2020高考数学专题复习放缩法证明数列不等式

放缩法证明数列不等式一、基础知识:在前面的章节中，也介绍了有关数列不等式的内容，在有些数列的题目中，要根据不等式的性质通过放缩，将问题化归为我们熟悉的内容进行求解。本节通过一些例子来介绍利用放缩法证明不等式的技巧1、放缩法证明数列不等式的理论依据一一不等式的性质：（1）传递性：若a>b,b>c，则a>c（此性质为放缩法的基础，即若要证明a>c，但无法直接证明，则可寻找一个中间量b，使得a>b，从而将问题转化为只需证明b>c即可）（2）若a>b,c>d，则a+c>b+d，此性质可推广到多项求和：若a>f（1）,a>f（2）,,a>f（n），则：a+a++a>f（1）+f（2）++f（n）1 2 n 1 2 n（3）若需要用到乘法，则对应性质为：若a>b>0,c.>d>0，则ac>bd，此性质也可推广到多项连乘，但要求涉及的不等式两侧均为正数注：这两条性质均要注意条件与结论的不等号方向均相同2、放缩的技巧与方法:（1）常见的数列求和方法和通项公式特点:①等差数列求和公式:②等比数列求和公式:SnSna+a①等差数列求和公式:②等比数列求和公式:SnSnan=k-qn（关于nan=k-qn（关于n的指数类函数）③错位相减：通项公式为“等差X等比”的形式④裂项相消：通项公式可拆成两个相邻项的差，且原数列的每一项裂项之后正负能够相消，进而在求和后式子中仅剩有限项（2）与求和相关的不等式的放缩技巧：①在数列中，“求和看通项”，所以在放缩的过程中通常从数列的通项公式入手②在放缩时要看好所证不等式中不等号的方向，这将决定对通项公式是放大还是缩小（应与所证的不等号同方向）③在放缩时，对通项公式的变形要向可求和数列的通项公式靠拢，常见的是向等比数列与可裂项相消的数列进行靠拢。④若放缩后求和发现放“过”了，即与所证矛盾，通常有两条道路选择：第一个方法是微

调：看能否让数列中的一些项不动，其余项放缩。从而减小放缩的程度，使之符合所证不等式；第二个方法就是推翻了原有放缩，重新进行设计，选择放缩程度更小的方式再进行尝试。（3）放缩构造裂项相消数列与等比数列的技巧：①裂项相消：在放缩时，所构造的通项公式要具备“依项同构”的特点，即作差的两项可视为同一数列的相邻两项（或等距离间隔项）②等比数列：所面对的问题通常为"Sn＜常数”的形式，所构造的等比数列的公比也要满足回e（0,1），如果题目条件无法体现出放缩的目标，则可从所证不等式的常数入手，，常数可视为二的形式，然后猜想构造出等比数列的首项与公比，进而得出等比数列的通项1—q1Y» ，、一”一… 2 2公式，再与原通项公式进行比较看不等号的方向是否符合条件即可。例如常数w二T，公式，再与原通项公式进行比较31--41 1即可猜想该等比数列的首项为1 1即可猜想该等比数列的首项为2，公比为“」1\n即通项公式为2•-14J注：此方法会存在风险，所猜出的等比数列未必能达到放缩效果，所以是否选择利用等比数列进行放缩，受数列通项公式的结构影响（4）与数列中的项相关的不等式问题：①此类问题往往从递推公式入手，若需要放缩也是考虑对递推公式进行变形②在有些关于项的不等式证明中，可向求和问题进行划归，即将递推公式放缩变形成为可“累加”或“累乘”的形式，即a-a＜f（n）或土田＜f（n）（累乘时要求不等式两侧n+1n an均为正数），然后通过“累加”或“累乘”达到一侧为an，另一侧为求和的结果，进而完成证明3、常见的放缩变形：1 1 1 1(1) <—< ，其中n>2,neN:可称一为“进可攻，退可守”，可依n(n+1) n2 n(n-1) n2照所证不等式不等号的方向进行选择。注：对于—，可联想到平方差公式，从而在分母添加一个常数，即可放缩为符合裂项相消n21特征的数列，例如：—<n2n2—1(n—1)(n+1)211特征的数列，例如：—<n2n2—1(n—1)(n+1)21n—1，这种放缩的尺度要小于（1）中的式子。此外还可以构造放缩程度更小的，如:11<1n2 1n2——4 z 5- ——4n2—1(2n—1)(2n+1)2(2)一产-—1= 尸，从而有:nnnn+nn2(n+1—" 『 <-^-<-7= /Jn+7n+1 Jn <n+<n-1注：对于L还可放缩为：L<nn—nn—2,n>2,neN*nn 7n b b+m bb+m(3)分子分母同加常数：—> (b>a>0,m>0)，—> (a>b>0,m>0)aa+m aa+m此结论容易记混，通常在解题时，这种方法作为一种思考的方向，到了具体问题时不妨先构造出形式再验证不等关系。2n(4)Qn―j—Qn—1)(2n—1)<(2n—1)(2n—2)—Qn—1)(2n—1—1)2n-1—1 2n—1>2,neN*)可推广为： 一（kn—1kn kn kn—1一(kn—1)(kn—1)<(kn—1)(kn—k)―(kn—1)(kn―1—1)kn—1—1kn—1>2,k>2,k,neN*)、典型例题:例1例1：已知数列｛an｝的前n项和为Sn，若4S-(2n—1)a +1，且a-1（1）求证：数列｛〃｝是等差数列，并求出｛〃｝的通项公式1 3（2）设b-s^，数列｛b｝的前n项和为T，求证：T<2n*n解：（1）4Sn=（2n—1）an讨+1「.4S-(2n—3)a+1(n>2)/.4a—（2n-1）a-（2n-3）a（n/.4a—（2n-1）a-（2n-3）a（n>2）n+1即（2n+1）a—（2n-1）an n+1a nan-12n—5'a-^ra2a

n-an-1a'-n1—1,

an-22n-1a 2n-12n-3― a 2n-32n-5由4S—（2n-1）a+1令n=1可得:—2n-1(n>2),验证a1—1符合上式（2）由(1)得：b—nr x ― + V（2n-1）%；n2n（2n-1）可知当n>2时,< V<—T — T ——（2n-1）n（2n-2）2n（n-1）2J+〔11 23不等式得证例2:设数列｛。“｝满足：a1n例2:设数列｛。“｝满足：a1n+1为数列｛b｝的前n项和，已知（1）求数列｛^｝,｛,｝的通项公式（2）求证：对任意的ngN*且n>2，有 + +a-ba-b13+ <—a-b2解：（1）a—3an+1 n「•｛a｝为公比是3的等比数列na=a-3n-i=3n-1在毋｝中，令n-1,2b-b=S•Snb=12b-1-S2b-1-S :.2b-2b =b(n>2)nb=2b，｛b｝是公比为2的等比数列n111（2）证明: -（2）证明:a—b3n-1—2n-1 3n-21+ a-bnn门\n-1I1,1-31 |_ V37不 -~1-1—-3例3例3：已知正项数列｛a｝的前n项和为S,且a+—=2S,n£N

nan（1）求证：数列｛S2｝是等差数列n(2)记数列b=2S3,Tn nn11(2)记数列b=2S3,Tn nn11——+—+

bb1+—

bn，证明：1n++1<TV3-工n2\：n解：(1)a+—=2Snan