谈向量在中学的应用

一.向量的背景二.特殊向量的应用1.零向量2.单位向量三.向量平行与垂直在题中的应用1.向量平行。2.向量垂直四.向量在平面几何和立体几何中的应用1.向量在平面几何中的应用2.向量在立体几何中的应用一.向量的背景向量又称为矢量，最初被应用于物理学．很多物理量如力、速度、位移以及电场强度、磁感应强度等都是向量．大约公元前350年前，古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以表示成向量，两个力的组合作用可用著名的平行四边形法则来得到．“向量”一词来自力学、解析几何中的有向线段．最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿，课本上讨论的向量是一种带几何性质的量，除零向量外，总可以画出箭头表示方向．但是在高等数学中还有更广泛的向量．例如，把所有实系数多项式的全体看成一个多项式空间，这里的多项式都可看成一个向量．在这种情况下，要找出起点和终点甚至画出箭头表示方向是办不到的．这种空间中的向量比几何中的向量要广泛得多，可以是任意数学对象或物理对象．这样，就可以指导线性代数方法应用到广阔的自然科学领域中去了．因此，向量空间的概念，已成了数学中最基本的概念和线性代数的中心内容，它的理论和方法在自然科学的各领域中得到了广泛的应用．而向量及其线性运算也为“向量空间”这一抽象的概念提供出了一个具体的模型．从数学发展史来看，历史上很长一段时间，空间的向量结构并未被数学家们所认识，直到19世纪末20世纪初，人们才把空间的性质与向量运算联系起来，使向量成为具有一套优良运算通性的数学体系．向量能够进入数学并得到发展，首先应从复数的几何表示谈起．18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数a＋bi，并利用具有几何意义的复数运算来定义向量的运算．把坐标平面上的点用向量表示出来，并把向量的几何表示用于研究几何问题与三角问题．人们逐步接受了复数，也学会了利用复数来表示和研究平面中的向量，向量就这样平静地进入了数学，但复数的利用是受限制的，因为它仅能用于表示平面，若有不在同一平面上的力作用于同一物体，则需要寻找所谓三维“复数”以及相应的运算体系．19世纪中期，英国数学家汉密尔顿发明了四元数（包括数量部分和向量部分），以代表空间的向量．他的工作为向量代数和向量分析的建立奠定了基础．随后，电磁理论的发现者，英国的数学物理学家麦克思韦尔把四元数的数量部分和向量部分分开处理，从而创造了大量的向量分析．三维向量分析的开创，以及同四元数的正式分裂，是英国的居伯斯和海维塞德于19世纪8O年代各自独立完成的．他们提出，一个向量不过是四元数的向量部分，但不独立于任何四元数．他们引进了两种类型的乘法，即数量积和向量积．并把向量代数推广到变向量的向量微积分．从此，向量的方法被引进到分析和解析几何中来，并逐步完善，成为了一套优良的数学工具.向量能够进入数学并得到发展，首先应从复数的几何表示谈起．18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，并利用具有几何意义的复数运算来定义向量的运算．把坐标平面上的点用向量表示出来，并把向量的几何表示用于研究几何问题与三角问题．人们逐步接受了复数，也学会了利用复数来表示和研究平面中的向量，向量就这样平静地进入了数学．但复数的利用是受限制的，因为它仅能用于表示平面上的量，若有不在同一平面上的力作用于同一物体，则需要寻找所谓的三维“复数”以及相应的运算体系．19世纪中期，英国数学家哈密尔顿发明了四元数（包括数量部分和向量部分），以代表空间的向量．他的工作为向量代数和向量分析的建立奠定了基础．随后，电磁理论的发现者，英国的数学、物理学家麦克思韦尔把四元数的数量部分和向量部分分开处理，从而创造了向量分析．三维向量分析的开创，以及同四元数的正式分裂，是英国的居伯斯和海维塞德于19世纪80年代各自独立完成的．他们提出，一个向量不过是四元数的向量部分，但不独立于任何四元数．他们引进了两种类型的乘法，即数量积和向量积．并把向量代数推广到变向量的向量微积分．从此，向量的方法被引进到分析和解析几何中来，并逐步完善，成为了一套优良的数学工具．课本上讨论的向量是一种带几何性质的量，除零向量外，总可以画出箭头来表示方向．但是在高等数学中还有更广泛的向量．例如，把所有实系数多项式的全体看成一个多项式空间，这里的多项式都可看成一个向量．在这种情况下，要找出起点和终点甚至画出箭头表示方向是办不到的．