人教B版-必修三-第七章 三角函数-本章小结“十市联赛”一等奖

《综合复习与测试》学案新课标教学法课程标准：了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性．教学重点：1.弧度制的意义.2.角度与弧度的互化.3.弧度制下，弧长和扇形面积公式的运用．教学难点：弧度制的概念及角度与弧度的互化.核心掌握概念【知识导学】知识点一角的单位制(1)把圆周等分成360份，其中每一份所对应的圆心角为1度，这种用eq\o(□,\s\up3(01))度作单位来度量角的制度称为角度制，规定1°＝eq\o(□,\s\up3(02))60′，1′＝eq\o(□,\s\up3(03))60″.(2)称eq\o(□,\s\up3(04))弧长与eq\o(□,\s\up3(05))半径比值的这个常数为圆心角的弧度数．长度等于eq\o(□,\s\up3(06))半径长的圆弧所对的eq\o(□,\s\up3(07))圆心角叫做1弧度的角，记作eq\o(□,\s\up3(08))1_rad.以eq\o(□,\s\up3(09))弧度作为单位来度量角的制度称为弧度制．在用弧度制表示角时，“弧度”二字或rad可以略去不写．(3)弧度数的计算知识点二弧度与角度的换算(1)弧度制与角度制的换算(2)一些特殊角的度数与弧度数的对应表度0°30°45°60°90°120°135°150°180°弧度0eq\f(π,6)eq\f(π,4)eq\f(π,3)eq\f(π,2)eq\f(2π,3)eq\f(3π,4)eq\f(5π,6)π知识点三扇形的弧长及面积公式设扇形的半径为r，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角的弧度数，n为圆心角的角度数，则扇形的弧长：l＝eq\f(nπr,180)＝eq\o(□,\s\up3(01))αr，扇形的面积：S＝eq\f(nπr2,360)＝eq\o(□,\s\up3(02))eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)α·r2.【新知拓展】(1)无论是以“度”还是以“弧度”为单位，角的大小都是一个与“半径”大小无关的定值，仅仅是为了能使概念描述更具体的一个“过渡量”而已．(2)用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”两字可以省略不写，如sin2是指sin(2弧度)，π＝180°是指π弧度＝180°；但如果以度为单位表示角时，度就不能省去．(3)用弧度为单位表示角时，常常把弧度数写成多少π的形式，如无特殊要求，不必把π写成小数，如45°＝eq\f(π,4)弧度，不必写成45°≈弧度．(4)角度制和弧度制表示的角不能混用．如α＝30°＋2kπ，k∈Z；β＝eq\f(π,4)＋k·90°，k∈Z，都不正确．(5)弧度制是十进制，而角度制是六十进制．评价自测1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)大圆中1弧度角比小圆中1弧度角大．()(2)圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等．()(3)用弧度表示的角都是正角．()(4)“度”和“弧度”是度量角的两种不同的度量单位．()答案(1)×(2)×(3)×(4)√2．做一做(1)在半径为5cm的圆中，圆心角为周角的eq\f(2,3)的角所对的圆弧长为()\f(4π,3)cm \f(20π,3)cm\f(10π,3)cm \f(50π,3)cm(2)－135°化为弧度为________，eq\f(11π,3)化为角度为________．答案(1)B(2)－eq\f(3π,4)660°

核心素养形成题型一弧度制的概念例1下列命题中，假命题是()A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B．一度的角是周角的eq\f(1,360)，一弧度的角是周角的eq\f(1,2π)C．1弧度是长度等于半径长的圆弧所对的圆心角，它是角的一种度量单位D．不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们均与圆的半径长短有关[解析]根据角度和弧度的定义，可知无论是角度制还是弧度制，角的大小与圆的半径长短无关，而是与弧长与半径的比值有关，所以D是假命题．选项A，B，C均为真命题．[答案]D金版点睛角度制和弧度制的比较(1)弧度制是以“弧度”为单位来度量角的单位制，而角度制是以“度”为单位来度量角的单位制．