精选损伤的概念和理论基础讲义

（优选）损伤的概念与理论基础目前一页\总数六十七页\编于十七点第一节损伤力学简介

1）损伤与损伤力学的概念

《辞海》：损伤是指身体某部受到外力的作用而使组织、器官的结构遭受破坏或其功能发生障碍。其中外力可为机械性、物理性和化学性三种。材料和工程构件，从毛坯制造到加工成形的过程中，不可避免地会使构件的内部或表面产生微小的缺陷（如小于1mm的裂纹或空隙等）。在一定的外部因素（载荷、温度变化以及腐蚀介质等）作用下，这些缺陷会不断扩展和合并，形成宏观裂纹。裂纹继续扩展后，最终可能导致构件或结构的断裂破坏。微缺陷的存在与扩展，是使构件的强度、刚度、韧性下降或剩余寿命降低的原因。目前二页\总数六十七页\编于十七点*损伤：在外载和环境的作用下，由于细观结构的缺陷（如微裂纹、微空洞）引起的材料与结构的劣化过程，称为损伤。**损伤力学：研究含损伤材料的性质（应力、应变），以及在变形过程中损伤的演化发展直至破坏（微裂纹的萌生、扩展或演变、体积元的破裂、宏观裂纹形成、裂纹的稳定扩展和失稳扩展）力学过程的学科。对损伤的研究，主要是在连续介质力学和热力学的基础上，用固体力学的方法，研究材料或构件宏观力学性能的演变直至破坏的全过程，从而形成了固体力学中一个新的分支--损伤力学。

目前三页\总数六十七页\编于十七点

2）损伤力学与相关学科的关系长期以来，人们对材料和构件宏观力学性能的劣化直至破坏过程的机理、本构关系、力学模型和计算方法都非常重视，并且用各种理论和方法进行了研究。材料和物理学家从微观的角度研究微缺陷产生的扩展的机理，但所得的结果不易与宏观力学量相联系。力学工作者则着眼于宏观分析，其中最常用的是断裂力学的理论和方法。裂断力学主要研究裂纹尖端附近的应力场和应变场、能量释放率等，以建立宏观裂纹起裂、裂纹的稳定扩展和失稳扩展的判据。但断裂力学无法分析宏观裂纹出现前材料中的微缺陷或微裂纹的形成与发展对材料力学性能的影响，而且许多微缺陷或微裂纹并不都能简化为宏观裂纹。目前四页\总数六十七页\编于十七点

经典的固体力学理论虽然完备地描述了无损伤材料的力学性能（弹性、粘弹性、塑性、粘塑性等），然而，材料或构件的工作过程就是不断损伤的过程，用无损材料的本构关系描绘受损材料的力学性能显然是不合理的。损伤力学旨在建立受损材料的本构关系、解释材料的破坏机理、建立损伤的演变方程、计算构件的损伤程度、从而达到预估其剩余寿命的目的。因此，它是经典的固体力学理论的发展和补充。

目前五页\总数六十七页\编于十七点

损伤力学的内容和方法，既联系和发源于古典的材料力学和断裂力学，又是它们的必然发展和必要补充。损伤力学主要研究宏观可见缺陷或裂纹出现以前的力学过程，含宏观裂纹物体的变形以及裂纹的扩展的研究则是断裂力学的内容。所以人们常将损伤力学与断裂力学联结在一起，构成破坏力学或破坏理论的主要内容。与断裂力学的关系：*无耦合的分析方法：70年代末，损伤力学限制在只研究材料在宏观裂纹出现以前的阶段，当宏观裂纹出现以后则用断裂力学的理论和方法进行研究。目前六页\总数六十七页\编于十七点无耦合的分析方法目前七页\总数六十七页\编于十七点*耦合的计算方法当宏观裂纹出现以后，材料的损伤对裂纹尖端附近及其它区域的应力和应变都有影响。

耦合的计算方法目前八页\总数六十七页\编于十七点

损伤理论，是将固体物理学、材料强度理论和连续介质力学统一起来进行研究的。因此，用损伤理论导得的结果，既反映材料微观结构的变化，又能说明材料宏观力学性能的实际变化状况，而且计算的参数还应是宏观可测的，这一定程度上弥补了微观研究和断裂力学研究的不足，也为这些学科的发展和相互结合开拓了新的前景。*与细观力学的关系细观力学是直接研究材料的细观组元（即材料在光学或常规电子显微镜下可见的微细结构），利用多重尺度的连续介质力学的方法来研究经过某种统计平均处理的细观特征，并需借助电子计算机巨大的运算能力和容量，才能模拟较复杂介质的力学行为。目前九页\总数六十七页\编于十七点

