人教课标实验B版-必修5-第二章数列-2.2等差数列-2.2.1等差数列【全国一等奖】

等差数列（一）目标：1．掌握等差数列的定义和通项公式，会用通项公式求有关元素：an，n，d，a1等，并能运用这些知识解决一些问题．2．通过对等差数列通项公式的推导发展学生的观察、归纳推理能力；发展用不完全归纳法去发现事物的一般特性的数学思维能力，体会解决实际问题的能力，方程的思想，数形结合的思想．3．揭示从特殊到一般的认识过程，理论与实践相结合．发展思维的深刻性和灵活性；重点：等差数列的定义及通项公式的运用。难点：等差数列的通项公式的推导。疑点：“不完全归纳法”得到通项公式．过程：一、实例引入：观察数列：①4，5，6，7，8，9，10，……②3，0，3，6，……③，，，，……特点：从第二项起，每一项与它的前一项的差是常数活动设计：学生观察分析、讨论特点，教师引导、整理，指出象这样的数列叫做等差数列。二、新课1．等差数列的概念：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。常数d称为等差数列的公差。简记为AP即：an-an-1=d（d为常数）（n≥2）活动设计：⑴学生说出上述等差数列的公差，分别举一个等差数列的例子，使它的公差大于（等于或小于）0。⑵教师强调：①等差数列中，公差是每一项与它前一项的差，不能颠倒；②这个差是同一个常数；③公差可以是正数、负数或零。2．等差数列的通项公式⑴引例：(前面数列②)已知{an}是等差数列，首项a1=3,公差d=－3.求：a2,a3,a4,a10,a100,an解：⑵归纳等差数列的通项公式归纳当时（成立）练习：说出前面数列的通项公式探究：将第2个数列输入计算器作出散点图，观察图像是否在一条直线上活动设计：从具体例子出发，学生计算、观察、分析、讨论，归纳等差数列的通项公式，教师引导、整理并且强调：①从函数角度看通项公式：等差数列的通项公式是关于的一次函数②公式中若则数列递增，则数列递减③图象：一条直线上的一群孤立点④在中，，，四数中已知三个可以求出另一个。三、例题例1．（整合课本第132页）⑴求等差数列8，5，2…的第20项⑵-401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？解：⑴由n=20，得⑵由得数列通项公式为：由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n，使得成立解之得n=100，即-401是这个数列的第100项。例2：在等差数列中，已知，，求,,（课本第116页）法一：∵，，则∴法二：∵∴。小结：第二通项公式例3．将一个等差数列的通项公式输入计算器数列中，设数列的第s项和第t项分别为和，计算的值，你能发现什么结论？并证明你的结论。（整合课本第132页）解：通过计算发现的值恒等于公差证明：设等差数列{un}的首项为u1，末项为un，公差为d，⑴-⑵得小结：①这就是第二通项公式的变形，②几何特征，直线的斜率例4．梯子最高一级宽33cm，最低一级宽为110解设表示梯子自上而上各级宽度所成的等差数列，由已知条件，可知：a1=33,a12=110，n=12∴,即10=33+11解得：因此，答：梯子中间各级的宽度从上到下依次是40cm，47cm，54cm，61cm，68cm，75cm，82cm，例5．已知数列{an}的通项公式an=pn+q，其中p、q是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？（整合课本第135页）解：当n≥2时,an-an-1=pn+q-[p(n-1)+q]=p为常数∴{an}是等差数列，首项a1=p+q,公差为p。注：①若p=0，则{an}是公差为0的等差数列，即为常数列q，q，q，…②若p≠0,则{an}是关于n的一次式,从图象上看,表示数列的各点均在一次函数y=px+q的图象上,一次项的系数是公差,直线在y轴上的截距为q.③数列{an}为等差数列的充要条件是其通项an=pn+q(p、q是常数)。称其为第3通项公式④判断数列是否是等差数列的方法3个，是否满足3