气候统计第三章聚类分析

气候统计第三章聚类分析第1页，共27页，2023年，2月20日，星期一

聚类分析是研究多要素的客观分类方法，即运用数学方法对不同的样品进行数字分类，定量地确定样品之间的亲疏关系，并按照它们之间的相似程度，归组并类，以便客观分类的一种统计分析方法。它同判别分析同属分类问题，但前提不相同，所给的样本类型和类型数都是未知的。气象学中存在许多分类问题，如气候分类区划、天气过程分类、环流分类、预报因子的合并归类、相似年的确定等。第2页，共27页，2023年，2月20日，星期一

一、相似性指标统计量

1．样品与分类指标对与研究对象有关的m个变量作n次观测，得样本矩阵，称每行为一个分类指标，每一列为一个样品，对样品进行分类；每个样品包含m个指标，即样品的特征用m个指标来描写，可以是一个测站的m个指标的时间分布，也可以是同一指标的m个测站的时空分布。第3页，共27页，2023年，2月20日，星期一

2．距离和相似系数进行分类，要将特征相似的样品聚为同一类，首先要定义样品之间亲疏程度的数量指标。

A、距离样品看作m维空间的点，以某种形式定义点与点之间差异大小（不完全是地理或几何距离），数学上的距离可以有不同定义，但要满足4个条件

1）dij=0时，样品i和j恒等（dii=0）唯一性和单一性

2）dij≥0，非负性

3）dij=dji对称性

4）dij≤dik+dkj三角不等式第4页，共27页，2023年，2月20日，星期一

常用距离Minkowski距离:绝对距离Euclid距离

2.Mahalanobis距离马氏距离考虑了类型总体的内部结构，更加合理，但计算繁琐。第5页，共27页，2023年，2月20日，星期一

在距离指标中，当样品指标不是同一变量时，各变量对距离的影响与它们的量纲有关，如气温为101，气压为103量级，气压变化对距离的影响远大于气温。克服这一缺点的方法是对各指标标准化

第6页，共27页，2023年，2月20日，星期一B相似系数1）

将样品i、j看作m维空间的向量，常用于要素场的相似。包括空间点的相似和时间点的相似度量。第7页，共27页，2023年，2月20日，星期一二、类与类的特征1，类的定义由于客观事物的千差万别，在不同问题中，类的含义是不尽相同的，给类下严格地定义是不容易的，有不同的定义。如：定义1：T为一给定的阈值，如果对任意的，有，则称G为一个类。定义2：对阈值T，如果对于每一个，有，则称G为一个类。定义3：对阈值T，如果对于每一个，一定存在使得，则称G为一个类。第8页，共27页，2023年，2月20日，星期一2．类的距离由于类的形状是多种多样的，所以类与类之间的距离也有多种计算方法，设中分别有l和m个样品，它们之间的距离用D(p,q)表示，常用定义有：最短距离法：即为中最邻近的两个样品的距离。第9页，共27页，2023年，2月20日，星期一2。最长距离法：即为中最远的两个样品的距离。3.重心法：它为两个类的重心间的距离4.类平均法:它等于中所有任意两个样品距离的平均。第10页，共27页，2023年，2月20日，星期一§3.4系统聚类法（逐级归并法）系统聚类法是聚类分析中使用最多的方法，其基本思路是：先将n个样品各自看成一类，然后规定样品之间的距离(或相似系数）和类与类之间的距离，开始，将每个样品各自成一类，根据距离选择最相似的一对并成一个新类，计算新类与其他类的距离，再将距离最近的两类合并，依次下去，直至所有样品并成一类，或各类之间的距离大于给定阈值T为止。第11页，共27页，2023年，2月20日，星期一包含步骤(1)计算n个样品两两间的距离{dij}(2)构造n个类，每类只包含一个样品(3)合并距离最近（最相似）的两类为一个新类(4)定义类间距离，计算新类与当前各类的距离。若类的个数等于1，转到（5）。否则回到步骤（3）。(5)画聚类图(6)决定类的个数和类第12页，共27页，2023年，2月20日，星期一

使用不同的类间距离，便得到不同的系统聚类法。如最短距离法、最长距离法、重心法等。第13页，共27页，2023年，2月20日，星期一i12345678x12244-4-2-3-1x25343322-3一、最短距离法例对同量纲指标x1和x2进行八次观测得各样品数据如下试以最短距离法将其分类。解：x1和x2为同量纲，无需标准化采用欧氏距离第14页，共27页，2023年，2月20日，星期一1、计算距离，如d1,3得距离阵：G1G2G3G4G5G6G7G8G10G220G32.22.20G42.8210G56.368.180G654.16.36.12.20G75.85.17.37.11.410G88.56.78.67.86.75.15.40D(0)第15页，共27页，2023年，2月20日，星期一３、计算新类与其他类的距离GkGpGqGr例如:

第16页，共27页，2023年，2月20日，星期一2、定义类间距离在Ｄ(０)中，即G3，G4和G6，G7最为相似。故将G3，G4并成G9G6，G7并为G10合并最相似两类Gr={Gp,Gq}第17页，共27页，2023年，2月20日，星期一删除p，q行和列，加上r行和列得D（1）G1G2G5G8G9G1G22G56.36G88.56.76.7G92.2287.8G1054.11.45.16.14、在D（1）中，D5,10=1.4是最小值，将G5和G10并成G11，进一步计算D（2）第18页，共27页，2023年，2月20日，星期一G1G2G8G9G1G22G88.56.7G92.227.8G1154.15.16.1在Ｄ（2）中，D1,2,D2,9=2是最小元素，将G1,G2,G9合并为新类G12。计算新类与各类的距离：G8G11G8G115.1G126.74.1得D(3)，其中D11，12=4.1为最小元素，合并G11，G12为G13D(3)D13,8=5.1最后G13，G8并成一类G14第19页，共27页，2023年，2月20日，星期一第20页，共27页，2023年，2月20日，星期一5、画聚类图绘制各次聚类结果。若选择T=3.0,从图可见，1，2，3，4合并一类，5，6，7并成一类，8自成一类，全部样品分成三类为宜。第21页，共27页，2023年，2月20日，星期一

最长距离法、重心法等其他系统聚类法的步骤相同，仅在计算类间距离时的定义不同。最短距离法也可用于变量的分类，分类指标也可用相似系数，在用相似系数时，要找相似系数最大的两类合并，即总是最相似的两类合并。下面看一实例：第22页，共27页，2023年，2月20日，星期一

例，某地用4个因子表示气候闷热状况，分别是

x1:日平均温度

x2:14时气温

x3:14时相对湿度

x4:日最低气温试根据下表所列相似系数将因子分类G1G2G3G20.93G3-0.74-0.83G40.690.5-0.38第23页，共27页，2023年，2月20日，星期一解：G1和G2的相似系数最大，R1，2=max，表明两者最接近，先将它们并成G5。计算G5与G3，G4的相似系数分别为：第24页，共27页，2023年，2月20日，星期一G3G4G4-0.38G5-0.740.69R（1