(2)1弧度的角是指长度等于半径长的弧所对的圆心角，而1度的角是指圆周角的eq\f(1,360)的角，大小显然不同．(3)无论是以“弧度”还是以“度”为单位来度量角，角的大小都是一个与“半径”大小无关的值．(4)用“度”作为单位度量角时，“度”(即“°”)不能省略，而用“弧度”作为单位度量角时，“弧度”二字或“rad”通常省略不写．但两者不能混用，即在同一表达式中不能出现两种度量方法．eq\a\vs4\al([跟踪训练1])下列叙述中正确的是()A．1弧度是1度的圆心角所对的弧B．1弧度是长度为半径的弧C．1弧度是1度的弧与1度的角之和D．大圆中1弧度的圆心角与小圆中1弧度的圆心角一样大答案D解析弧度是度量角的大小的一种单位，而不是长度的度量单位，1弧度是长度等于半径的圆弧所对圆心角的大小，与圆的半径无关，故选D.题型二弧度制与角度制的换算例2把下列各角用另一种度量制表示出来：112°30′；36°；－eq\f(5π,12)；.[解]112°30′＝eq\f(225,2)×eq\f(π,180)＝eq\f(5π,8).36°＝36×eq\f(π,180)＝eq\f(π,5).－eq\f(5π,12)＝－eq\f(5π,12)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°＝－75°.3．5＝×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°≈×°＝°(或200°33′)．金版点睛用弧度制表示角时“弧度”二字可以省略不写，而用角度制表示角时要特别注意单位“°”不能丢，因为1°与1是完全不同的两个角.eq\a\vs4\al([跟踪训练2])(1)－300°化为弧度是()A．－eq\f(4π,3) B．－eq\f(5π,3)C．－eq\f(7π,4) D．－eq\f(7π,6)(2)eq\f(8π,5)化为度数是()A．278° B．280°C．288° D．318°答案(1)B(2)C解析(1)－300°＝－300×eq\f(π,180)＝－eq\f(5π,3).(2)eq\f(8π,5)＝eq\f(8,5)×180°＝288°.题型三用弧度制表示角的集合例3已知角α＝2020°.(1)将α改写成β＋2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限的角；(2)在[－5π，0)内找出与α终边相同的角．[解](1)2020°＝2020×eq\f(π,180)rad＝eq\f(101π,9)rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11π,9)＋5×2π))rad，又π<eq\f(11π,9)<eq\f(3π,2)，∴角α与eq\f(11π,9)终边相同，是第三象限的角．(2)与α终边相同的角为eq\f(11π,9)＋2kπ(k∈Z)，由－5π≤eq\f(11π,9)＋2kπ<0，k∈Z知k＝－1，－2，－3.∴在[－5π，0)内与α终边相同的角是－eq\f(7π,9)，－eq\f(25π,9)，－eq\f(43π,9).金版点睛用弧度制表示终边相同的角α＋2kπk∈Z时，其中2kπ是π的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用.eq\a\vs4\al([跟踪训练3])(1)将－1125°表示成α＋2kπ，0≤α<2π，k∈Z的形式为________；(2)用弧度表示终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合．答案(1)eq\f(7π,4)－8π(2)见解析解析(1)∵－1125°＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1125×\f(π,180)))＝－eq\f(25π,4)，∴－eq\f(25π,4)＝eq\f(7π,4)－8π，即－1125°＝eq\f(7π,4)－8π.(2)因为终边落在OA处的角θ＝eq\f(5π,12)＋2kπ，k∈Z，终边落在OB处的角θ＝－eq\f(π,6)＋2kπ，k∈Z，所以终边落在阴影部分的角的集合为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(θ\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)＋2kπ<θ<\f(5π,12)＋2kπ，k∈Z)))).题型四扇形的弧长及面积公式的应用例4(1)已知扇形的周长为8cm，圆心角为2，则扇形的面积为________cm2(2)已知一半径为R的扇形，它的周长等于所在圆的周长，那么扇形的圆心角是多少弧度？