2021年高考数学一模试卷(41)(含答案解析)

2021年高考数学一模试卷（41）

一、单项选择题（本大题共4小题，共20.0分）

1.已知x€/?,条件p：x2<X,条件则P是<7的（）

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既非充分也非必要条件

2.若a<0,-l<b<0,则下列不等式关系成立的是（）

A.ab2<ab<aB.a<ab<ab2C.ab2<a<abD.a<ab2<ab

3.过双曲线C：/一艺=1的右焦点作C的一条渐近线的垂线/,且/与C交于两点，则|AB|=

4

8

C310

-一

A.33

4.如图，在棱长为4的正方体力BCD-4B1C1O1中，点E为441的中点，在对

角面BDDiBi上取一点M,使4M+ME最小，其最小值为（）

A.4+2V2

B.6

C.4+2V5

D.4

二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）

5.己知集合4=[1,2,5,6},8={2,3,4},则AnB.

6.抛物线x=-4y2的焦点坐标是.

7.方程g2工）21=0的解为_

8.复数z=2-V3-i的模为.

9.若角a的顶点在坐标原点，始边为x轴的正半轴，其终边经过点P（-3,-4）,则tana=

10.定义在R上的函数f（x）=2乂-1的反函数为y=/T（尤），贝ij/-i（3）=

11.已知等比数列{斯}的各项均为正数，且。2=2,。4=8,则56=.

12.已知△ABC中，4B=90。，AB=代,BC=1.若把△力BC绕边4c旋转一周，则所得几何体的

体积为______

13,已知向量2=（1,0）,b=i）,则（五一区）•方=

14.甲和乙等五名志愿者被随机地分到A、B、C三个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者.若

甲和乙不在同一岗位服务，则不同的分法有种.(用数字作答)

15.已知等差数列｛an｝的首项为3,公差为4,则该数列的前"项和Sn=.

16.已知〃x)是定义在R上且周期为2的函数，当xe[0,2)时，/(x)=||2x-l|-l|,若函数y=

f(x)-a在区间[—2,3]上有8个零点(互不相同)，则实数a的取值范围是.

三、解答题(本大题共5小题，共76.0分)

17.如图在长方体4BC。中，AB=2,40=4,AC[=>/五，点M为AB的中点，点N

为BC的中点.

(1)求长方体ABCD-4&GD1的体积；

(2)求异面直线与B]N所成角的大小(用反三角函数表示).

18.函数f(x)=>0,3>0)的部分图象如图所示.

(I)求函数X的解析式；

(II)△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若/弓+9=%,

No

222

其中AW（0《）,J@La4-c-6=ac9求角A,B,C的大小.

19.在研究某市场交通情况时，道路密度是指该路段上一定时间内通过的车辆数除以时间，车辆密

度是该路段一定时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通流量为"=?，x为道路密

度，q为车辆密度.

、(100-135-(i)x,0<x<40

V=/(X)=<3.

{-k(x-40)+85,40<x<80

(1)若交通流量v>95,求道路密度x的取值范围；

(2)已知道路密度x=80,交通流量v=50,求车辆密度q的最大值.

20.如图，在平面直角坐标系xOy中，A是椭圆9+总=l(a>b>0)的右顶点，B是上顶点，C是

椭圆位于第三象限上的任一点，连接AC,8C分别交坐标轴于P,尸两点.

(1)若点F为左焦点且直线C。平分线段AB,求椭圆的离心率;

O,

P

(2)求证：四边形AB/T的面积是定值.

21.设数列｛a｝的前〃项和S="(n+D(4nT),eN*

nw6n

(1)求数列｛即｝的通项公式.

(2)证明：对一切正整数〃，有高+京+•••[<1

【答案与解析】

1.答案：C

解析：

本题主要考查不等式的解法，充分条件和必要条件的判定等知识，属于基础题.

分别求解所给的两个不等式，得到其对应的集合，然后确定充分性和必要性即可.

解：求解二次不等式/<可得0<x<l,则4={x[0<x<1},

求解分式不等式:>1可得0<x<1,则B={x|0<x<1},

因为4=8,所以p是q的充分必要条件.

故选：C.

2.答案：D

解析：

本题考查了由不等式的性质比较大小，属于基础题.

直接根据不等式的性质即可得解.

解：a<0.-1<b<0,

■-1>b2>b,可得a<ab?<ab,

故选。.

3.答案：B

解析：

本题考查双曲线的性质及几何意义，渐近线方程，属于中档题.

由题意得取C的一条渐近线y=2x,求出/的方程，代入双曲线得到一个二元一次方程，设A、B点

的坐标，代入公式求值.

解：•••双曲线C：/一艺=1的右焦点作C的一条渐近线的垂线/,

4

•••取C的一条渐近线y=2x,

则/的方程为y=——而），

代入/一匕=1,

4

得15M+26X-21=0,

设8（X2,丫2），

则X]+犯=—~77',X1X2=-1

2Xx2

则MB|=Jl+（-1）V（1+2）-4%1X2=|.

