人教A版-必修二-第十章 概率-10.3 频率与概率

《频率与概率》学案导学聚焦考点学习目标核心素养频率与概率在具体情境中，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别数学抽象、数学运算概率的意义解释实例会用概率的意义解释生活中的实例直观想象、数学建模随机模拟会用随机模拟的方法估计概率数学建模自主学习问题导学预习教材P251－P257的内容，思考以下问题：1．什么是频率的稳定性？2．频率与概率之间有什么关系？3．随机模拟的步骤是什么？新知初探频率的稳定性一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)．我们称频率的这个性质为频率的稳定性．因此，我们可以用频率fn(A)估计概率P(A)．■名师点拨频率与概率的区别与联系名称区别联系频率本身是随机的，在试验之前无法确定，大多会随着试验次数的改变而改变．做同样次数的重复试验，得到的频率值也可能会不同(1)频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率(2)在实际问题中，事件的概率通常情况下是未知的，常用频率估计概率概率是一个[0，1]中的确定值，不随试验结果的改变而改变自我检测1、判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)频率就是概率．()(2)随机事件A的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值．()(3)随机数的抽取就是简单随机抽样．()(4)用计算器或计算机的随机函数可以产生从整数a到整数b的取整数值的随机数．()答案：(1)×(2)√(3)√(4)√2、某人将一枚硬币连掷了10次，6次正面朝上，若用A表示“正面朝上”这一事件，则A出现的()A．概率为eq\f(3,5) B．频率为eq\f(3,5)C．频率为6 D．概率为6解析：选B.事件A出现的频数是6，频率＝eq\f(频数,试验次数)，故频率是eq\f(6,10).3、抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷1000次，那么第998次抛掷恰好出现“正面向上”的概率为________．解析：因为概率与抛掷次数无关，所以第998次抛掷恰好出现“正面向上”的概率等于1次抛掷恰好出现“正面向上”的概率，为eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)4、某射击运动员射击20次，恰有18次击中目标，则该运动员击中目标的频率是________．答案：讲练互动由频率估计随机事件的概率例1(1)有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：[，2；[，4；[，9；[，18；[，11；[，12；[，7；[，]3.根据样本的频率分布，估计数据落在[，]内的概率约是()\f(1,6) \f(1,3)\f(1,2) \f(2,3)(2)某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1000支，该公司对这些灯管的使用寿命(单位：小时)进行了统计，统计结果如表所示：分组[500，900)[900，1100)[1100，1300)[1300，1500)[1500，1700)[1700，1900)[1900，＋∞)频数4812120822319316542频率①将各组的频率填入表中；②根据上述统计结果，估计灯管使用寿命不足1500小时的概率．【解】(1)选B.由已知，样本容量为66，而落在[，]内的样本数为12＋7＋3＝22，故所求概率约为eq\f(22,66)＝eq\f(1,3).(2)①频率依次是，，，，，，.②样本中寿命不足1500小时的频数是48＋121＋208＋223＝600，所以样本中寿命不足1500小时的频率是eq\f(600,1000)＝.即灯管使用寿命不足1500小时的概率约为.规律方法随机事件概率的理解及求法(1)理解：概率可看作频率理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小．当试验的次数越来越多时，频率越来越趋近于概率．当次数足够多时，所得频率就近似地看作随机事件的概率．(2)求法：通过公式fn(A)＝eq\f(nA,n)＝eq\f(m,n)计算出频率，再由频率估算概率．跟踪训练1．某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y(单位：万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量X(单位：毫米)有关．