13321I632I+UI1求输入电阻：用外施激励法，如图所示，由KVL，得：2I＋3I-3(I1－3I)＝0，得：I=3/14I1则：U＝6*(I1－2I)＋3(I1－3I)＝9I1－21I＝4.5I1所以，Req=U/I1=4.5

当R＝4.5时获得最大功率，最大功率例4-9图示电路中负载电阻R为何值时其上获得最大功率，并求最大功率。第33页，共54页，2023年，2月20日，星期二2023/5/1344.5特勒根定理该定理表明：在任意网络N中，在任意瞬时t，各个支路吸收的功率的代数和恒等于零。也就是说，该定理实质上是功率守恒的具体体现。特勒根功率定理：在一个具有n个节点、b条支路的网络N

中，假设各个支路的电压与支路电流分别为(u1,u2,……,ub)和(i1,i2,……,ib)，它们取关联参考方向，则对任意时间t，有特勒根定理（Tellegen’sTheorem）是电路理论中的一个重要定理，这个定理对任何线性与非线性、时变与非时变电路都适用，是网络功率守恒的体现，就是网络全部支路消耗(包括发出)的功率恒等于零。此定理分为特勒根功率定理和特勒根似功率定理。第34页，共54页，2023年，2月20日，星期二特勒根似功率定理：两个网络N和N’

，它们由不同的元件组成，但它们的结构完全相同。假设两个网络中对应的各个支路的电压与电流取关联参考方向，分别为(u1,u2,……,ub)、(i1,i2,……,ib)和(u’1,u’2,……,u’b)、(i'1,i’2,……,i’b)，则对任意时间t，有2023/5/135特勒根定理、

恒”。该定理表明：有向图相同的任意两个网络N和N’

，在任意瞬时t，一个网络的支路电压与另一个网络的支路电流的乘积的代数和恒等于零。这个和式只是一种数学关系，没有实际物理意义，因此称为“似功率守恒”。拓扑图相同包括对应支路的方向也是相同的。拓扑图相同的两个网络，可能是一个网络的一个元件支路对应着另一个网络一条等效支路，也可能是同一网络在两个不同时刻的相应电路。拓扑：支路、节点完全相同；第35页，共54页，2023年，2月20日，星期二2023/5/136例4-10电路如图所示，N0是无源线性电阻网络，当R2=2，U1=6V时，测得I1=2A，U2=2V；当R2=4，U’1=10V时，测得I’1=3A，求：U’2=？N0U1+I1R2I2U2+解：这是一个网络的某元件参数取两个不同数值，可应用特勒根似功率定理。设网络N0中含有b条支路，由于网络N0的结构与参数均不会变化，因此这样就有：所以：第36页，共54页，2023年，2月20日，星期二2023/5/1374.6互易定理对于仅含线性电阻和一个独立源的电路，其回路电流方程的系数矩阵和节点电压方程的系数矩阵都是关于主对角线对称的。在这样的电路中，当激励和响应互换位置时，响应与激励的比值保持不变，这就是互易定理（ReciprocityTheorem），互易定理有三种形式：

(1)形式一：当单一电压源作用在端子a、b之间时，c、d之间的短路电流等于把此电压源移到c、d之间而在a、b之间所产生的短路电流。即：i1＝i2。NRUS+i2abcd(a)NRUS+i1abcd(b)第37页，共54页，2023年，2月20日，星期二2023/5/138互易定理(2)形式二：当单一电流源作用在端子a、b之间时，c、d之间的开路电压等于把此电流源移到c、d之间而在a、b之间所产生的开路电压，激励为电流源，响应为两点之间的开路电压，即：u1＝u2。

NRisab(a)cdu2+

NRisab(b)cdu1+第38页，共54页，2023年，2月20日，星期二2023/5/1394.7对偶原理

对偶原理（dualityprinciple）：是指电路或元件的电路方程或伏安关系在数学表达式形式上完全相同。例如：电阻的伏安关系为u=Ri，

电导的伏安关系为i=Gu，

共同点：y＝kx如果将电压u与电流i互换，电阻R与电导G互换，则数学表达式彼此互换。这些互换元素称为对偶元素。在电路理论中，对偶元素可以是电路结构、定律、元件、变量、参数和联接方式。uKVL戴维南定理RLCCVS串联开路网孔Ｙ联接iKCL诺顿定理GCVCCS并联短路节点△联接常见对偶元素见表4.1。第39页，共54页，2023年，2月20日，星期二Uab=？2023/5/140例4-12图中，N0为无源线性电阻网络，当a、b端接电阻R=1时，R获得最大功率，此时U=3V且Uab=1V；当a、b端短路时U=5V。现a、