故选B.

4.答案：B

解析：

本题主要考查棱柱的结构特征，以及数学中转化与化归的思想.

设棱CCi的中点为F,由正方体的对称性，则可知ME=MF,因为两点之间线段最短，连接4尸求解

即可.

解：取CC]的中点F,由正方体的对称性可知，ME=MF,

AM+ME=AM+MFAF

—J42+42+22

=6,

故选B.

5.答案：{2}

解析：解：集合4={1,2,5,6},5={2,3,4},则4cB={2}.

故答案为:{2}.

直接利用交集的运算法则求解即可.

本题考查交集的定义，交集的求法，是基础题.

6.答案：（一白,0）

解析：解：整理抛物线方程得y2=-[K，

・•・焦点在X轴，p=3，.焦点坐标为（一白,0）

o16

故答案为:（一2。）.

先把抛物线整理标准方程，进而可判断出焦点所在的坐标轴和p,进而求得焦点坐标.

本题主要考查了抛物线的简单性质.求抛物线的焦点时，注意抛物线焦点所在的位置，以及抛物线

的开口方向.

7.答案：log25

解析：

本题考查二阶行列式的求法，考查行列式展开法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

利用行列式展开法则列出方程，从而能求出结果.

解一•方程C2上2卜。'

・・・2%-2-3=0,

解得％=log25.

故答案为：log25.

8.答案：V7

解析：解：复数z=2-8

则|z|=|2-V3-i|=卜+（-73）2=V7.

故答案为：V7.

直接利用复数的求模公式求解即可.

本题考查复数的基本运算，模的求法，考查计算能力.

9.答案：5

解析：解：角Q的顶点在坐标原点，始边为x轴的正半轴，其终边经过点尸（-3,-4）,则tcma=三=：,

一JO

故答案为：

由题意利用任意角的三角函数的定义，求得tana的值.

本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题.

10.答案：2

解析：解：•••/（x）=2X-1,

"y=/T（X）=10g2（X+1），

二尸⑶=2.

故答案为：2.

求出函数的解析式，代值计算即可.

本题考查了反函数的解析式，属于基础题.

11.答案：63

解析：解：设等比数列｛册｝的公比为q>0,「a2=2,a4=8,

•1•2q2=8,解得q=2.

2al=2,解得%=1.

则56=当=63.

故答案为：63.

利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出.

本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

12.答案：三

解析：解：把△力BC绕边4c旋转一周所得几何体为两个同底圆锥的组合体.

在Rt△力BC中，AC=yjAB2+BC2=2.

・••圆锥的底面半径r=丝竺=隹.

AC2

两个圆锥的高度之和为4c=2.

V=扣$2X2=摄

故答案为今

所得几何体为同底的两个圆锥的组合体.

本题考查了圆锥的结构特征和体积计算，属于基础题.

13.答案：0

解析:解：0_石)不=巳一»&3=：_»0,

故答案为：0.

根据平面向量数量积的运算性质将优石的坐标代入计算即可.

本题考查了平面向量数量积的运算，是一道基础题.

14.答案：138

解析：解：利用间接法由题意得，五名志愿者被随机地分到A,B,C三个不同的岗位，每个岗位至

少有一名志愿者人，

可以有一个岗位3人,其余各1人,有或蜀=60种，也可能有一个岗位1人,其余各2人，有3第肉=90

种，

要满足甲、乙被同时安排在A岗位，则相当于把其余3人分到A,B,C岗位，有题+戏掰=12种，

故甲和乙不在同一岗位服务，则不同的分法有60+90-12=138.

故答案为：138.

利用间接法由题意得，再排除甲乙两人在同一岗位的分配方法，问题得以解决.

本题主要考查了排列组合中的分配问题，关键是如何分组，属于中档题

15.答案：2n2+n

解析：解：由题意可得%=3,公差d=4,

0,n(n-l),

=nal2d

=3n+2n(n-1)=2n2+n

故答案为：2n2+九

由题意代入等差数列的求和公式可得.

本题考查等差数列的求和公式，属基础题.

16.答案：(0,1)

2x0<x<|

2-2x-<x<l

{2x-21<x<2

根据/(尤)在R上的周期为2,可以画出在［一2,3］上的图象:

如图，令/'(x)—a=0,/(x)=a；

••・函数y零点的情况即函数与函数y=a交点的情况;

二函数f(x)和y=a有8个不同交点；

有图象可以看出a的取值范围是(0,1).

故答案为：(0,1).

0<x<|

通过去绝对值，》6［0,2)时，/(x)=\-2X

21<X<v所以可以画出/(x)在［0,2)上的图象，因

2-

<2%—21<x<2

为的周期为2,所以可以得到f(x)在［一2,3］上的图象.令丫=/。)一。=0得，/(x)=a,所以

函数y=/(%)-a零点的个数即函数/(x)与函数y=a交点的个数，而由图象即可看出与y=a交

点个数为8时七的取值范围.