据统计，当X＝70时，Y＝460；X每增加10，Y增加5.已知近20年X的值为140，110，160，70，200，160，140，160，220，200，110，160，160，200，140，110，160，220，140，160.则如下的频率分布表中空白处依次填________，________，________．近20年六月份降雨量频率分布表降雨量70110140160200220频率eq\f(1,20)eq\f(1,5)eq\f(1,10)解析：在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米的有7个，为200毫米的有3个，故近20年六月份降雨量频率分布表为降雨量70110140160200220频率eq\f(1,20)eq\f(3,20)eq\f(1,5)eq\f(7,20)eq\f(3,20)eq\f(1,10)答案：eq\f(3,20)eq\f(7,20)eq\f(3,20)2．某射击运动员进行双向飞碟射击训练，七次训练的成绩记录如下：射击次数n100120150100150160150击中飞碟数nA819512081119127121(1)求各次击中飞碟的频率；(保留三位小数)(2)该射击运动员击中飞碟的概率约为多少？解：(1)由公式fn(A)＝eq\f(nA,n)可得，击中飞碟的频率依次为，，，，，，.(2)由(1)可知该射击运动员在同一条件下击中飞碟的频率都在附近摆动，所以该运动员击中飞碟的概率约为.概率的含义例2某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，那么，前9个病人都没有治愈，第10个病人就一定能治愈吗？【解】如果把治疗一个病人作为一次试验，治愈率是10%指随着试验次数的增加，有10%的病人能够治愈．对于一次试验来说，其结果是随机的，但治愈的可能性是10%，前9个病人是这样，第10个病人仍是这样，可能治愈，也可能不能治愈，被治愈的可能性仍是10%.规律方法对概率的正确理解(1)概率是事件的本质属性，不随试验次数的变化而变化，概率反映了事件发生的可能性的大小，但概率只提供了一种“可能性”，而不是试验总次数中某一事件一定发生的比例．(2)任何事件的概率都是区间[0，1]上的一个确定数，它度量该事件发生的可能性，概率越接近于1，表明事件发生的可能性就越大；反过来，概率越接近于0，表明事件发生的可能性就越小．(3)小概率(概率接近于0)事件很少发生，但不代表一定不发生；大概率(概率接近于1)事件经常发生，但不代表一定发生．(4)必然事件M的概率为1，即P(M)＝1；不可能事件N的概率为0，即P(N)＝0.跟踪训练有以下说法：①昨天没有下雨，则说明“昨天气象局的天气预报降水概率为95%”是错误的；②“彩票中奖的概率是1%”表示买100张彩票一定有1张会中奖；③做10次抛硬币的试验，结果3次正面朝上，因此正面朝上的概率为eq\f(3,10)；④某厂产品的次品率为2%，但该厂的50件产品中可能有2件次品．其中错误说法的序号是________．解析：①中降水概率为95%，仍有不降水的可能，故①错误；②中“彩票中奖的概率是1%”表示在设计彩票时，有1%的机会中奖，但不一定买100张彩票一定有1张会中奖，故②错误；③中正面朝上的频率为eq\f(3,10)，概率仍为eq\f(1,2)，故③错误；④中次品率为2%，但50件产品中可能没有次品，也可能有1件或2或3件…次品，故④正确．答案：①②③游戏的公平性例3某校高二年级(1)(2)班准备联合举办晚会，组织者欲使晚会气氛热烈、有趣，策划整场晚会以转盘游戏的方式进行，每个节目开始时，两班各派一人先进行转盘游戏，胜者获得一件奖品，负责表演一个节目．(1)班的文娱委员利用分别标有数字1，2，3，4，5，6，7的两个转盘(如图所示)，设计了一种游戏方案：两人同时各转动一个转盘一次，将转到的数字相加，和为偶数时(1)班代表获胜，否则(2)班代表获胜．该方案对双方是否公平？为什么？【解】该方案是公平的，理由如下：各种情况如表所示：和45671567826789378910由表可知该游戏可能出现的情况共有12种，其中两数字之和为偶数的有6种，为奇数的也有6种，所以(1)班代表获胜的概率P1＝eq\f(6,12)＝eq\f(1,2)，(2)班代表获胜的概率P2＝eq\f(6,12)＝eq\f(1,2)，即P1＝P2，机会是均等的，所以该方案对双方是公平的．互动探究[变条件]在本例中，若把游戏规则改为自由转动两个转盘，转盘停止后，两个指针指向的两个数字相乘，如果积是偶数，那么(1)班代表获胜，否则(2)班代表获胜．游戏规则公平吗？为什么？解：不公平．因为出现奇数的概率为eq\f(4,12)＝eq\f(1,3)，而出现偶数的概率为eq\f(8,12)＝eq\f(2,3).反思归纳游戏公平性的标准及判断方法(1)游戏规则是否公平，要看对游戏的双方来说，获胜的可能性或概率是否相同．