4-1-第二讲直线和圆的位置关系-五与圆有关的比例线段公开课比赛一等奖

和圆有关的比例线段广东省华南师大附中陈绍基教学目的1、通过学生自己猜想、分析、推理论证，得出相交弦定理及其推论．2、在猜想、分析和推理过程中，让学生进一步熟悉和运用变动的观点，特殊与一般的观点去观察、研究几何图形的性质，使学生养成用辩证唯物主义的观点分析和解决问题的习惯．3、通过对相交弦定理的提出、研究与推广的过程，使学生掌握学习圆幂定理的基本思想方法．教学过程一、问题的提出问题1圆的两弦的位置关系有几种情形？学生可能只说出平行与相交两种情形．问题2圆的两弦相交有几种情形？会不会出现既不相交又不平行的情形？引导学生得出以下结论：若圆内两条弦不平行，则有(1)两弦相交，交点在圆内(图1)；(2)两弦相交，交点在圆上(图2)；(3)两弦的延长线相交，交点在圆外(图3)．(为推广相交弦定理作准备，故把图1～3画在黑板上．)问题3圆心是圆内的点中最特殊的点，若圆的两弦交点P与圆心O重合，则交点P内分两弦所得四条线段有何关系(图4)？问题4一般地，圆内的两条弦相交，被交点分得的四条线段并不都相等(可由图1直观看到)，而四条线段成比例关系是否仍保留呢？利用图1，让学生自己去猜想与证明，容易得出点P内分两弦所得四条线段仍然成比例．二、命题归纳与证明至此，相交弦定理的雏形已经显示出来，可引导学生归纳成命题的形式并由学生自己给出证明．“圆内的两条弦相交，被交点内分所得的四条线段对应成比例．”已知：如图5，⊙O的两条弦AB、CD相交于圆内的一点P．求证：PA∶PD＝PC∶PB．略证：连结AC、BD，则△APC∽△DPB，PA∶PD＝PC∶PB．教师还应指出，连结AD、BC也能证得同样结论．并明确提出本节课题：PA、PD、PC、PB就是与圆有关的比例线段，本节课研究的主要对象是：与圆有关的比例线段．[课题是通过教师不断提出问题，引导学生运用旧知识观察、分析而提出的．所以，课题的引入比较自然．把教师讲授定理改为师生共同探求定理，注意发挥学生学习的主体作用，就能充分调动学生学习的积极性．]三、相交弦定理的分析、研究问题5上述结论：“圆内的两条弦相交，被交点分得的四条线段对应成比例”中，“对应成比例”的表述是比较粗糙的，因为不用字母把线段表示出来，就不容易看出线段的对应关系．怎样才能使定理的表达更为精确呢？显然，如把问题量化，将比例式化为两线段的积(理解为两线段长的积)相等的形式，把定理改写成：“圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等”就比较精确了，这就是“相交弦定理”．问题6若把P看作定圆O内一定点，AB看作圆O内过点P的动弦，圆O的弦CD相对固定，PA·PB＝PC·PD是否仍然成立？(这里强调⊙O是定圆，P是⊙O内一定点，目的是使学生在下面探求定值时注意这些条件．)显然，由于在上述问题4的证明中，⊙O的弦AB、CD是任意的，因此，PA·PB＝PC·PD成立，表明“过定圆内一定点P的弦，被P点分成的两条线段长的积为一个定值．”问题7同学们能把这个定值找出来吗？提出问题后让学生充分思考，因为这时候学生的积极性已经调动起来了，特别活跃．经过一番思考，如果学生还没有找到定值，可作以下两点提示：提示1：被探求的定值是两条线段长的积，它与定理中的哪些条件有关？就是说，定理中有哪些线段的长是确定的？提示2：虽然过定点P的弦有无数多条，然而在这众多的弦中有没有一些长度比较特殊的弦(暗指过点P的最长或最短的弦)，能否通过它们去寻找定值？只要学生注意到，过P的圆的直径或过P垂直于OP的弦，定值就容易找到了．