流体动力学微分形式的基本方程

流体动力学微分形式的基本方程第1页，共81页，2023年，2月20日，星期一4.1连续性方程与流函数

1.

连续性方程（1）方程的推导第2页，共81页，2023年，2月20日，星期一液体三元流动的连续性方程第3页，共81页，2023年，2月20日，星期一液体三元流动的连续性方程第4页，共81页，2023年，2月20日，星期一

依据质量守恒定律：

x向质量净通率：y、z向质量净通率分别为：和第5页，共81页，2023年，2月20日，星期一

体积内的质量减少率：则有：第6页，共81页，2023年，2月20日，星期一

除以体积ΔxΔyΔz，并令Δx→0,Δy→0,Δz→0取极限，得到直角坐标下的连续性方程：或第7页，共81页，2023年，2月20日，星期一

或

柱坐标下的不可压缩流体连续性方程：对于不可压缩流体：（2）方程的简化

对于恒定流动：第8页，共81页，2023年，2月20日，星期一

（3）连续性方程的应用

判别流动能否发生。求解某一未知速度分量。

与运动微分方程联立求解。第9页，共81页，2023年，2月20日，星期一2.流函数ψ(1)定义二维不可压缩流体连续性方程为：当定义和，连续性方程自然满足。称ψ为流函数。第10页，共81页，2023年，2月20日，星期一

(2)物理意义常数时，则得到不同流线。为流线，当取不同

两条流线的流函数数值之差等于这两条流线间所通过的单宽流量。第11页，共81页，2023年，2月20日，星期一

公式表明，两条流线间所通过的单宽流量等于两个流函数数值之差。且，引入ψ后可将求ux，uy的问题化为求ψ的问题。第12页，共81页，2023年，2月20日，星期一

4.2运动微分方程1.

应力形式的运动微分方程（1）运动流体一点处的应力状态第13页，共81页，2023年，2月20日，星期一

双下标含义：

第一个下标：作用面的外法线方向，

第二个下标：应力的方向。

正的应力：正面、正力或负面、负力。

负的应力：正面、负力或负面、正力。第14页，共81页，2023年，2月20日，星期一

第15页，共81页，2023年，2月20日，星期一

依据牛顿第二定律。六面体流体元中心点M的坐标为x，y，z，应力状态为σ，可求出各面中心点的应力。（2）方程的推导外力的x

向分量Fx

：

质量力的x向分量：以x方向为例：第16页，共81页，2023年，2月20日，星期一

表面力的x

向分量：加速度的x

向分量ax：质量m：第17页，共81页，2023年，2月20日，星期一

除以ΔxΔyΔz，并令Δx→0,Δy→0,Δz→0取极限，得出同理可得y、z向方程。第18页，共81页，2023年，2月20日，星期一

应力形式的运动微分方程为存在问题：方程组不闭合（4个方程，9个未知量）。第19页，共81页，2023年，2月20日，星期一

2.不可压缩流体的应力与应变率关系第20页，共81页，2023年，2月20日，星期一

3.

纳维－斯托克斯方程（N－S方程）第21页，共81页，2023年，2月20日，星期一写成矢量形式：方程各项的含义：左端：惯性力右端：质量力、压力（压强梯度力）、粘性力第22页，共81页，2023年，2月20日，星期一4.3N－S

方程组求解的分析1.

N－S方程组矢量式：第23页，共81页，2023年，2月20日，星期一分量式：第24页，共81页，2023年，2月20日，星期一给出定解条件初始条件边界条件理论上，方程组可解。第25页，共81页，2023年，2月20日，星期一2.

N－S方程组的特点

非线性

二阶偏微分方程组一般情况下，N－S方程组难于求解。第26页，共81页，2023年，2月20日，星期一3.主要解法

（1）层流精确解对于某些简单流动，非线性项为零，可求得精确解。例如：①平行平板间的二维恒定层流运动第27页，共81页，2023年，2月20日，星期一②斜面上具有等深自由面的二维恒定层流运动第28页，共81页，2023年，2月20日，星期一③等直径圆管恒定层流运动第29页，共81页，2023年，2月20日，星期一（2）近似解为什么要求近似解？由于仅在少数简单流动情况下才能得到精确解，为此求近似解。仅在两种极端雷诺数情形下，通过略去N－S方程中的个别项，才能求得近似解。第30页，共81页，2023年，2月20日，星期一①小雷诺数流动－蠕动流