损伤力学不分别考虑某个微细缺陷，如位错、微孔洞、微裂纹等的影响，而是通过引入“损伤变量”来描述分布于整个材料介质内部的微细缺陷损伤，研究的重点是材料内部损伤的产生和发展引起的受损材料的宏观力学行为的变化。损伤力学、断裂力学和细观力学都是研究不可逆的破坏过程的科学，它们三者组成了从细观尺度直至宏观尺度描述材料破坏过程的破坏理论科学。目前十页\总数六十七页\编于十七点目前十一页\总数六十七页\编于十七点

3）损伤力学的发展历史损伤力学是近20年发展起来的一门新学科，是材料与结构的变形与破坏理论的重要组成部分。

Kachanov在1958年研究金属蠕变过程断裂时，首次引入了“连续性因子”和“有效应力”的概念来描述低应力脆性蠕变损伤。

Rabotnov在1963年进一步引入了“损伤因子”的概念。他们采用连续介质力学的唯象方法来研究材料蠕变损伤破坏过程。

Janson、Hult于1977年提出了损伤力学（damagemechanics）的新名词。目前十二页\总数六十七页\编于十七点

70年代后期，法国的Lemaitre、Chaboche、美国的Krempl、Krajcinovic、日本的Murakami（村上澄南）、瑞典的Hult、英国的Hayhurst和Leckie等人采用连续介质力学的方法，把损伤因子进一步推广为一种场变量，逐渐形成了“连续介质损伤力学”这一门新的学科。

1980年5月，国际理论与应用力学联合会(IUTAM)在美国Cincinnati举办“有关损伤与寿命预测的连续介质方法”讨论班，之后已召开了多次有关损伤力学的重要国际会议和讨论班。损伤力学已在工程实际中成功地得到应用，解决了核电站管接头的低周疲劳、飞机涡轮发动机叶片和涡轮盘的蠕变疲劳、混凝土梁的断裂、金属塑性成形及复合材料压力容器损伤监测等工程问题。

目前十三页\总数六十七页\编于十七点

1986年，Kachanov出版了第一本有关损伤力学的专著“IntroductiontoContinuumDamageMechanics。

1992年，Lemaitre出版了有关损伤力学的教程“ACourseofDamageMechanics”。

从1988年开始，美国应用力学评论杂志正式将CDM列入主题目录。损伤力学已成为公认的固体力学新分支，它主要研究探讨以下五个方面的基本问题：（a）如何从物理学、热力学和力学的观点来阐明和描述损伤，引入简便、适用的损伤变量。（b）如何检测损伤、监测损伤发展规律、建立损伤演变过程。目前十四页\总数六十七页\编于十七点

（c）如何建立初始损伤条件和损伤破坏准则。（d）如何描述和建立损伤本构关系。（e）如何将损伤力学的理论分析应用于工程实际问题。我国从80年代初期以来，在损伤力学的理论模型、检测方法、工程应用等诸方面开展了广泛的研究工作。主要的研究单位有华中科技大学、清华大学、北京科技大学、西北工业大学等。目前，国内外有关损伤力学的研究，除了继续完善其理论方法之外，主要集中于微、细观缺陷损伤机制的研究，并与断裂力学、细观力学及材料科学等其它学科相结合，将损伤力学应用于工程实际问题，诸如工程结构的应力分析，结构完整分析和寿命分析，材料的细观设计与工艺制造等。目前十五页\总数六十七页\编于十七点

4）损伤与损伤力学的分类（1）损伤损伤是一个不断累积的过程。损伤可分为：弹脆性损伤、弹塑性损伤、疲劳损伤、蠕变损伤、辐照损伤、剥落损伤、腐蚀损伤等。通常研究最多的两大类损伤是由微裂纹萌生与扩展的脆性损伤；和由微空洞的萌生、长大、汇合与扩展的韧性损伤。（2）损伤力学