这种空间中的向量比几何中的向量要广泛得多，可以是任意数学对象或物理对象．这样，就可以把线性代数方法应用到广阔的自然科学领域中去了．因此，向量空间的概念，已成了数学中最基本的概念和线性代数的中心内容，它的理论和方法在自然科学的各领域中得到了广泛的应用．而向量及其线性运算也为“向量空间”这一抽象的概念提供出了一个具体的模型。1.2考纲要求在高中数学新课程教材中，在必修二学习空间几何体，点、线、面的位置关系，接着必修四第二章学习平面向量，让学生对向量有了初步认识，到选修2-2的空间向量与立体几何充分将之前学过的内容有机的结合在一起，用向量解决空间几何问题思路清晰，过程简洁，有意想不到的神奇效果，比起过去的常规法解决空间几何问题有了更深刻更新颖的认识。这充分揭示方法求变的重要性，如果我们能重视向量的教学，必然能引导学生拓展思路，减轻负担。平面向量是高中数学的新增内容，也是新高考的一个亮点。向量知识、向量观点在数学、物理等学科的很多分支有着广泛的应用，它具有代数形式和几何形式的“双重身份”，能融数形于一体，能与中学数学教学内容的的许多主干知识综合，形成知识交汇点。而在高中数学体系中，空间几何占有着很重要的地位，有些问题用常规方法去解决往往运算比较繁杂，不妨运用向量作形与数的转化，则会大大简化过程。根据2010年的《高考大纲》数学科目在2009年的考纲的基础上基本没有变动。这一特点说明全国高考数学科的考试通过多年的探索、改革，已逐渐趋于稳定的格局，形成“保持稳定，注重基础，突出能力，着力创新”的特色。《考纲》强调了对数学基础的考查。对数学基础知识的考查，要既全面又突出重点，对于支撑学科知识体系的重点内容，要占有较大的比例，构成数学试卷的主体，注重学科的内在联系和知识的综合性，不要刻意追求知识的覆盖面，从学科的整体高度和思维价值的高度考虑问题，在知识网络的交汇点处设计试题，使对数学基础知识的考查达到必要的深度。我仔细研读《考纲》对“考试内容”的具体要求，发现其重点内容集中在函数、导数、三角函数、向量、概率与统计、数列、不等式、直线与平面、直线与圆锥曲线等是支撑数学学科知识体系的重点内容。所以在这里依据考纲，在全面复习的基础上重点把握个别热点问题。现在我就以对向量在高考中扮演的角色及向量的教学与成果，总结以下几点认识与同行进行分析、共享，希望能抛砖引玉。1．平面向量的实际背景及基本概念（1）了解向量的实际背景。（2）理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义。（3）理解向量的几何意义。2．向量的线性运算（1）掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义。（2）掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义。（3）了解向量线性运算的性质及其几何意义。3．平面向量的基本定理及坐标表示（1）了解平面向量的基本定理及其意义。（2）掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。（3）会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算。（4）理解用坐标表示的平面向量共线的条件。4．平面向量的数量积（1）理解平面向量数量积的含义及其物理意义。（2）了解平面向量的数量积与向量投影的关系。（3）掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算。（4）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。5．向量的应用（1）会用向量方法解决某些简单的平面几何问题。（2）会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题。二.特殊向量的应用1.零向量在我们的数学学习中，应该重视在实数运算中零很重要，在集合运算中空集很重要，同样在向量这一章中零向量也很重要。在第一节向量的基本概念中，关于向量的基本关系中，向量平行（共线）有这样一个补充，零向量与任何向量都共线，这句话让多少同学吃尽苦头。我们知道平行线具有传递性，于向量是否也具有平行的传递行呢？比如向量a∥b且b∥c那么是否也有a∥c呢?由于零向量是一个老好人和谁都合得来（共线）所以说如果b是一个零向量a与c不一定共线。所以向量的平行（共线）不具有传递性。在向量的加法这一节也有这样的规定，a+0=a(即任何向量与零向量的和还等于这个向量)这个类似于数的加法和集合中并集的运算。