材料力学第七章 弯曲变形

材料力学第七章弯曲变形第1页，共46页，2023年，2月20日，星期一

第七章弯曲变形§7–1概述§7–2梁的挠曲线近似微分方程§7–3积分法计算弯曲变形§7–4叠加法计算弯曲变形§7–5梁的刚度条件§7–6简单超静定梁的解法第2页，共46页，2023年，2月20日，星期一

§7–1

概述工程中的弯曲变形×第3页，共46页，2023年，2月20日，星期一xyxyPy=y(x)梁在平面弯曲时，其轴线弯成一平面曲线，称为梁的挠曲线。梁横截面形心的竖向位移称为截面的挠度，用y来表示。挠度以向下为正，向上为负。梁横截面绕中性轴转过的角度称为截面的转角，用

来表示。转角以顺时针为正，逆时针为负。梁不同截面的挠度和转角不同，它们是截面坐标的函数，称为梁的挠度方程和转角方程。×第4页，共46页，2023年，2月20日，星期一xyxyPy=y(x)梁变形时，横截面始终保持平面，且始终与梁的轴线垂直，由高等数学可知：小变形下，很小，tg≌，于是得这就是梁的变形，挠度与转角的关系。×第5页，共46页，2023年，2月20日，星期一§7–2梁的挠曲线近似微分方程挠曲线的曲率与弯矩间的关系为由高等数学可知，曲线的曲率为小变形下，很小，，于是得×第6页，共46页，2023年，2月20日，星期一xyMMxyMM这就是梁的挠曲线近似微分方程，由此微分方程积分一次可求转角，再积分一次可求挠度。×第7页，共46页，2023年，2月20日，星期一§7–3积分法计算弯曲变形为计算方便，将挠曲线近似微分方程改写为转角方程挠度方程

解题关键：

⒈正确建立梁的弯矩方程M（x）。若梁的各段弯矩方程不同，需分段建立；×第8页，共46页，2023年，2月20日，星期一每段梁都要积分两次，均出现两个积分常数，需通过边界条件和变形连续条件来确定。

⑴边界条件（支承条件）固定端：铰支座（固定铰支座和可动铰支座）：

⑵变形连续条件在两段梁的交界面：=0，y=0。y=0。⒉确定积分常数。×第9页，共46页，2023年，2月20日，星期一解题步骤：⒈建立坐标系。取梁的最左端为坐标原点，x轴水平向右，y轴竖直向下；⒉将梁分段（与画弯矩图分段相同），分别写出每段梁的弯矩方程；⒊将弯矩方程代入挠曲线近似微分方程，并积分两次；⒋根据边界条件和变形连续条件确定积分常数；⒌将要求变形的截面坐标代入转角方程和挠度方程，求指定截面的转角和挠度。×第10页，共46页，2023年，2月20日，星期一例1求图示悬臂梁B

截面的转角和挠度。ABq解：EIxxyqBll-xFs(x)M(x)×第11页，共46页，2023年，2月20日，星期一ABqEIxxyl确定积分常数：×第12页，共46页，2023年，2月20日，星期一ABqEIxxyl转角方程挠度方程×第13页，共46页，2023年，2月20日，星期一例2求图示外伸梁B