有两个主要的分支：

目前十六页\总数六十七页\编于十七点（a）连续损伤力学：利用连续介质力学与热力学的唯象学方法，研究损伤的力学过程。它着重考察损伤对材料宏观力学性质的影响以及材料和结构损伤演化的过程和规律。而不考察其损伤演化的细观物理和力学过程，只求用连续损伤力学预计的宏观力学行为与变形行为符合实验结果与实际情况。如J.Leimatre的能量损伤理论。（b）细观损伤力学：它通过对典型损伤基元，如微裂纹、微空洞、剪切带等以及各种基元的变形与演化过程，通过某种力学平均化的方法，求得材料变形成损伤过程与细观损伤参量之间的关联。如村上澄男（Murakami）的几何损伤理论。

目前十七页\总数六十七页\编于十七点

典型体元：金属和陶瓷：0.1×0.1×0.1mm3；高分子和复合材料：1×1×1mm3；木材：10×10×10mm3；混凝土：100×100×100mm35）损伤的研究方法（a）金属物理学方法利用透镜、扫描电镜等手段从细观或微观的角度研究材料微结构（微裂纹和微孔洞）的形态和变化及其对材料宏观力学性能的影响。研究损伤演变的物理机制对于建立宏观唯象的力学模型是十分必要的。但很难解释并建立微观结构的变异与宏观力学响应之间的相互关系。所以，金属物理学方法可作为损伤力学研究的辅助方法。目前十八页\总数六十七页\编于十七点

（b）唯象学方法（宏观方法）以连续介质力学和不可逆热力学为基础，从宏观的现象出发并模拟宏观的力学行为。宏观唯象学研究的目的是在材料的本构关系中引入损伤场变量，使得含损伤变量的本构关系能真实描述受损材料的宏观力学行为。由于损伤的机制不同和用于描述各个损伤场的损伤变量不同，从而有可能得出许多不同形式的描述损伤演变的方程。唯象学方法由于是从宏观的现象出发并模拟宏观的力学行为来确定参数，所以得到的方程往往是半理论半经验的，其研究结果也较微观方法更容易用于实际问题的分析。其不足之处是不能从细、微观结构层次上弄清损伤的形态和变化，因此，其研究难以深入本质而且切合损伤在微、细观层次上的实际。目前十九页\总数六十七页\编于十七点

（c）统计学方法用统计方法研究材料和结构中的损伤。在损伤的初期，微裂纹、微空洞等缺陷是随机性的。在这一阶段，损伤变量场可以抽象为一个具有随机性特征的场变量。因此，用细观方法研究个体微缺陷，再用统计学方法归纳出损伤场变量。

(d)宏细微观相结合的方法(基于细观的唯象损伤理论)

损伤的形态及其演化过程理发生于细观层次上的物理现象，必须用细观观测手段和细观力学方法加以研究；而损伤对材料力学性能的影响则是细观的成因在宏观上的结果或表现。因此要想从根本上解决问题，就必须运用宏、细观相结合的方法研究损伤力学问题。

目前二十页\总数六十七页\编于十七点

6）损伤研究的基本过程（a）选择合适的损伤变量。描述材料中损伤状态的场变量称为损伤变量，它属于本构理论中的内部状态变量。从力学意义上说，损伤变量的选取应考虑到如何与宏观力学建立联系并易于测量。不同的损伤过程，可以选取不同的损伤变量，即使同一损伤过程，也可以选取不同的损伤变量。（b）建立损伤演变方程。材料内部的损伤是随外界因素(如载荷、温度变化及腐蚀等)作用的变化而变化的。为了描述损伤的发展，需要建立描述损伤发展的方程，即损伤演变方程。选取不同的损伤变量，损伤演变方程也就不同，但它们都必须反映材料真实的损伤状态。目前二十一页\总数六十七页\编于十七点

目前二十二页\总数六十七页\编于十七点目前二十三页\总数六十七页\编于十七点

(c)建立考虑材料损伤的本构关系。这种包含了损伤变量的本构关系，即损伤本构关系或损伤本构方程，在计算中占有重要的地位，或者说起着关键或核心的作用。

(d)根据初始条件（包含初始损伤）和边界条件求解材料各点的应力、应变和损伤值。由计算得到的损伤值，可以判断各点的损伤状态。在损伤达到临界值时，可以认为该点（体积元）破裂，然后根据新的损伤分布状态和新的边界条件，再作类似的反复计算，至达到构件的破坏准则而终止。目前二十四页\总数六十七页\编于十七点第二节损伤的唯象特征