考查对含绝对值函数的处理办法：讨论x取值，去掉绝对值，函数周期的概念，以及知道函数一个

周期上的图象画出其它范围的函数图象的方法，以及函数零点和方程解的关系，以及数形结合解决

问题的方法.

17.答案：解：(1)连AC、4cl.•••△ABC

是直角三角形，AAC=V22+42=

2V5.

vABCD-①当加历是长方体，二

GC1BC,GC1CD,

乂DCCBC=C,GC1平面ABC。，

MB

•••GC1AC.

又在中，

RM4CC1ACr=vn.AC=2V5.

•••CC]=1,.-------6分

二长方体4BC0-&B1C1D]的体积廿=S矩形ABCD义CC】=4Bx4DxCC】=2x4x1=8.

(2)如图，以。为原点，D4为x轴，0c为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系,

则4(4,0,1),M(4,l,0),Bi(4,2,1),N(2,2,0),

.,.而0=(0,1,-1),B^N=(-2,0,-1),10分

则向量硒与瓦万所成角夕满足cos。=其需=等.

11141MH81N|10

异面直线与B]N所成的角等于arccos^.14分

解析：连、】，推导出从而。平面进而由此能

(1)ACACCiCJ.BC,CrCLCD,C1_LABCC,GC1AC.

求出CC「从而能求出长方体ZBCD—4B1GQ的体积.

(2)以。为原点，QA为x轴，OC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异

面直线41M与&N所成的角.

本题考查长方体的体积的求法，考查异面直线所成角的求法，考查几何体的体积'空间角等基础知

识，考查运算求解能力，考查统计与概率思想、函数与方程思想，是基础题.

18.答案：解:(1)由图象可知“=2...(2分)

11-=—--=-,

4884

AT=71…(4分)

••・3=票=2…(5分)

故函数X的解析式为f(%)=2sm(2x-9...(6分)

(口)由(1)知/©+乡=2$讥4=遮，

Z8

・•.sinA=y...(7分)

・・・AE(0(),・・・4=；.・.(8分)

由余弦定理得：cosB=°-=—=工…(9分)

2ac2ac2'

vBG（0,兀）,・•・B=g...（10分）

从而C=兀一(A+B)=枭

•••4=B=C='.(12分)

解析：(I)利用最高点，确定M，求出函数的周期，可得3,即可求函数的解析式；

(U)根据/(?+》=百，求出A,由a2+c2-i>2=ac,利用余弦定理，可求B,从而可求C.

本题考查三角函数的解析式的求法，考查余弦定理，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题.

19.答案：解：(1)；"=%越大，x越小，

.・.V=/(%)是单调递减函数，k>0,

当404工工80时，u最大为85,

于是只需令100-135•(：尸>95,解得x>3,

故道路密度x的取值范围为(3,40).

(2)把x=80,v=50代入u=f(x)=-fc(x-40)+85中，

得50=-fc-40+85,解得k="

O

100%-135•(1)x•%,0<%<40

7，

——(x-40)%+85%,404久工80

(8

当0<x<40时，q单调递增，q<100X40-135X(|)40X40=4000；

当40WXW80时，q是关于x的二次函数，开口向下，对称轴为％=等，

11|-1_Lt-E3t一/十、，.7，480、2.re48028800/ccc

此时夕有最大值，为一段*(<)2+120乂丁=—；—>4000.

8777

故车辆密度4的最大值为竺罗.

解析：本题考查分段函数的实际应用，考查学生分析问题和解决问题的能力，以及运算能力，属于

中档题.

(1)易知V越大，X越小，所以u=/"(%)是单调递减函数，fc>0,于是只需令100-135♦G)x>95,

解不等式即可；

(2)把％=80,u=50代入u=/(%)的解析式中，求出攵的值，利用q=心可得到4关于*的函数关

系式，分段判断函数的单调性，并求出各自区间上“的最大值，取较大者即可.

20.答案：解：(1)设椭圆焦距为2c,则B(0,b),F(-c,0),直线M的方程为巳+?=1,

仔+看=12•,1

联立方程组黄&n3+(1+铲=1,即(专++粗2+2.0,

(一+京=1

所以。(一^,一呆),

又48中点。(右§,因C。平分线段A8,所以C,。，。三点共线，

则々oc=koD，所以2=—r-y则垓=2ac=>a2-c2=2ac=>1—e2=2e,

a2a2c

所以e=y/2—1.

(2)证明:设C(x0,yo),则直线AC的方程为丫=含(X一砌,所以P(0,豫)；

直线8C的方程为y=§3x+b,所以尸(岩,0)；

所以|4F|=a-岩，|BP|=b一答，

o-yoaxo

因为炉瑶+a2y^=a2b2,

则四边形ABFP的面积\AF\'\BP\=hab+,岫普、一老曳一簪)=；

S=11(ab+