截面的转角和C

截面的挠度。EIABCPx1x2xyYA=P/2解：l/2l×第14页，共46页，2023年，2月20日，星期一EIABCPx1x2xyYA=P/2l/2l×第15页，共46页，2023年，2月20日，星期一EIABCPx1x2xyYA=P/2l/2l第16页，共46页，2023年，2月20日，星期一例3用积分法计算图示简支梁的A，B，yC。EIABCxxyYA=ql/2l/2l/2qFB=ql/2解：×第17页，共46页，2023年，2月20日，星期一EIABCxxyYA=ql/2l/2l/2qFB=ql/2×第18页，共46页，2023年，2月20日，星期一例4用积分法计算图示各梁需分几段，确定积分常数的边界条件和变形连续条件是什么？ACDP2x1x3yBP1l/2l/4l/4x2xqqABCxxylEAa×第19页，共46页，2023年，2月20日，星期一例5用积分法计算图示各梁需分几段，确定积分常数的边界条件和变形连续条件是什么？ACPx3yBl/2l/2x2xqqABx1xyll/2x1DDCx2x3l/2l/2l×第20页，共46页，2023年，2月20日，星期一§7–4叠加法计算弯曲变形一、简单梁简单荷载下的变形ABEIlABEIlABEIlmPq×第21页，共46页，2023年，2月20日，星期一ABmABl/2ABEIEIEIql/2Pl/2l/2l/2l/2CCC×第22页，共46页，2023年，2月20日，星期一二、叠加法计算梁的变形ABl/2EIl/2PCm=PlABEIl/2l/2CABl/2EIl/2PC=+m=Pl==++×第23页，共46页，2023年，2月20日，星期一三、几种基本变化⒈悬臂梁⑴荷载在內侧，求端部位移abABPCEIyB×第24页，共46页，2023年，2月20日，星期一⑵荷载在外侧，求内侧位移abABPCEIyBABPCCabPM=PbFs=P×第25页，共46页，2023年，2月20日，星期一⒉外伸梁PABClaycyc1BaABlaPFs=PM=PaPBBCBCCBayc1P×第26页，共46页，2023年，2月20日，星期一例6求图示梁B，C截面的转角和挠度。ABCEIl/2l/2q解：ABCEIqABCEIq+×第27页，共46页，2023年，2月20日，星期一ABCEIl/2l/2qABCEIqABCEIq+×第28页，共46页，2023年，2月20日，星期一ABCEIl/2l/2qABCEICqFs=ql/2 Fs=ql/2 M=ql2/8l/2×第29页，共46页，2023年，2月20日，星期一例7求图示梁A截面的转角和挠度。ABCDP=qlEIql/2l/2l/2ABCDP=qlEIql/2l/2l/2BFs=ql/2 Fs=ql/2 M=ql2/8Aq解：×第30页，共46页，2023年，2月20日，星期一例8求图示阶梯形悬臂梁自由端的转角和挠度。ABC2EIaaPEIAC2EIaBCPFs=PFs=PaBPEIM=Pa解：C×第31页，共46页，2023年，2月20日，星期一ABC2EIaaPEIAC2EIaBCPFs=PFs=PaBPEIM=PaC×第32页，共46页，2023年，2月20日，星期一例9求图示外伸梁自由端的转角和挠度。ABCll/2qP=ql/2ABll/2P=ql/2Fs=ql/2M=Pl2/4FsBC解：BCPqEIEI×第33页，共46页，2023年，2月20日，星期一§7–5梁的刚度条件一、梁的刚度条件梁要正常工作，其应力要控制在一定的范围内，即满足强度条件；同时梁的变形也要控制在一定的范围内，即满足刚度条件。土建类工程，主要要求梁的最大挠度与跨长之比要小于或等于容许值，即×第34页，共46页，2023年，2月20日，星期一机械类工程，传动轴是装在轴承上，轴的转角过大会损坏轴承，因此要求轴在轴承处的转角必须小于或等于容许值，即二、提高梁的抗弯能力的主要措施⒈增大梁的抗弯刚度EI因各种钢材的弹性模量差别不大，对于钢梁来说，只有改善截面形状，增大截面的惯性矩，才能提高梁的抗弯刚度EI。如采用工字形、槽形、箱形等。×第35页，共46页，2023年，2月20日，星期一⒉减小梁的跨度因梁的变形与跨度的若干次幂成正比，减小跨度可有效地降低梁的变形。如改变支座位置、增加支座等。ABEIqlABEIlq×第36页，共46页，2023年，2月20日，星期一§7–6简单超静定梁的解法计算梁的内力、应力、变形，首先要求出梁的支座反力。静定梁的全部支座反力均可用平衡方程求之，但超静定梁的支座反力数多于平衡方程数，需通过变形条件增加补充方程方可求解。ABCEIPl/2l/2FAFBMA×第37页，共46页，2023年，2月20日，星期一ACEIPl/2l/2FAMAFBB多余约束可以选择，无论去掉哪个多余约束，最终结果相同。去掉多余约束支座B，将支座B的反力视为荷载，静定梁AB在荷载P、FB作用下，B端挠度为零。×第38页，共46页，2023年，2月20日，星期一BCEIPl/2l/2YAFBMAAP3Pl/16Pl/4M图⊕○－×第39页，共46页，2023年，2月20日，星期一上述解超静定梁的方法称为变形比较法。具体解题步骤如下：⑴去掉多余约束，代之以相应的多余约束反力；⑵根据多余约束处的变形关系建立补充方程；⑶解补充方程求出多余约束反力；

⑷将多余约束反力视为主动力，将原超静定梁视为静定梁，然后按静定梁求解其它问题。×第40页，共46页，2023年，2月20日，星期一例10解图示超静定梁，并画弯矩图。AB2aCaaEIPABCEIPFC解：去掉可动支座C，代之以反力FC。ABPBCFCFCFC2aFC×第41页，共46页，2023年，2月20日，星期一ABCEIPFC=－3P/32M图3Pa/16Pa/2⊕○－×第42页，共46页，2023年，2月20日，星期一例11求图示各梁的固端弯矩。ABCDPEIEIEIa2aPDACCF1F1′BCF2F2′解：将各梁从