1)损伤的物理本质材料的损伤就是使材料损坏的渐进的物理过程；损伤力学是通过力学变量来研究材料在载荷作用下的性能退化机理。在微观尺度下，在缺陷或界面附近，微应力累积和连接破坏，使材料产生损伤。在细观尺度和典型体元中，损伤是指微裂纹或微空洞的增长和接合使裂纹萌生。这两个阶段可用连续介质力学中的损伤变量加以研究。在宏观尺度下是指裂纹的扩展，可用宏观水平的断裂力学变量进行研究。目前二十五页\总数六十七页\编于十七点

（a）原子、弹性与损伤所有的材料都是由原子组成的，这些原子由电磁相互作用形成的键联结在一起。弹性与原子的相互运动直接相关，对原子点阵的物理性质进行研究导致了弹性理论。当结合链破坏时，便开始了损伤过程。例如金属以晶格或颗粒形式排列，除去一些原子空位处的位错线之外，原子的排列都是有规律的。如果作用以剪切应力，由于键的位移而引起位错运动，于是便引起了由滑移而导致塑性应变，而无任何脱键现象。如果位错运动被某一微缺或某一微应力集中处所中止，即将产生一个约束区，而另一个位错将在此处中止。位错的多次中止即形成了微裂纹核。金属中的其他损伤机理还包括晶间开裂、夹杂物与基体之间的分离等。目前二十六页\总数六十七页\编于十七点

在聚合物中，由于分子长链之间的键带破坏而产生损伤。在复合材料中，由于纤维和聚合物基体间的脱键而产生损伤。在陶瓷中，主要是由于集料与水泥间的分离，从而产生损伤。对于木材，产生损伤的薄弱环节为纤维素网络的断裂。损伤对弹性有直接的影响，这时由于与弹性有关部门的原子键的数目随着损伤的增大而减少。目前二十七页\总数六十七页\编于十七点

（b）滑移、塑性与不可逆应变塑性与滑移直接参与有关。在金属中，位错的运动引起滑移，或由位错的攀移和孪生导致滑移。然而在任何情况下，都不会产生明显的体积变化。在其它材料中，不可逆应变可由不同的机理引起，如聚合物中分子的重新排列；陶瓷中的微裂纹，其中大的晶格阻力限制了位错的移动；混凝土中，沿减聚表面的滑移；木材中，网络的重新排列。它们都将引起体积的变化。目前二十八页\总数六十七页\编于十七点

（c）应变与损伤现象的尺度弹性发生在原子的水平上；塑性由晶体或分子水平的滑移所控制；从原子到分子水平的脱键产生的损伤萌生裂纹。连续介质力学研究定义在数学点上的量，但物理的观点看这些量表示一定体积上的平均值。‘典型体元’选取时，必须足够小以便避免量的高梯度，但又必须足够大以便代表微过程的平均值。材料的典型体元的大小可定义为：金属和陶瓷:(0.1mm)3;纤维和复合材料：(1mm)3

木材：(10mm)3;混凝土：(100mm)3

损伤总是比应变更局部化。尽管由于原子间的距离变化或由于许多滑移引起的原子运动所产生的应变发生于整个体积；然而损伤或原子键的破坏却局限于表面。目前二十九页\总数六十七页\编于十七点

（d）损伤的表现尽管微现尺度的损伤可由通用的脱键机理所描述，然而在细观尺度，损伤则以不同的方式表现出来，它取决于材料的性质、载荷的类型和温度。

脆性损伤：当萌生一个细观微裂纹而无宏观塑性应变时，此时的损伤称为脆性损伤，即εp≤εe这意味着解理力小于产生滑移的力但大于脱键力，同时损伤的局部化程度很高。断口平坦、白亮。

延性损伤：此类损伤是当塑性变形大于某一门槛Pth时发生的。它是由于夹杂物和基体之间的分离产生空洞所引起的，这些空洞由于塑性不稳定现象进一步增长和合并，因此延性损伤的局部化程度与塑性应变程度相当。目前三十页\总数六十七页\编于十七点

蠕变损伤：当金属在高温下承载时，比如温度高于熔点的1/3时，则塑性应变中包含了粘性，即材料在常应力下也会产生变形。当应变足够大时，则产生沿晶开裂而引起损伤。

低周疲劳：当材料承受大应力或大应变循环载荷时，在微裂纹形核和扩展阶段前的潜伏期后，损伤与循环塑性应变一起发展，此时损伤的局部化程度高于延性或蠕变损伤的局部化程度。由于应力很高，低周疲劳的特征为其断裂循环数NR较低（1000次），损伤常表现为沿晶或穿晶微开裂。目前三十一页\总数六十七页\编于十七点