在向量数乘这一节有两次提到零向量。第一次是，0a=0（即零与任何向量的乘积都等零向量），这类似与实数的乘法和集合的交集运算。第二次就是利用向量的数乘判断向量共线的定理：向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b=λa。在这个定理中向量a≠0很重要，因为如果a=0可能由两种情况:一种是b≠0，由于等式右边λa=0，等式两边不相等。另一种是b=0，等式两边相等但与λ无关，即λ值不唯一,所以要求向量a≠0。在平面向量基本定理这一节，由于由于基底中两个向量不共线，所以基地中不能有零向量量，因为零向量与任何向量都共线。在第四节向量的数量积中，有这样一句话“我们规定，零向量与任一向量的数量积为0同样这一句话让好多学生吃尽苦头。比如说a与b数量积为零是否有a与b垂直?答案是否定的。因为如果a与b中有零向量，比如a是零向量则有a与b平行就不垂直。所以在用数积证向量垂直时，一定要先说明两个向量都不是零向量。例1.化简或计算：（1）(2)解：（1）=(2)=例2.在水流速度大小为10km/h的河中，如果要使船实际以10eq[解析]如图所示，OA表示水流方向，eq\o(OB,\s\up6(→))表示垂直于对岸横渡的方向，eq\o(OC,\s\up6(→))表示船行速度的方向，由eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→))易知|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝10，又∠OBC＝90°，∴|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝20，∴∠BOC＝30°，∴∠AOC＝120°，即船行驶速度为20km/h，方向与水流方向成120°角．变式训练2：设表示“向西走2km”，表示“向北走2km”，则表示向哪个方向行走了多少？[解析]如图，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝＝“向西走2km”，eq\o(AB,\s\up6(→))＝＝“向北走2km”，则eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝.∵△OAB为Rt△，∴|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝eq\r(22＋22)＝2eq\r(2)km，又∠AOB＝45°，所以表示向西北方向走了2eq\r(2)在以上两个例子之中，我们看到对于一些向量相加的时候会出现和为零向量的情况，这时学生在做题时，应该先分析一下题整体的情况，而不要盲目的去进行动笔，多想一想以前我们遇到这一类题的时候怎样去做的？老师又是怎样给我们讲解的呢？我们应该从哪些角度去理解它和分析它。这样的题目会用到我们学过的哪些知识点。对于向量我们应该多想一想，在物理科目当中的矢量与标量，和我们这里的向量又有哪些共同点和不同之处呢？2.单位向量单位向量是一类特殊的向量.教科书上定义单位向量是长度等于1个单位长度的向量,其方向随具体问题而定.一个非零向量除以它的模，可得与其方向相同的单位向量如果熟练应用单位向量,可以起到事半功倍的效果.已知b的方向与a=(-3,4)的方向相同,且|b|=15,求b.分析已知|b|,要求b,只要求b的单位向量(即与b同向的单位向量)就行了,于是联系到a的单位向量,问题马上迎刃而解.解设a的单位向量为e,则e=a|a|=-35,45,∵b与a方向相同,∴b=|b|・e=15-35,45=(-9,12).∴b=(-9,12).如图1所示,已知平行四边形ABCD,AB=a,AD=b,DE是AB边上的高,求向量DE.分析要求DE,只要求AE.AE就是AD在AB上的射影,AE的方向与AB的单位向量同向,这又一次涉及到了单位向量.解设∠A=θ,则|AE|=|b|cosθ.∵cosθ=a・b|a||b|∴|AE|=|b|・a・b|a||b|=a・b|a|,∴AE=a・b|a|・a|a|,∴DE=AE-AD=(a・b)a|a|2-b.同学们在学习向量这一块的时候，一定不要忘记单位向量。它可是我们解决一些问题的关键，或者称之为“开门的钥匙”。熟练的运用单位向量，能让我们做题时，更快以及准确。三.向量平行与垂直在题中的应用1.向量平行。