若相同，则规则公平，否则就是不公平的．(2)具体判断时，可以按所给规则，求出双方的获胜概率，再进行比较．跟踪训练有一种游戏是这样的：在一个大转盘上，盘面被均匀地分成12份，分别写有1～12这12个数字(如图所示)，其中2，4，6，8，10，12这6个区域对应的奖品是文具盒，而1，3，5，7，9，11这6个区域对应的奖品是随身听．游戏规则是转盘转动后指针停在哪一格，则继续向前前进对应转盘上数字的格数．例如：你转动转盘停止后，指针落在4所在区域，则还要往前前进4格，到标有8的区域，此时8区域对应的奖品就是你的，以此类推．请问：小明在玩这个游戏时，得到的奖品是随身听的概率是多少？解：根据题意知转盘停止后，指针所在区域再前进相应格数后所在位置均为标有偶数的区域，故得到的奖品是随身听的概率是0.随机模拟法估计概率例4池州九华山是著名的旅游胜地．天气预报8月1日后连续四天，每天下雨的概率为.现用随机模拟的方法估计四天中恰有三天下雨的概率：在0～9十个整数值中，假定0，1，2，3，4，5表示当天下雨，6，7，8，9表示当天不下雨．在随机数表中从某位置按从左到右的顺序读取如下40组四位随机数：9533952200187472001838795869328178902692828084253990846079802436598738820753893596352379180598900735464062988054972056951574800832166470508067721642792031890343据此估计四天中恰有三天下雨的概率为()\f(3,4) \f(2,5)\f(21,40) \f(17,40)【解析】在40组四位随机数中，0～5的整数恰出现3次的四位数有16组，故四天中恰有三天下雨的概率的估计值为eq\f(16,40)＝eq\f(2,5).【答案】B规律方法应用随机数估计概率的步骤(1)明确随机数的范围及数字与试验结果的对应关系．(2)产生随机数．(3)统计试验次数N及所求事件包含的次数n.(4)计算eq\f(n,N)便可．跟踪训练袋子中有四个小球，分别写有“幸”“福”“快”“乐”四个字，有放回地从中任取一个小球，取到“快”就停止，用随机模拟的方法估计直到第二次停止的概率：先由计算器产生1到4之间取整数值的随机数，且用1，2，3，4表示取出小球上分别写有“幸”“福”“快”“乐”四个字，以每两个随机数为一组，代表两次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：1324123243142432312123133221244213322134据此估计，直到第二次就停止的概率为()\f(1,5) \f(1,4)\f(1,3) \f(1,2)解析：选B.由随机模拟产生的随机数可知，直到第二次停止的有13，43，23，13，13共5个基本事件，故所求的概率为P＝eq\f(5,20)＝eq\f(1,4).达标反馈1．抛掷一枚硬币100次，正面向上的次数为48次，下列说法正确的是()A．正面向上的概率为B．反面向上的概率是C．正面向上的频率为D．反面向上的频率是解析：选C.因为抛掷一枚硬币100次，即为100次试验，正面向上这一事件发生了48次，根据频率的定义可知，正面向上的频率为.2．容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：分组[10，20)[20，30)[30，40)[40，50)[50，60)[60，70]频数234542则样本数据落在区间[10，40)上的频率为()A． B．C． D．解析：选B.在区间[10，40)的频数为2＋3＋4＝9，所以频率为eq\f(9,20)＝.3．某地气象局预报说，明天本地降雨的概率为80%，则下列解释正确的是()A．明天本地有80%的区域降雨，20%的区域不降雨B．明天本地有80%的时间降雨，20%的时间不降雨C．明天本地降雨的机会是80%D．以上说法均不正确解析：选C.选项A，B显然不正确，因为80%是说降雨的概率，而不是说80%的区域降雨，更不是说有80%的时间降雨，是指降雨的机会是80%，故选C.4．通过模拟试验，产生了20组随机数：68303013705574307740442278842604334609526807970657745725657659299768607191386754如果恰有三个数在1，2，3，4，5，6中，则表示恰有三次击中目标，则四次射击中恰有三次击中目标的概率约为()A．25% B．30%C．35% D．40%解析：选A.表示三次击中目标分别是3013，2604，5725，6576，6754，共5组数，而随机数总共20组，所以所求的概率近似为eq\f(5,20)＝25%.5．玲玲和倩倩下跳棋，为了确定谁先走第一步，玲玲决定拿一个飞镖射向如图所示的靶中．