高周疲劳：当材料承受低幅值应力循环载荷时，细观塑性应变很小，但在微观水平的某些点处的塑性应变可能很高，在这些点处只在一些平面上会产生穿晶微开裂，最常见的是沿试样表面的挤入带。失效循环数很高：NR>10000。

剥落损伤：由冲击载荷或高速载荷产生的塑性损伤和弹塑性损伤，又称为动力损伤。此外，还有由腐蚀引起的损伤，蠕变-疲劳损伤以及由中子线、α射线、核分裂的照射而引起的辐照损伤等。目前三十二页\总数六十七页\编于十七点

2）损伤变量在明确了损伤的物理本质后，须要选择一个损伤变量（描述微观缺陷力学作用的量），因为材料的性能、损伤的过程都需要通过一个参量来实现。（1）选择基准在定义一种损伤变量时，有两个问题需要考虑：一个是究竟用什么数学特性量（如标量、矢量或二阶张量）作为基准量来定义损伤变量；另一个是如何将损伤状态定式化。一般可作为基准的量，分为两类：（A）微观的基准

a）空隙的数目、长度、面积、体积等。

b）空隙的形状、配列。由取向所决定的有效面积。

目前三十三页\总数六十七页\编于十七点（B）宏观基准

c）弹性常数；d）屈服应力；e）拉伸强度；f）延伸率；g）密度；i）电阻；j）超声波速度；k）声发射等对于第一类基准量，不能直接与宏观的力学参量建立本构关系，所以在用它们来定义损伤变量时，需要对它作一定宏观尺度下的统计平均处理。对于第二类基准量，一般总是采用那些对损伤过程比较敏感，且在实验室易于探测的量作为损伤变量。同一损伤过程，可以采用不同的损伤变量来描述。这些损伤变量变化的规律是不相同的。目前三十四页\总数六十七页\编于十七点

（2）连续度和损伤度在微观尺度上，损伤解释为产生非连续的微表面：原子键的断裂和微空洞的塑性扩展。在细观尺度，任何平面上的断裂键的数目或微空洞的形状可以近似为所有缺陷与该平面的截面积。因此，我们常用细观体积单元上微缺陷的失效效应来表征损伤变量。*定义一在细观典型体积单元中，假设原始的截面积为S0，微缺陷（微裂纹或微空洞）的有效截面Sd，仍处在连续状态的材料的表面积（有效承载面积）S。其中S0=S+Sd或S=S0-Sd。损伤度：，其意义是微缺陷（微裂纹或微空洞）的有效表面密度。(Robotnov,1963)目前三十五页\总数六十七页\编于十七点目前三十六页\总数六十七页\编于十七点

连续度(Kachanov，1958)：

ψ=S/So=（So-Sd）/So=1-ω

可以看出ψ和ω均是表征材料劣化的综合作用，是坐标的连续函数。对于完全无损的材料，ψ=1，ω=0；随着材料劣化和损伤，材料的连续性降低，此时ψ<1，dψ<0（ω＞

0，dω＞0）；当材料完全损坏时，材料无任何承载能力，ψ=0，ω=1。由于损伤的过程是不可逆的，ψ单调减小，ω单调增加。ψ和ω的范围为：0≤ψ≤1，0≤ω≤1。目前三十七页\总数六十七页\编于十七点*定义二

对于弹塑性材料而言，弹性模量的变化与原子键的失效相联系；而塑性流动反映了晶格滑移，但原子键保持不便。这两种机制在宏观上由单轴拉伸试验的应力-应变关系曲线的卸载响应反映出来；前者的初始（弹性）加载斜率与卸载斜率不同；而后者的初始加载斜率与卸载斜相同。因此可用受损材料的有效弹性模量表征材料的损伤或连续性，定义如下：连续性：ψ=E’/E