平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量，记作：a∥b，规定零向量和任何向量平行。加法运算AB+BC=AC，这种计算法则叫做向量加法的三角形法则。已知两个从同一点O出发的两个向量OA、OB，以OA、OB为邻边作平行四边形OACB，则以O为起点的对角线OC就是向量OA、OB的和，这种计算法则叫做向量加法的平行四边形法则。对于零向量和任意向量a，有：0+a=a+0=a。|a+b|≤|a|+|b|。向量的加法满足所有的加法运算定律。减法运算与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，－(－a)=a，零向量的相反向量仍然是零向量。（1）a+(－a)=(－a)+a=0（2）a－b=a+(－b)。以减向量的终点为起点,被减向量的终点为终点(三角形法则)数乘运算实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，|λa|=|λ||a|，当λ>0时，λa的方向和a的方向相同，当λ<0时，λa的方向和a的方向相反，当λ=0时，λa=0，方向任意。设λ、μ是实数，那么：（1）(λμ)a=λ(μa)（2）(λ+μ)a=λa+μa（3）λ(a±b)=λa±λb（4）(－λ)a=－(λa)=λ(－a)。向量的加法运算、减法运算、数乘运算统称线性运算。OABQGPD例1、如图点G是三角形ABO的重心,PQ是过G的分别交OA、OB于P、Q的一条线段，且，,（OABQGPD求证分析：本题是一道典型的平面几何证明，如果用平几方法则过程很复杂，如果我们将题目中的已知条件作向量处理便能使证明过程简单得多。因为注意到P、G、Q三点在一条直线上，所以我们可以考虑与共线，于是可以用共线定理得方程组求解。证明：设，，则，∵，∴∴，即，又P、Q、G三点在同一直线上，则与共线∴存在一个实数使得∴，即：PABCMN∵与不共线，∴消去得PABCMN例2、如图在三角形ABC中,AM﹕AB=1﹕3,AN﹕AC=1﹕4,BN与CM相交于点P，且，，试用、表示分析：本题是以向量为载体的平面几何题，所以我们很容易联想到点M、P、C三点在一条直线上，可用共线定理的充分必要条件求解。解∵AM﹕AB=1﹕3,AN﹕AC=1﹕4,∴∴，，∵M、P、C三点共线，可设于是∴∴应用共线向量，我们在做题的时候将有一种新的思路来解题。2.向量垂直。1.向量a垂直向量b,则向量a*向量b=0.坐标方法：a=(x1,y1),b=(x2,y2),若向量a垂直向量b，则x1x1+y1y2=0如图1，已知正四面体ABCD中，E、F分别在AB，CD上，且，，则直线DE和BF所成角的余弦值为（）A、B、C、D、解析：可以以、、为一组基向量。解：设，，，则，，，又设正四面体的棱长为4，则AE=1，CF=1，，，，由余弦定理可得，同理因为，，所以所以又由异面直线所成角的定义，可知直线DE和BF成成的角的余弦值为，选A评注：引例的方法有如下特点：（1）当从一点出发的三条不共面的线段长度已知,它们的夹角也已知时,可选择这三条线段所代表的向量作为基向量,然后求解；（2）当从一点出发的三条不共面的线段长度可求出,它们的夹角也可求出时,可选择这三条线段所代表的向量作为基向量,然后求解。其实,引例的方法是通常坐标法的推广,因为当基底中任意两个都互相垂直,且它们三个都是单位向量时,即转入通常的空间直角坐标系的运算。当然如果基底中的任意两个向量的夹角都不等于900时,建立空间直角坐标系求解难度更大而利用引例的方法没有增加思维方法上的难度,只是计算量稍微多一点而已，所以引例的这种方法是通性通法。3.向量平行于垂直在题中的应用1.已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为侧面BCC1B1的中心．若eq\o(AE,\s\up15(→))＝zeq\o(AA1,\s\up15(→))＋xeq\o(AB,\s\up15(→))＋yeq\o(AD,\s\up15(→))，则x＋y＋z的值为()A．1 B.eq\f(3,2)C．2 D.eq\f(3,4)[答案]C[解析]∵eq\o(AE,\s\up15(→))＝eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(BE,\s\up15(→))＝eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up15(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up15(→)).