关于线性代数的数学建模实验报告

数学建模实验报告院系：通信与信息工程学院1101

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx2013221关于线性代数的数学建模实验报告【实验目的】对数学实验与数学建模的原理和概念的理解。MATLAB软件了解和认识。MATLAB软件去验证数学公式和实际问题有新的认识。MATLAB软件的学习，能把生活中的数学问题数学模型化。【实验内容】一、投入产出问题【模型准备】某地有一座煤矿,一个发电厂和一条铁路.经成本核算,每生产价10.3元的电;10.2费;10.6元的煤作燃料;0.1元的电,0.1元的运费;,10.5元的煤,0.1元的电.6,电10万元电的外地需求,问:煤矿和电厂各生产多少才能满足需求?【模型假设】假设不考虑价格变动等其他因素.【模型建立】设煤矿,电厂,铁路分别产出x元,y元,z元刚好满足需求.则有下表产出(1元)产出(1元)产出消耗订单消耗煤电运煤00.60.5x0.6y+0.5z60000电0.30.10.1y0.3x+0.1y+0.1z100000运0.20.10z0.2x+0.1y0根据需求,应该有即

x(0.6y0.5z)60000y(0.3x0.1y0.1z)100000,z(0.2x0.1y)0x0.6y0.5z600000.3x0.9y0.1z1000000.2x0.1yz0【模型求解】在Matlab命令窗口输入以下命令>>A=[1,-0.6,-0.5;-0.3,0.9,-0.1;-0.2,-0.1,1];b=[60000;100000;0];>>x=A\bMatlab执行后得x=1.0e+005*1.99661.84150.58351.9966105元的煤,1.8415105求.x 0 0.6 0.5 60000【模型分析】令x=y,A=0.3 0.10.1,b=100000,其中x称为总产值列 z 向量,A称为消耗系数矩阵,b称为最终产品向量,则0 0.6 0.5x 0.6y0.5z Ax=0.3 0.10.1y=0.3x0.1y0.1z0.2 0.1 0z 0.2x0.1y 根据需求,应该有xAx=b,即(EA)x=b.故x=(EA)1b.二、一阶常系数线性齐次微分方程组的求解【模型准备.P0(1,0)处.知道虫子在点P(xy)x轴正向的速率为4x5y沿y2x3y.?y何去何从?O 1 x图31虫子爬行的轨迹【模型假设】设t时刻虫子所处位置的坐标为(x(t),y(t)).【模型构成】由已知条件和上述假设可知dx4x5y,dt 而且(x(0),y(0))=(1,0).dy

2x3y,现要由此得出虫子爬行的轨迹的参数方程.【模型求解令A=4 5,则|EA|

4 5

+1)(2).A的特征 2 3 2 值为1=1,2=2.(EA)x=0的一个基础解系为:1=(1,1)T;(2EA)x=0的一个基础解系为:2=(5,2)T.10P,P1AP=

0 2. X=x,Y=u,XPY,YP1X,y v dY dX 10=P1dt 即

=P1AX=P1APY=

0 2Y,dudt=10u,dvdt

0 2v cet故u=c1et,v=c2e2t,即Y=1 .因而ce2t2c 2/3 5/31 2/3=Y|t=0=P1X|t=0=1/3 1/3

0=1/3.2 2于是 2 2 2 5 3et 153et 3et3e2tY=1 ,X=PY=12

= 2 2 . e2t

e2t

et e2t3 3 3 3 2 5x3et

e2t,3这就是说,虫子爬行的轨迹的参数方程为 2 2y et e2t. 3 3如果在Matlab命令窗口输入以下命令>>ezplot('-2/3*exp(-t)+5/3*exp(2*t)','-2/3*exp(-t)+2/3*exp(2*t)',[0,1])>>gridon;>>axis([0,12,0,5])Matlab执行后得32Matlab绘制的虫子爬行轨迹三、交通流问题3-3（每小时车辆数目。计算该网络的车流量。由网络流量假设，有对于节点A：x2

30x1

80;对于节点B：x x3 5

x x;2 4对于节点C：x 100x 40;6 5对于节点D：x 40x 90;4 6对于节点E：x1

60x3

20.于是，所给问题可以归结为如下线性方程组的求解。1x x 50,1 x

2x x x3 4 x x

0,60,5 6 4

50,x x1 3

40,求解该问题的相MATLAB 代码：clearA=[-1,1,0,0,0,0;0,-1,1,-1,1,0;0,0,0,0,-1,1;0,0,0,1,0,-1;1,0,-1,0,0,0];b=[50;0;-60;50;-40];[R,s]=rref([A,b]);[m,n]=size(A);x0=zeros(n,1);r=length(s);x0(s,:)=R(1:r,end);disp('非齐次线性方程组的特解为：')x0disp('对应齐次线性方程组的基础解系为：')x=null(A,'r')解这个方程组，得解这个方程组，得x1x2x3x4x5x6110 40 k 10 01000k21 1 10 50600其中 ：k ,k R1 2 1 【实验总结】通过这次线性代数方面的数学建模实验的学习，我们对数学有了更进一步的理解，通过MATLAB可以把生活中的数学问题模型化建立成数学模型