b端接R=3电阻时U

=?2ARN0Uab+abI+U分析：(2)当a、b端短路时U=5V，(1)已知R=1时获得最大功率，U=3V且Uab=1V，+2V1ab结论：ab以左单口网络的戴维南等效电阻R0＝1，开路电压Uoc＝2V。结论2：可以考虑用电压源替代电阻R，用叠加法求解：U=k1Is+k2Uab结论：Uab=0V，即2A电流源单独作用时的响应。(3)现a、

b端接R=3，U=?+2V1ab3结论1：R

变化对U

的影响，由于改变了R的阻值，其电路的电压和电流都会发生变化，但结构不变。电流源不变第40页，共54页，2023年，2月20日，星期二2023/5/141依据已知条件1，ab以左单口网络的等效电阻R0＝1，开路电压Uoc＝2V,戴维南等效电路如图所示，解：应用替代定理，电阻R用大小为Uab的电压源替代，见图。其中U0：为2A电流源单独作用时的响应(电流源不变)，

kUab：电压源单独作用时的响应(由于电压源变化，引入系数k)。应用齐性定理和叠加定理，

U＝U0＋kUab依据已知条件2，当a、b端短路时U=5V，由于Uab=0V，有：U0＝5V依据已知条件1，当电阻R=1时，Uab=1V，U=3V，则：3＝U0＋k×1解得：k＝－2得：U＝5＋(－2)×1.5＝2V例4-12图中，N为无源线性电阻网络，当a、b端接电阻R=1时，R获得最大功率，此时U=3V且Uab=1V；当a、b端短路时U=5V。现a、

b端接R=3电阻时U

=?+2V1ab3则：当R=3时,Uab＝1.5V2ANUab+abI+U第41页，共54页，2023年，2月20日，星期二2023/5/142例4-13图4-25(a)、(b)中，NR为互易网络，试求图4-25(b)中电流I1。

NR1Aab(a)cdU2=1V++U1=2V

NR1Aab(b)cdUR+2I1解：本例有多种求解方法，几乎可以综合运用所有线性电路定理。(1)解法1：应用戴维南定理和互易定理(等效解题)

NR1Aab(c)cdUOC+

NRab(d)cdIUs+图(c)与(a)互易：Uoc=1V由图(a)，得等效电阻R0：R0=U/I=2/1=2Ω原因：互易网络由电流源组成；第42页，共54页，2023年，2月20日，星期二2023/5/143(1)解法1：应用戴维南定理和互易定理(等效解题)③在戴维南等效电路上补上2Ω电阻，见图(e)，解得I1=0.25A1V+ab(e)2I12第43页，共54页，2023年，2月20日，星期二(d)

NRabcd2+U2023/5/144(2)解法2：应用替代定理和互易定理(直接解题)

NR1Aab(a)cdU2=1V++U1=2V

NR1Aab(b)cdUR+2I1互易？+2V1A2AU=1V应用互易定理，UR=0.5V，所以得：I1=UR/2=0.5/2＝0.25A。(c)

NR1AabcdUR+2I1第44页，共54页，2023年，2月20日，星期二2023/5/145(3)方法3：应用特勒根定理由特勒根定理，得：解得：I1=0.25A

NR1Aab(a)cdU2=1V++U1=2V

NR1Aab(b)cdUR+2I1(-1)2I1+0*U=2*I1+1(-1)U+第45页，共54页，2023年，2月20日，星期二2023/5/146(4)方法4：应用替代定理、叠加定理和互易定理

NR1Aab(b)cdUR+2I1图(b)中2电阻支路的VCR为UR=2I1，将2电阻支路用电流大小和方向与I1相同的电流源替代。

NR1Aab(c)cdUR+I1应用叠加定理，各分电路如图所示：UR=UR1+UR2

NRab(d)cdUR1+I1

NR1Aab(e)cdUR2+求：UR1：据齐性定理有，与图(a)相比，UR1=2/1*(－I1)=-2I1求：UR2：据互易定理有，与图(a)相比，UR2=1V。所以:2I1=－2I1+1，解得：I1=0.25A第46页，共54页，2023年，2月20日，星期二2023/5/147总结齐性定理和叠加定理若：电源f1(t)单独作用下电路响应为y1(t)，电源f2(t)

单独作用下电路响应为y2(t)。若：电源f1(t)增大倍，则单独作用下电路响应为：y1(t)；电源f2(t)增大倍，则单独作用下电路响应为：y2(t)；在f1(t)和f2(t)两个电源共同作用下，电路响应为：y1(t)+y2(t)；在电源f1(t)和f2(t)共同作用下，电路响应为：y1(t)+y2(t)。无源网络f1(t)f2(t)y(t)第47页，共54页，2023年，2月20日，星期二2023/5/148戴维南定理和诺顿定理

最大功率传输定理

NsabUOC+R0abIscR0abNs负载I条件：当RL＝R0时，第48页，共54页，2023年，2月20日，星期二互易定理2023/5/149即：i1＝i2。NRUS+i2abcd(a)NRUS+i