面积是多少？[解析](1)设扇形的半径为rcm，弧长为lcm，由圆心角为2rad，依据弧长公式可得l＝2r，从而扇形的周长为l＋2r＝4r＝8，解得r＝2，则l＝4.故扇形的面积S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)×4×2＝4(cm2)．(2)设扇形的弧长为l，由题意得2πR＝2R＋l，所以l＝2(π－1)R，所以扇形的圆心角是eq\f(l,R)＝2(π－1)，扇形的面积是eq\f(1,2)lR＝(π－1)R2.[答案](1)4(2)见解析金版点睛弧度制下涉及扇形问题的解题策略(1)明确弧度制下扇形的面积公式是S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|r2(其中l是扇形的弧长，r是扇形的半径，α(0<α<2π)是扇形的圆心角)．(2)涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解．eq\a\vs4\al([跟踪训练4])已知扇形AOB的圆心角为120°，半径为6，求：(1)eq\o\ac(AB,\s\up15(︵))的长；(2)扇形所含弓形的面积(即阴影面积)．解(1)∵120°＝eq\f(2π,3)，∴eq\o\ac(AB,\s\up15(︵))的长l＝eq\f(2π,3)×6＝4π.(2)S扇形AOB＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)×4π×6＝12π.如图所示，过点O作OD⊥AB，交AB于D点，于是有S△OAB＝eq\f(1,2)AB·OD＝eq\f(1,2)×2×3eq\r(3)×3＝9eq\r(3)，∴弓形的面积为S扇形AOB－S△AOB＝12π－9eq\r(3).随堂水平达标1．2145°转化为弧度数为()\f(16,3) \f(32,2)\f(16π,3) \f(143π,12)答案D解析2145°＝2145×eq\f(π,180)rad＝eq\f(143π,12)rad.2．α＝－2rad，则α的终边在()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案C解析∵1rad≈°，∴－2rad≈－°.故α的终边在第三象限．3．在△ABC中，若A∶B∶C＝3∶5∶7，则角A，B，C的弧度数分别为________．答案eq\f(π,5)，eq\f(π,3)，eq\f(7π,15)解析A∶B∶C＝3∶5∶7，则A占总度数的eq\f(3,3＋5＋7)＝eq\f(1,5)；B占总度数的eq\f(5,3＋5＋7)＝eq\f(1,3)；C占总度数的eq\f(7,3＋5＋7)＝eq\f(7,15).又三角形的内角和为π，则A为eq\f(π,5)，B为eq\f(π,3)，C为eq\f(7π,15).4．用弧度制表示终边落在第二象限的角的集合为________．答案eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z))))解析若角α的终边落在第二象限，则eq\f(π,2)＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z.5．(1)把310°化成弧度；(2)把eq\f(5π,12)rad化成角度；(3)已知α＝15°，β＝eq\f(π,10)，γ＝1，θ＝105°，φ＝eq\f(7π,12)，试比较α，β，γ，θ，φ的大小．解(1)310°＝eq\f(π,180)rad×310＝eq\f(31π,18)rad.(2)eq\f(5π,12)rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)×\f(5π,12)))°＝75°.(3)解法一(化为弧度)：α＝15°＝15×eq\f(π,180)＝eq\f(π,12).θ＝105°＝105×eq\f(π,180)＝eq\f(7π,12).显然eq\f(π,12)<eq\f(π,10)<1<eq\f(7π,12)，故α<β<γ<θ＝φ.解法二(化为角度)：β＝eq\f(π,10)＝eq\f(π,10)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°＝18°，γ＝1≈°，φ＝eq\f(7π,12)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°＝105°.显然，15°<18°<°<105°，故α<β<γ<θ＝φ.