损伤度：ω=1-E’/E

式中E和E’分别为无损伤和受损伤材料的杨氏模量。目前三十八页\总数六十七页\编于十七点

*定义三

Broberg定义：ω=ln（So/S）

当So与S较接近时，该定义的损伤度与Robotnov的值近似相等。

Broberg定义的优点是在加载过程中的损伤可以叠加。如假设有效面积是分两步缩减的，第一部从So减缩到S1，然后再减缩到S2。这两步中的损伤分别为：

ω1=ln（So/S1），ω2=ln（S1/S2）于是总的损伤为：ω=ln（So/S2）=ω1+ω2

目前三十九页\总数六十七页\编于十七点*其它定义：

损伤变量还可以有各种定义，可用质量密度、塑性、残余强度、疲劳循环周次、电阻率和声波传播速度等定义损伤变量。一般来说，连续性ψ或损伤度ω并无几何上的真实意义，它是材料性能劣化的相对度量与间接表征。说明：材料的损伤度ω或连续性ψ不仅与时间和空间相关，而且表现为各向异性，即对材料典型体元，不同方向的ω或ψ并不相同，因此损伤变量常是各向异性的，是各向异性的场变量。通常情况下，要用矢量或张量来表示损伤变量，以满足包容足够多的缺陷信息。

目前四十页\总数六十七页\编于十七点

3）等效性假设（Principleofequivalence）损伤力学是在经典材料力学和断裂力学基础上发展而来，但又突破了材料力学和断裂力学的强度设计理论。因此可通过以下的等效性假设，仍可用经典连续介质力学的方法来处理受损材料的损伤力学问题。

（a）应力-应变曲线与载荷等效性假设

Rabotnov在研究单轴拉伸蠕变时注意到：拉伸会引起试棒横向收缩，即从额定面积S0到真实面积S’；考虑材料损伤后又从真实面积S’改变到有效承载面积S。因此可以定义三种拉伸应力，即：目前四十一页\总数六十七页\编于十七点

额定应力0=F/S0

真实应力=F/S’

有效应力’=F/S

其中F是试样的外加载荷。对脆性材料，横向收缩很小可忽略，则S0=S’，0=。目前四十二页\总数六十七页\编于十七点

为处理方便，即用均匀连续的无损材料的连续介质力学方法，来解决受损材料的力学问题，我们做出如下的载荷等效性假设：将真实承载面积为S’、应力为的拉伸试棒等效为一虚拟拉伸试棒，此试棒具有有效面积S并作用着有效应力’，即在载荷不变的情况下，有：

F=S’=’S

由此可以导出有效应力’与真实应力的关系：’=（S’/S）=/ψ或’=/（1-ω）目前四十三页\总数六十七页\编于十七点

（b）应变等效性假设对受损的弹脆性材料，Leimatre提出应变等效性假设：在真实应力作用下，受损材料的应变等效于在有效应力’作用下虚拟的无损状态的应变。对于简单的一维情况，真实损伤状态的应力-应变关系为：

=/E’

而虚拟无损状态的应力-应变关系为：=’/E。因而有：’=（E/E’）若用有效弹性模量E定义的连续性ψ

=E’/E的损伤度，则得到与载荷等效性假设相同的有效应力’定义’=/ψ或’=/（1-ω）。

目前四十四页\总数六十七页\编于十七点

（c）应力等效性假设类似于应变等效性假设，可提出应力等效性假设：对受损弹脆性材料，在真实应变’作用下，受损材料的应力等效于在有效应变作用下虚拟的无损状态的应力。对于简单的一维情况，真实损伤状态的应力-应变关系为：’=’E’

而虚拟无损状态的应力-应变关系为：=E。因而有：

=（E’/E）’考虑到用有效弹性模量E表征的连续性ψ

=E’/E和损伤度的定义，我们可以导出有效应变与真实应变’之间的关系：=ψ

’或=（1-ω）’。目前四十五页\总数六十七页\编于十七点

（d）弹性能等效性假设对于受损弹脆性材料，若设弹性应变能密度（E’，’）与虚拟的无损状态的弹性应变能密度（E，）相等，在一维情况下可写为：（1/2）E’’2=（1/2）E2

可以导出：=（E’/E）1/2’

若设连续性ψ与有效杨氏模量E的关系为：ψ=（E’/E）1/2，则有：=ψ

’和’=/ψ

，这个关系与应力、应变等效性的假设一致。弹性能等效假设可解释为：对受损弹脆性材料，其应力-应变关系可用虚拟的无损状态的应力-应变关系代替，但同时用有效应力和有效应变分别换替真实应力’和真实应变’。目前四十六页\总数六十七页\编于十七点