分析如下：如图6，考察动弦AB，若AB过⊙O的圆心O，则AB为过点P的最长的弦，设⊙O的半径为R，则PA·PB＝(R－OP)(R＋OP)．(*)定值已初露眉目．考察过点P的弦中最短的弦(图7)，AB为过⊙O内一点P的直径，CD为过点P且垂直于AB的弦，显然，由垂径定理和相交弦定理，应有］＝OC2－OP2＝R2－OP2．(**)由于⊙O是定圆，P为⊙O内一定点，故⊙O的半径R与OP的长为定值．设OP＝d，比较(*)与(**)，结论是一致的，即PA·PB＝(R－d)(R＋d)＝R2－d2为定值．于是，相交弦定理可进一步表述为：“圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积为一定值，它等于圆的半径与交点到圆心距离的平方差．”同时，由(**)可直接得到相交弦定理的推论：“如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项．”即PC＝PD2＝PA·PB．至此，学生对相交弦定理的理解已经得到深化，不仅从定性方面也从定量方面对相交弦定理加深了认识．[对相交弦定理的分析、研究是与把学生已证明的命题逐步演变的过程同步进行的，这样做是顺理成章的，学生不会感到突然．在这个过程中，分别从定性与定量两个不同的侧面去揭示相交弦定理的实质，加深了学生对定理的理解，并在探求定值的过程中，学到了从特殊到一般的思想方法．]四、练习巩固1．如图8，AP＝3厘米，PB＝5厘米，CP＝厘米．求CD．(练习目的：检查学生对定理的理解是否准确，会不会把定理理解成PA·PB＝PC·CD，或把求得的PD长误认为CD的长．)2．如图9，O是圆心，OP⊥AB，AP＝4厘米，PD＝2厘米．求OP．(练习目的：检查学生对相交弦定理理解的程度．)学生解第2题有如下四种解法：解法一：连结OA，则△OAP为直角三角形．设⊙O的半径为R，则OA＝R，由勾股定理，有R2＝(R－2)2＋42，解得R＝5．∴OP＝OD－PD＝R－PD＝3(cm)．(用这种解法的学生，对相交弦定理还不会运用，故需要引辅助线，借助勾股定理去解决问题．)解法二：设⊙O的半径为R，由PC·PD＝PA2，得PC＝8．∵2R＝CP＋PD＝10，∴R＝5，OP＝3(cm)．(用这种解法的学生，对相交弦定理已经理解和会用，但还不会应用定值去解决问题．)解法三：设⊙O的半径为R，由R2－OP2＝PA2，得R2－(R－2)2＝42，故R2＝5．∴OP＝3(cm)．(用这种解法的学生已经理解和会用定值了．)解法四：设⊙O的半径为R．∴R＝OP＋2，∴(OP＋2)2－OP2＝42．∴OP＝3(cm)．(这样解题的学生不仅真正理解和会用定理，而且还注意了解题技巧．)教师总结讲评，着重给学生指出：(1)与圆有关的比例线段是指定圆内被定点P分两弦所得四条线段对应成比例．(2)定圆的任一弦被定点分得两线段长的积为定值，这个定值与点P的位置有关，对圆内不同的点P，一般来说，定值是不同的，即这个定值是相对于定点P与定圆O而言的．五、相交弦定理的推广问题8若圆的两条弦相交于圆上一点P，如图2，这时，B、D、P三点重合，PA·PB＝PC·PD是否仍然成立？把PB、PD的长度看作零，上式仍成立．问题9若圆的两条弦的延长线相交于圆外一点P，如图3，PA·PB＝PC·PD是否仍然成立？让学生自己猜想，联系点P在圆内的情形得出肯定的回答，再利用图3自己加以证明．问题10能否将点P外分两弦AB、CD的情况叙述成定理的形式？“圆的两条弦的延长线相交于圆外一点，各弦及其延长线被交点外分成的两条线段长的积相等．”问题11PBA、PDC是⊙O的割线，怎样把上述定理用割线来表达？