Re<<

1惯性力<<

粘性力斯托克斯解：全部略去惯性力，得出斯托克斯阻力公式。奥森解：部分略去惯性力，得出奥森解。两个解成为低雷诺数流体动力学的基础。第31页，共81页，2023年，2月20日，星期一蠕动流的例子：小球在极粘流体中的沉降第32页，共81页，2023年，2月20日，星期一②大雷诺数流动

Re>>

1惯性力>>

粘性力当全部略去粘性项，会出现什么样的结果呢？

N－S方程组欧拉方程组（理想流体）计算结果不适用于固体壁面附近适用于远离固体壁面的流场第33页，共81页，2023年，2月20日，星期一为什么不适用于固体壁面附近？计算结果与实际不符合：边界条件不符合阻力规律不符合流型不符合第34页，共81页，2023年，2月20日，星期一

1904年，普朗特提出边界层概念，将微粘流体的广大流场划分为边界层和外流区，分别用边界层理论和势流理论求解。第35页，共81页，2023年，2月20日，星期一（3）数值解属于计算流体力学范畴。（4）实验解属于实验流体力学范畴。第36页，共81页，2023年，2月20日，星期一4.4层流精确解举例1.平行平板间的二维恒定层流运动重力作用下的两无限宽水平平行平板间的二维恒定不可压缩流体的层流运动。平板间距为a，流体的密度为ρ，动力粘度为μ，上板沿x

方向移动的速度U为常量，试求平板间流体的速度分布。第37页，共81页，2023年，2月20日，星期一求解步骤：

绘图并选取坐标系及坐标取向。

依据题中条件，简化N－S方程组。依据题意，给出边界条件。解方程组。第38页，共81页，2023年，2月20日，星期一（1）选直角坐标系取x轴沿下板，z轴垂直于平板。（2）简化N－S方程组①由二维流动可知uy＝0，且各量与y无关；

②由流体作平行于x轴的流动，可知uz＝0，故仅有ux；③由恒定流可知；第39页，共81页，2023年，2月20日，星期一④

由不可压缩流体的连续性方程和即ux仅是z的函数；可知和第40页，共81页，2023年，2月20日，星期一⑤由重力场可知单位质量力即X=

Y=

0，Z=

-g。于是N－S方程组简化为（1）（2）第41页，共81页，2023年，2月20日，星期一（3）边界条件z＝0，ux＝0；z＝a，ux＝U（3）（4）（4）解方程组先解（2）式，得（5）求得（6）表明与z无关，对z积分解（1）式时，可作为常量看待。第42页，共81页，2023年，2月20日，星期一对（1）式积分二次得到则流速分布为利用边界条件（3）、（4）求得（8）（7）第43页，共81页，2023年，2月20日，星期一（5）讨论①当，得出

，为科耶特流动。第44页，共81页，2023年，2月20日，星期一，为泊肃叶流动。②当得出U=0第45页，共81页，2023年，2月20日，星期一最大流速

：单宽流量:断面平均流速与最大流速之比：断面平均流速：第46页，共81页，2023年，2月20日，星期一2.斜面上具有等深自由面的二维恒定层流运动重力作用下的无限宽斜面上具有等深自由面的二维恒定不可压缩流体的层流运动。若深度H为常量，斜面倾角为α，流体的密度为ρ，动力粘度为μ，液面压强pa为常量，且不计液面与空气之间的粘性切应力，试求流体的压强分布、速度分布、断面平均流速及作用于斜面上的粘性切应力。第47页，共81页，2023年，2月20日，星期一第48页，共81页，2023年，2月20日，星期一（1）选直角坐标系取x轴沿斜面，z轴垂直于斜面。（2）简化N－S方程组（1）（2）得出第49页，共81页，2023年，2月20日，星期一（3）边界条件z＝0，ux＝0；（3）（5）（4）第50页，共81页，2023年，2月20日，星期一（4）解方程组先解（2）式，得出利用边界条件（5）式，确定，得出压强分布：（6）第51页，共81页，2023年，2月20日，星期一则流速分布为：利用边界条件（3）、（4）求得（7）该式表明：p与z成线性关系，与x无关。对（1）式积分二次，得到第52页，共81页，2023年，2月20日，星期一（10）最大流速（z=H）：（8）单宽流量:（9）断面平均流速：进而，求得：U断面平均流速与最大流速之比：（11）U第53页，共81页，2023年，2月20日，星期一（12）粘性切应力分布：斜面上的粘性切应力：（13）需要指出，在实际应用中，对于宽浅河道，由于河宽B远远大于水深H，可按二维明渠水流计算。当水流为二维明渠均匀层流时，可直接应用本例计算结果。第54页，共81页，2023年，2月20日，星期一3.

