二重积分的基本概念与性质

二重积分的基本概念与性质重积分​"在一元函数积分学中我们知道定积分是某种确定形式的和的极限，这种和的极限推广到定义在区域、曲线及曲面上的多元函数的情形，便得到重积分、曲线积分及曲面积分的概念。"1.二重积分的概念与性质：1.1二重积分的概念​此处不引入课本上的曲顶柱体的体积与平面薄片的质量，而是尝试解释二重积分有何实际意义。​我们知道\int_0^xf(x)dx计算的是f(x)与x轴围成的面积，而\int_0^xdx计算的是长度。​单纯的从符号角度来理解\int_a^bdy\int_c^ddx，不难发现其计算的为面积（这里好像有些超前，但下面就会介绍到），写回二重积分形式：记其所在区域为D，则\iint_Ddxdy计算的是面积，那么我们再引入一个函数f(x,y)呢？即计算\iint_Df(x,y)dxdy，也就是每一个极小的区域，甚至可视为一个点(x,y)，对应一个z=f(x,y)，将其放到三维空间中，底面上的点(x,y)对应(x,y,z)，z可视为高(或是其他定义)，那么\iint_Df(x,y)dxdy计算的就是体积，用不太严谨的话来讲，\iint_Df(x,y)dxdy计算的是三维空间中"\underline{物体的体积}"。（这里应该有些错误，但是不追求严谨的话，这样理解貌似也不错？）图源百度百科​“二重积分的定义中对闭区域D的划分是任意的，若在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分D，那么除了包含边界点的一些小闭区域外，其余的小闭区域都是矩形闭区域，面积可用\triangle\sigma_i=\trianglex_j\cdot\triangley_k来表示，则在直角坐标系中，有时记二重积分为\iint_Df(x,y)\underline{dxdy}”---《高等数学下》同济版p137​上面的dxdy被称为直角坐标系中的面积元素。​当我们将区域划分的极其小的时候，这些包含边界点的小闭区域可忽略（也就是：dx,dy为无穷小的时候，dx\cdotdy为更高阶的无穷小，可忽略）​这里删减掉了一些部分，大家可以自己想想："为什么定义中是让\lim\limits_{\lambda\rightarrow0}，而不是\lim\limits_{n\rightarrow\infty}？"。​简单解释一下：我们让小区域的直径无限趋近于0，那么计算的时候，每一部分都可近似的堪称一个点。但是如果单纯的划分为无穷个：即n\rightarrow\infty，我们可能是只用平行于y轴的直线将区域D划分的，而对应的z=f(x,y)不一定一样，我们计算出来的东西就不一定正确了（至少应该考虑一下中值定理吧）。注意：f(x,y)在闭区间D上连续上时，\iint_Df(x,y)\d\sigma必存在1.2二重积分的性质与定积分性质类似：​①\iint_D[\alphaf(x,y)+\betag(x,y)]\d\sigma=\alpha\iint_Df(x,y)\d\sigma+\beta\iint_Dg(x,y)\d\sigma。​②如果闭区域D可以分为D_1与D_2\color{red}{(可加性)}​\iint_Df(x,y)\d\sigma=\iint_{D_1}f(x,y)\d\sigma+\iint_{D_2}f(x,y)\d\sigma​③闭区域D的面积\iint_D1\d\sigma=\iint_Dd\sigma​④若在D上f(x,y)≤g(x,y)，则\iint_Df(x,y)\d\sigma≤\iint_Dg(x,y)\d\sigma​绝对值形式有：由-\lvertf(x,y)\rvert≤f(x,y)≤\lvertf(x,y)\rvert，可推得\lvert\iint_Df(x,y)\d\sigma\rvert≤\iint_D\lvertf(x,y)\rvert\d\sigma。​⑤估值不等式：​设M和m分别为f(x,y)在D上的最大值与最小值，\sigma为闭区域D的面积，有m\cdot\sigma≤\iint_Df(x,y)\d\sigma≤M\cdot\sigma。​⑥二重积分的中值定理：设函数f(x,y)在闭区域D上连续，\sigma是D