若射中区域所标的数字大于3，则玲玲先走第一步，否则倩倩先走第一步．这个游戏规则________(填“公平”或“不公平”)．解析：由已知得，所标的数字大于3的区域有5个，而小于或等于3的区域只有3个，所以玲玲先走的概率是eq\f(5,8)，倩倩先走的概率是eq\f(3,8)，所以不公平．答案：不公平巩固提升[A基础达标]1．给出下列三个说法，其中正确说法的个数是()①设有一大批产品，已知其次品率为，则从中任取100件，必有10件是次品；②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，出现正面的概率是eq\f(3,7)；③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率．A．0 B．1C．2 D．3解析：选A.①概率指的是可能性，错误；②频率为eq\f(3,7)，而不是概率，故错误；③频率不是概率，错误．2．在进行n次重复试验中，事件A发生的频率为eq\f(m,n)，当n很大时，事件A发生的概率P(A)与eq\f(m,n)的关系是()A．P(A)≈eq\f(m,n) B．P(A)<eq\f(m,n)C．P(A)>eq\f(m,n) D．P(A)＝eq\f(m,n)解析：选A.对于给定的随机事件A，事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A)．即P(A)≈eq\f(m,n).3．每道选择题有四个选项，其中只有一个选项是正确的．某次数学考试共有12道选择题，有位同学说：“每个选项正确的概率是eq\f(1,4)，我每道题都选择第一个选项，则一定有3道题选择结果正确．”该同学的说法()A．正确 B．错误C．无法解释 D．以上均不正确解析：选B.解每一道选择题都可看成一次试验，每次试验的结果都是随机的，经过大量的试验其结果呈现出一定的规律，即随机选取一个选项选择正确的概率是eq\f(1,4).12道选择题做对3道题的可能性比较大，但并不能保证一定做对3道题，也有可能都选错，因此该同学的说法错误．4．数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米2018石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得270粒内夹谷30粒，则这批米内夹谷约为()A．222石 B．224石C．230石 D．232石解析：选B.由题意，抽样取米一把，数得270粒米内夹谷30粒，即夹谷占有的概率为eq\f(30,270)＝eq\f(1,9)，所以2018石米中夹谷约为2018×eq\f(1,9)≈224(石)．故选B.5．假定某运动员每次投掷飞镖正中靶心的概率为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员两次投掷飞镖恰有一次命中靶心的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中靶心，5，6，7，8，9，0表示未命中靶心；再以每两个随机数为一组，代表两次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：9328124585696834312573930275564887301135据此估计，该运动员两次掷镖恰有一次正中靶心的概率为()A． B．C． D．解析：选A.两次掷镖恰有一次正中靶心表示随机数中有且只有一个数为1，2，3，4中的之一．它们分别是93，28，45，25，73，93，02，48，30，35共10个，因此所求的概率为eq\f(10,20)＝.6．将一枚质地均匀的硬币连掷两次，则至少出现一次正面向上与两次均出现反面向上的概率比为________．解析：将一枚质地均匀的硬币连掷两次有以下情形：(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)．至少出现一次正面向上有3种情形，两次均出现反面向上有1种情形，故答案为3∶1.答案：3∶17．商场在一周内共卖出某种品牌的皮鞋300双，商场经理为考察其中各种尺码皮鞋的销售情况，以这周内某天售出的40双皮鞋的尺码为一个样本，分为5组，已知第3组的频率为，第1，2，4组的频数分别为6，7，9，若第5组表示的是尺码为40～42的皮鞋，则售出的这300双皮鞋中尺码为40～42的皮鞋约为________双．解析：因为第1，2，4组的频数分别为6，7，9，所以第1，2，4组的频率分别为eq\f(6,40)＝，eq\f(7,40)＝，eq\f(9,40)＝.因为第3组的频率为，所以第5组的频率是1－－－－＝，所以售出的这300双皮鞋中尺码为40～42的皮鞋约为×300＝60(双)．答案：608．