“从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．”这就是“割线定理”．思考题1：P为⊙O外一点，过P向⊙O引两条割线PAB与PCD，若把PAB看作动割线，PCD相对固定，把切线看作割线的特殊情形(即割线的极限位置，这是对学生所采用的不严格的通俗说法)，会有什么结论？若把割线PAB、PCD都看作动割线，又会有什么结论？试证明你的结论．思考题2：“割线定理”中，“两条线段长的积”是否也是一个定值？这个定值是什么？试证明你的结论．(这是课外思考题，目的是让学生发现“切割线定理”和“切线长定理”实际上是割线定理的特例．)[问题8、9与“课题的提出”部分：圆的两条弦相交，交点在圆内、交点在圆上，两弦的延长线相交，交点在圆外三种情形前后呼应，使学生对相交弦定理的探讨的结构比较完整．尤其重要的是在定理的研究过程中，向学生揭示了事物是在不断变化发展与事物之间的内在联系的事实，让学生接受辩证唯物主义思想的熏陶，使学生认识到学习每一个新的定理都要善于探究它与其他定理之间的内在联系，还要考察定理是否可以推广．课外思考题与课堂教学内容紧密配合，为学生在课堂之外深入研究问题提供素材，为学生开辟更为广阔的学习天地创造条件．]在学习本节内容和完成思考题的基础上，可以把相交弦定理、割线定理、切割线定理和切线长定理归纳总结为“圆幂定理”：“过一定点P对某定圆⊙(O，R)任作一割线PAB，交该圆于A、B两点，则自定点至两交点的两条线段的长的积是常数PA·PB＝|R2－d2|，其中d为定点P到圆心O的距离．若P在圆内，d＜R，则该常数为R2－d2；若P在圆上，d＝R，则该常数为0；若P在圆外，d＞R，则该常数为d2－R2．(经过对几届初三学生的数学教学实践说明，这样做对学习起点比较高的学生是完全可能的，课堂气氛比较活跃，教学目的可以达到；课外思考题学生也能完成，教学效果是比较好的．对于学习起点比较低的学生，可考虑把这节课分为两节课的内容去进行．)教案说明“和圆有关的比例线段”是初中几何第二册第七章“直线和圆的位置关系”的最后一节，它的主要内容是：相交弦定理及其推论，切割线定理及其推论(即割线定理)．如果把圆内两弦相交(或圆的两弦的延长线相交)的交点看作可以在平面上变动，并把圆的切线看作当圆的割线变动时的极限位置，则这些定理可以归纳为一个更一般的定理(圆幂定理)：“过一定点对某定圆作任一割线，交该圆于两点，则自定点至两交点的当点P在⊙O的外部时(图8)，p值为正，它等于自P向⊙O所引切线PC的长的平方；当点P在⊙O的内部时(图9)，p值为负，它的绝对值等于在⊙O中过P的最小弦EF的长的一半的平方；当P在⊙O上时(图10)，则p值为零．无论何种情形，p值均可以表示为p＝PO2－R2．全国通用教材初中几何不讲“圆幂定理”，只讲“圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等”．“从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等”．至于两条线段长的积是什么就不去研究了．这样做，从学生接受知识的角度上来看，无疑起了化繁为简、分散难点的作用．然而从初中学生目前状况来看，相当一部分学生不会用变动的观点去观察和研究几何问题，而往往是孤立的、静止的去看待几何图形的性质，缺少用辩证唯物主义的观点去分析和解决问题的习惯．故从帮助学生建立完整的知识结构，从训练和培养学生的逻辑思维，推广概括能力的角度上来看，不能不说是一个缺陷．为了弥补上述缺陷，我作了以下的安排：(1)把教材内容适当调整．通过相交弦定理的教学引伸出圆幂定理，把定理中的常数p看作线段长的积，则p恒为正值，p＝|PO2－R2|．