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第第页浅谈致密性定理的不同证明方法
浅谈致密性定理的不同证明方法
[
证明:设数列{xn}是有界数列。定义数集A={x|{xn}中大于x的点有无穷多个}
三、证明中的几点发现
1.即使用同一个基本定理证明同一个定理,也可能有不同的方法。以下分别用两种方法完成用单调有界定理证明致密性定理。
证法一:由上一部分的论述,我们知道,用单调有界定理证明致密性定理,可以用二分法,本质上用区间套去证明致密性定理。
证法二:首先证明有界数列{an}有单调子数列。
称其中的项an有性质M,若对每个i>n,都有an≥a1,也就是说,an是集合{ai|i>n}的最大数。
2.从用有限覆盖定理证明致密性定理和用确界定理证明致密性定理中,我们都证明了一个结论:若
x0∈[a,b],δ>0,(x0-δ,x0+δ)中必含有xn的无限多项,则存在{xnk}为{xn}的子数列且收敛于
x0。而我们发现,其实这是一个充分必要条件。
3.由单调有界定理证明致密性定理的第二种证法,我们可以得出结论:任何数列都有单调子数列。有界数列已证。而无界数列也有单调子数列。
4.从数列的极限理论,我们知道收敛数列一定有界,但有界数列不一定收敛。在一系列需要构造收敛数列的分析问题中,往往一开始构造一个有界数列,然后由致密性定理得出子列,也即致密性定理,让我们从“混乱”的数列中找出了“秩序”。
证明是数学的灵魂!数学是研究结构的。通常情况下,如果它受什么条件制约的话,则必有什么性质。假如具备什么条件的话,则必然有什么结果。在实数基本定理的证明之中,我们深深体会到这一点。正如在任何语言中,同一思想可以用多种表达方法一样,同一个数学事实可以有不同的表达方式和不同的证明方法。而在证明过程中,我们不只检验了定理,而且对定理有了更深的理解。不同的证明还启迪了我们的思维,交流了数学思想,促进了我们的发现。
[1]陈传璋,金福临,朱学炎.欧阳光中.数学分
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