等直径圆管恒定层流运动重力作用下的等直径圆管中的恒定不可压缩流体的层流运动。若圆管半径为r0

，流体的密度为ρ，动力粘度为μ，试求流体的速度分布、断面平均流速及作用于管壁上的粘性切应力。第55页，共81页，2023年，2月20日，星期一第56页，共81页，2023年，2月20日，星期一（1）选用圆柱坐标系取z轴与管轴重合，r垂直于管轴和管壁，θ沿周向，h表示铅直方向。（2）简化N－S方程组得出：（1）第57页，共81页，2023年，2月20日，星期一（3）边界条件（4）解方程组将（1）式化为：r＝0，uz＝有限值；r＝r0，uz＝0（2）（3）（4）第58页，共81页，2023年，2月20日，星期一（5）利用边界条件（2）、（3）求得由（4）式可知（p

+ρgh）与r和θ无关，仅为z的函数，对r积分求uz时，可将作为常量看待，则得出第59页，共81页，2023年，2月20日，星期一则流速分布为：（6）进而，求得：最大流速（r＝0）：（7）第60页，共81页，2023年，2月20日，星期一流量:（8）断面平均流速与最大流速之比：（10）U断面平均流速：（9）U第61页，共81页，2023年，2月20日，星期一管壁上的粘性切应力：（12）粘性切应力分布：（11）需要说明：上述计算结果只适用于充分发展的均匀流动区，对于管道进口段则不适用。第62页，共81页，2023年，2月20日，星期一1.

蠕动流概念当惯性力可被完全忽略而雷诺数趋近于零时，就会出现层流运动的极端情况，即蠕动流。小球在极粘流体中沉降以及液体穿过孔隙介质的流动（即渗流）均可作为蠕动流处理。4.5

蠕动流方程第63页，共81页，2023年，2月20日，星期一忽略惯性力的条件意味着运动非常缓慢，迁移加速度没有明显的惯性作用及非恒定性可以忽略不计。第64页，共81页，2023年，2月20日，星期一2.

蠕动流方程略去惯性项后，重力场中不可压缩流体的N－S方程化为（1）或（2）第65页，共81页，2023年，2月20日，星期一对（2）式两端取散度，并考虑到：对于不可压缩流体蠕动流问题可化为：在一定边界条件下求解拉普拉斯方程的问题。得出（3）及第66页，共81页，2023年，2月20日，星期一1.层流与紊流

粘性流动中的两种流态：层流与紊流（湍流）1839年哈根通过圆管试验首次发现这两种流态。1883年雷诺通过圆管流动试验，清楚地演示这两种流态，如图所示。4.6

紊流基本概念第67页，共81页，2023年，2月20日，星期一圆管流动的临界雷诺数：U（a）层流（b）紊流第68页，共81页，2023年，2月20日，星期一2.雷诺方程（1）

求时均的规则紊流为相当复杂的流动型态。流体质点激烈混掺，导致运动要素随时间作随机变化。第69页，共81页，2023年，2月20日，星期一大量的实验表明：无论瞬时值如何变化，只要取足够长的时段，其时间平均值（简称时均值）就是确定的。时均值可定义为瞬时值＝时均值＋脉动值，则有第70页，共81页，2023年，2月20日，星期一容易证明：若可利用这些关系式推导紊流基本方程。则得出第71页，共81页，2023年，2月20日，星期一（2）

雷诺方程的推导①

N－S方程组为粘性流体的基本方程组，既适用于层流，也适用于紊流的瞬时值。②

将“瞬时值”表示为“时均值＋脉动值”，并用求时均规则，可以导出雷诺方程：第72页，共81页，2023年，2月20日，星期一第73页，共81页，2023年，2月20日，星期一雷诺方程中增加了由雷诺应力：构成的附加项。雷诺应力为二阶对称张量。

由于雷诺应力分量均未知，雷诺方程组不闭合，必须补充方程后才能求解。第74页，共81页，2023年，2月20日，星期一3.关于紊流的求解（1）

半经验理论利用部分得到证明的假设，去建立雷诺应力与时均量之间的关系，以解决紊流基本方程的封闭问题。主要有：

布辛涅斯克涡粘性系数；普朗特混和长度理论；泰勒涡量传递理论；卡门相似理论等。可归入一阶封闭模式或零方程模型范围。第75页，共81页，2023年，2月20日，星期一（2）

二阶封闭模式的紊流模型主要有：雷诺应力模型（微分模型，RSM）；代数应力模型（k-ε