某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获收益12%；一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%，下表是去年200例类似项目开发的实施结果．投资成功投资失败192次8次则该公司一年后估计可获收益的平均数是________元．解析：应先求出投资成功与失败的概率，再计算收益的平均数，设可获收益为x万元，如果成功，x的取值为5×12%，如果失败，x的取值为－5×50%，一年后公司成功的概率估计为eq\f(192,200)＝eq\f(24,25)，失败的概率估计为eq\f(8,200)＝eq\f(1,25)，所以一年后公司收益的平均数x＝(5×12%×eq\f(24,25)－5×50%×eq\f(1,25))×10000＝4760(元)．答案：47609．随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：日期123456789101112131415天气晴雨阴阴阴雨阴晴晴晴阴晴晴晴晴日期161718192021222324252627282930天气晴阴雨阴阴晴阴晴晴晴阴晴晴晴雨(1)在4月份任取一天，估计西安市在该天不下雨的概率；(2)西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率．解：(1)在容量为30的样本中，不下雨的天数是26，以频率估计概率，得在4月份任取一天，西安市在该天不下雨的概率约为eq\f(13,15).(2)称相邻的两个日期为“互邻日期对”(如1日与2日，2日与3日等)．这样，在4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16个，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次日不下雨的频率为eq\f(7,8).以频率估计概率，得运动会期间不下雨的概率约为eq\f(7,8).10．有人对甲、乙两名网球运动员训练中一发成功次数做了统计，结果如下表：一发次数n102050100200500甲一发成功次数9174492179450一发成功的频率一发次数n102050100200500乙一发成功次数8194493177453一发成功的频率请根据以上表格中的数据回答以下问题：(1)分别计算出两位运动员一发成功的频率，完成表格；(2)根据(1)中计算的结果估计两位运动员一发成功的概率．解：(1)一发次数n102050100200500甲一发成功次数9174492179450一发成功的频率一发次数n102050100200500乙一发成功次数8194493177453一发成功的频率(2)由第一问中的数据可知，随着一发次数的增多，两位运动员一发成功的频率都越来越集中在附近，所以估计两人一发成功的概率均为.[B能力提升]11．下面有三种游戏规则：袋子中分别装有大小相同的球，从袋中取球．游戏1游戏2游戏33个黑球和1个白球1个黑球和1个白球2个黑球和2个白球取1个球，再取1个球取1个球取1个球，再取1个球取出的两个球同色→甲胜取出的球是黑球→甲胜取出的两个球同色→甲胜取出的两个球不同色→乙胜取出的球是白球→乙胜取出的两个球不同色→乙胜问其中不公平的游戏是()A．游戏1 B．游戏1和游戏3C．游戏2 D．游戏3解析：选D.游戏1中，取2个球的所有可能情况为(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑2，黑3)，(黑1，白)，(黑2，白)，(黑3，白)．所以甲胜的可能性为，故游戏是公平的；游戏2中，显然甲胜的可能性为，游戏是公平的；游戏3中，取2个球的所有可能情况为(黑1，黑2)，(黑1，白1)，(黑2，白1)，(黑1，白2)，(黑2，白2)，(白1，白2)．所以甲胜的可能性为eq\f(1,3)，游戏是不公平的．12．某种心脏病手术，成功率为，现准备进行3例此种手术，利用计算机取整数值随机数模拟，用0，1，2，3代表手术不成功，用4，5，6，7，8，9代表手术成功，产生20组随机数：966，907，191，924，270，832，912，468，578，582，134，370，113，573，998，397，027，488，703，725，则恰好成功1例的概率为________．解析：设恰好成功1例的事件为A，A所包含的基本事件为191，270，832，912，134，370，027，703共8个．则恰好成功1例的概率为P(A)＝eq\f(8,20)＝.答案：13．某汽车站每天均有3辆开往省城的分为上、中、下等级的客车，某天袁先生准备在该汽车站乘车前往省城办事，但他不知道客车的车况，也不知道发车顺序．为了尽可能乘上上等车，他采取如下策略：先放过一辆，如果第二辆比第一辆好则上第二辆，否则上第三辆，则他乘上上等车的概率为__