（e）三维情况在3维情况下，若损伤是各向同性的，上述的应变等效性假设、应力等效性假设和弹性能等效性假设在3维情况下也是成立的。对应变等效性假设，有：

对于应力等效性假设，有：

对于弹性能等效性假设，有：

目前四十七页\总数六十七页\编于十七点第三节损伤理论基础

1)数学知识（1）梯度：函数u的梯度是一个矢量，在每一处的梯度方向与该点的方向方向相同，而指向u增加的方向。

定义：目前四十八页\总数六十七页\编于十七点

（2）散度（高斯公式）将面积分换算成体积分（二重积分→三重积分）目前四十九页\总数六十七页\编于十七点

（3）旋度（斯托克斯公式）曲线积分换算成面积分目前五十页\总数六十七页\编于十七点

损伤力学是以连续介质力学和热力学为基础的学科；连续介质力学又是以牛顿力学为基础发展而来的。

2）连续介质力学规律（a）质量守恒定律物质在运动过程中，质量保持不变，dM/dt=0。对连续介质，用V表示连续介质所占的体积，ρ为密度。质量随时间的变化为：*区域V表内单位时间的质量增加量：*质量的减少：通过表面流出（迁移）的质量。设体积V表的周界为S，其单位法向矢量为，是流动速度，则有：目前五十一页\总数六十七页\编于十七点

于是质量守恒定律可表示为：

（b）动量守恒定律“在惯性参考系内，物体系的总动量随时间的变化率等于作用在物体系的外力总和”对连续介质，V为连续介质所占的体积，ρ为密度，S为体积V的界面，面元ds的法向矢量为，为运动速度，为单位质量所受的体力，为应力。目前五十二页\总数六十七页\编于十七点

物体的动量变化率为：体力：面力：

所以有：即：

（c）动能的变化动能的变化率：目前五十三页\总数六十七页\编于十七点

单位时间内体力的功为：单位时间内面力的功：物体的变形功为：于是有：

3）热力学定律（a）热力学第一定律（能量守恒定律）

U(增加的内能和动能)=W(外力的功)+Q(增加的热量)目前五十四页\总数六十七页\编于十七点

能量的增加量U=总动能+总内能=

外力的功W=体力功+面力功=

热量Q=内源放热-流出的热量=

其中e为单位质量介质的内能；h为在单位时间内单位质量的内源放出的热量；是热流密度。于是能量守恒定律为：目前五十五页\总数六十七页\编于十七点

与动能方程相比较可得：

（b）热力学第二定律（不可逆过程的方向）

T为绝对温度；假定物体系有均匀的温度分布，此物体系统（热力学系统）从一个状态转变到另一个相邻状态时，与外界交换的热量为ΔQe。对可逆过程：对不可逆过程：定义一个函数，使dS=ΔQe/T，S是熵。目前五十六页\总数六十七页\编于十七点

对可逆过程：对不可逆过程：

即dS

≥ΔQe/T，dS=ΔQe/T+ΔQi/T，其中ΔQe/T是系统与外界相互作用的熵变；ΔQi/T是系统内部运动引起的熵变。

对连续介质，s是单位质量介质的熵。于是有：目前五十七页\总数六十七页\编于十七点

而热量为：于是有：其微分形式为：或：与热力学第一定律联立得：目前五十八页\总数六十七页\编于十七点

引入自由能f=e-Ts后，并考虑到df/dt=de/dt-sdT/dt-Tds/dt，于是热力学第二定律变为：

4）热力学状态变量和损伤变量（a）外变量（外部状态量）如果一个状态变量不是以前所发现的那些状态变量的函数，它就被称为基本（Primitive）状态变量。可测量（直接或间接）的基本状态变量，称为外变量，如温度T和应变ε等。

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（b）内变量（内部状态量）是一种不一定能够被直接测定，但实际上又可以像可观测量一样处理、与基本状态变量独立的热力学变量，它们与基本状态变量一道唯一地决定不可逆系统的状态。内变量的具体物理含义一般是非常广泛的，它取决于具体材料的热力学系统历史和在特定环境条件下的内部组织与结构状态。损伤变量是一种用于描述材料内部损伤状态变化发展及其对材料力学作用影响的内部状态变量。一个耗散系统的当前状态，同它的既往历史有关。在损伤力学的局部状态方法中，通过损伤内变量的变化来描述不可逆的耗散过程。目前六十页\总数六十七页\编于十七点

这些损伤内变量表征了材料内部的微结构（如位错密度、微裂纹、孔隙等的形貌，以及聚合物分子结构的化学老化过程等）的演化和发展。

从广义