课后课时精练A级：“四基”巩固训练一、选择题1．下列各式中正确的是()A．π＝180 B．π＝C．90°＝eq\f(π,2)rad D．1rad＝π答案C解析A项，πrad＝180°，故错误；B项，π≈，故错误；C项，90°＝eq\f(π,2)rad，故正确；D项，1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°，故错误．故选C.2．扇形的半径变为原来的2倍，而弧长也增加为原来的两倍，则()A．扇形的面积不变B．扇形圆心角不变C．扇形面积增大到原来的2倍D．扇形圆心角增大到原来的2倍答案B解析由弧度制定义，长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，所以一扇形所在圆的半径增加为原来的2倍，弧长也增加到原来的2倍，弧长与半径之比不变，所以，扇形圆心角不变，故选B.3．把－eq\f(11π,4)表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的θ为()A．－eq\f(3π,4) \f(π,4)\f(3π,4) D．－eq\f(π,4)答案A解析∵－eq\f(11π,4)＝－2π－eq\f(3π,4)，∴θ＝－eq\f(3π,4).又－eq\f(11π,4)＝－4π＋eq\f(5π,4)，∴θ＝eq\f(5π,4).∴使|θ|最小的θ＝－eq\f(3π,4).4．若α＝－eq\f(35,4)＋2kπ，k∈Z，则角α所在象限是()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案C解析∵－9<－eq\f(35,4)<－8，∴－3π<－eq\f(35,4)<eq\f(π,2)－3π.∴－eq\f(35,4)在第三象限，故α也在第三象限．5．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数的绝对值为()\f(π,3) \f(2π,3)\r(3) D．2答案C解析设所在圆的半径为r，圆内接正三角形的边长为2rsin60°＝eq\r(3)r，所以弧长eq\r(3)r的圆心角的弧度数为eq\f(\r(3)r,r)＝eq\r(3).二、填空题6．将－1485°化成α＋2kπ(0≤α<2π，k∈Z)的形式为________．答案eq\f(7π,4)－10π解析－1485°＝－1485×eq\f(π,180)＝－eq\f(33π,4)＝eq\f(7π,4)－10π.7．扇形AOB，半径为2cm，AB＝2eq\r(2)cm，则eq\x\to(AB)所对的圆心角弧度数为________．答案eq\f(π,2)解析∵OA＝OB＝2，AB＝2eq\r(2)，∴OA2＋OB2＝AB2，∴∠AOB＝90°＝eq\f(π,2).8．若角α的终边与eq\f(8π,5)角的终边相同，则在[0,2π]上，终边与eq\f(α,4)角的终边相同的角是________________．答案eq\f(2π,5)，eq\f(9π,10)，eq\f(7π,5)，eq\f(19π,10)解析由题意，得α＝eq\f(8π,5)＋2kπ，∴eq\f(α,4)＝eq\f(2π,5)＋eq\f(kπ,2)(k∈Z)．令k＝0,1,2,3，得eq\f(α,4)＝eq\f(2π,5)，eq\f(9π,10)，eq\f(7π,5)，eq\f(19π,10).三、解答题9．用弧度制表示终边在图中阴影区域内角的集合(包括边界)，并判断2019°是不是这个集合的元素．解∵150°＝eq\f(5π,6)，∴终边在阴影区域内角的集合为S＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(β\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋2kπ≤β≤\f(3π,2)＋2kπ，k∈Z)))).∵2019°＝219°＋5×360°＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(219π,180)＋10π))rad，又eq\f(5π,6)<eq\f(219π,180)<eq\f(3π,2)，∴2019°∈S.10．扇形AOB的周长为8cm(1)若这个扇形的面积为3cm2，(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB.解(1)设扇形的圆心角为θ，扇形所在圆的半径为R.依题意有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2R＋Rθ＝8，,\f(1,2)θ·R