∴x＋y＋z＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)＝2.4．(2011·宁德模拟)已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)．若|a|＝eq\r(3)，且a分别与eq\o(AB,\s\up15(→))，eq\o(AC,\s\up15(→))垂直，则向量a为()A．(1,1,1)B．(－1，－1，－1)C．(1,1,1)或(－1，－1，－1)D．(1，－1,1)或(－1,1，－1)[答案]C[解析]设a＝(x，y，z)，由条件知eq\o(AB,\s\up15(→))＝(－2，－1,3)，eq\o(AC,\s\up15(→))＝(1，－3,2)，∵a⊥eq\o(AB,\s\up15(→))，a⊥eq\o(AC,\s\up15(→))，|a|＝eq\r(3)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2x－y＋3z＝0,x－3y＋2z＝0,x2＋y2＋z2＝3))，将选项代入检验知选C.11.二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝2eq\r(17)，则该二面角的大小为()A．150° B．45°C．60° D．120°[答案]C[解析]由条件知，eq\o(CA,\s\up15(→))·eq\o(AB,\s\up15(→))＝0，eq\o(AB,\s\up15(→))·eq\o(BD,\s\up15(→))＝0，eq\o(CD,\s\up15(→))＝eq\o(CA,\s\up15(→))＋eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(BD,\s\up15(→)).∴|eq\o(CD,\s\up15(→))|2＝|eq\o(CA,\s\up15(→))|2＋|eq\o(AB,\s\up15(→))|2＋|eq\o(BD,\s\up15(→))|2＋2eq\o(CA,\s\up15(→))·eq\o(AB,\s\up15(→))＋2eq\o(AB,\s\up15(→))·eq\o(BD,\s\up15(→))＋2eq\o(CA,\s\up15(→))·eq\o(BD,\s\up15(→))＝62＋42＋82＋2×6×8cos〈eq\o(CA,\s\up15(→))，eq\o(BD,\s\up15(→))〉＝116＋96cos〈eq\o(CA,\s\up15(→))，eq\o(BD,\s\up15(→))〉＝(2eq\r(17))2，∴cos〈eq\o(CA,\s\up15(→))，eq\o(BD,\s\up15(→))〉＝－eq\f(1,2)，∴〈eq\o(CA,\s\up15(→))，eq\o(BD,\s\up15(→))〉＝120°，所以二面角的大小为60°四.向量在平面几何和立体几何中的应用1.向量在平面几何中的应用向量化是几何抽象化的有效工具，是研究几何性质的量化手段，由于平面向量集与有序实数对集关于加法与数乘运算的同构，用向量法证明几何的平行，垂直，三点共线，三线共点问题有许多简捷之处。例.试证明:三角形的外心，垂心，重心三点共线。证明:如图若以外接圆的圆心为始点向各顶点引向量，，,因为=(++),(G为重心)，=++(H为垂心)，故,即与共线，从而O,H,G三点共线。例：如图，在ABC内求一点，使最少。注：本例中的条件点的寻找如果没有向量流畅的运算，即使建立坐标系用解析几何求解，其计算量也非常大，可能也只能望题兴叹，由此可见向量法（运算通性和表述的简洁性）在寻找简捷方法中的威力。（2）夹角对于两个非零向量，它们之间除具有相等，不等或互为负向量的关系外，还可以用“夹角”的概念去描述。当(,)=0或时，称与平行，记为//。显然，（,）=0,(,-)=,当（,）=时，称与垂直，记b。易见，若,c,则//。例1、(浙江卷。2006)设向量，，满足++=0,(-),,若=1，则++的值是____。分析：要求++的值，结合条件应用向量数量积的性质、运算律求解。∵++=0，∴=-(+)。∵(-),∴(-)=0。即-=0，∴==1，又由，知=0。∵==+2+=1+0+1=2。∴++=4。解：4例2.(北京卷.2007)已知向量=(2,4),(1,1),若向量(+),则实数的值是___。分析：要求的值，可将向量+用坐标表示后，结合+=0这一性质求解。∵=(2,4),(1,1),∴+=