新课程中使用悖论的思考和探索

新课程中使用“悖论”的思考和探索

数学悖论是数学文化的重要组成部分，是重要的课程资源.在高中数学教学过程中重视数学悖论研究与使用，这对提高中学数学教师认识水平和培养学生的数学思维能力、增加人文教育等具有重要作用，然而，当前的中学数学教育并没有对悖论给予应有的重视，特别是在新课程理念下，高中教学中如何使用悖论，充分发挥它们在教学常规中的作用，为我们的新课程改革减负增效.本文结合上述问题谈谈自己的思考和探索.一、巧用“悖论”，创设问题情境生动、有趣、迷人的悖论给人以奇异的美感，用其设计问题情境引入，让学生领略数学魅力的同时，更多从惊讶到思考.如在讲授导数这一章节之前，以古希腊哲学家芝诺的著名悖论“飞矢不动”作为本章情境引入：芝诺问他的学生：一支射出的箭是动的还是不动的？生：那还用说，当然是动的.师：那么，在这一瞬间里，这支箭是动的，还是不动的？生：不动的.师：这一瞬间是不动的，那么其他瞬间呢？生：也是不动的！师：所以，射出去的箭是不动的.（这时候学生知道箭确实在动，运动是真实的，又不知怎样否定芝诺的推理，学生处于“愤”与“悱”的状态）师：通过本章的学习，你就会明白其中的道理，如看人，要问其身世、家庭、社会关系，孤立地考察一个人是不行的，我们之前学习的函数也一样，孤立地只看一点的数值不行，还要跟周围的数值联系起来看，微积分就是突破了初等数学“就事论事”、孤立地考察一点的静态思考，转而动态地考察其周围的“局部”，于是有了导数.随后的教学活动随着问题的解决展开，使学生始终怀着极大的兴趣，教学效果很好.二、精用“悖论”，突破教学难点布鲁纳发现理论指出：学生不是被动的、消极的知识接受者，而是主动的、积极的知识探究者.数学发展史中人类的数学思维过程不可避免地总会有一些冲突，产生一些悖论，这些悖论是新颖独到、创造性的思维产物，它既没有有效的方法和确定的规则可以直接利用，又没有人类已总结的科学理论为依据，显示了思维智力的独创性，因而对这样课程资源创设探究情境，让学生探究经历数学构建过程，有时教学的难点就会迎刃而解.下面结合“贝特朗悖论问题”具体说明.在教材[1]P104（探究·拓展）阅读题中“贝特朗悖论问题”：若半径为1的圆内随机地取一条弦，则其长超过该圆内接等边三角形的边长的概率是多少？取单位圆O，⊙O的内接等边三角形的边长等于，取⊙O的任一弦长AB，记“AB＞”为事件A.笔者让学生去探究，大致得到如下解法：解法1任何弦都交圆周于两点，不失一般性，不妨固定弦的一端A于圆上，以此点为顶点作一圆内接正三角形△APQ，弦的另一端B在圆周上“随机地”变动（如图1），当B点落在∠PAQ所夹弧上时，有弦AB＞，否则AB≤，弧的长是圆周长的，故P（A）=.解法2因为弦长只和它与圆心的距离有关，与方向无关，因此不妨固定弦的方向，考虑弦AB与垂直于它的直径PQ的交点G，分别以P，Q为一个顶点作圆的内接等边三角形，这两个三角形的边与PQ分别交于M，N点，交点G位于MN上时（如下页图2），有弦AB＞，否则AB≤，由于MN=PQ，P（A）=.解法3因为弦长被中点唯一确定，在圆内“随机地”取一点P作为弦AB的中点，若OP＜，则弦AB＞，否则AB≤，故点P在以O为圆心，为半径的圆内（如图3），而小圆的面积=大圆面积的，故P（A）=.为什么同样的一道题，有这么多的答案（其他解法参见文[2]），贝特朗悖论的原因何在呢？学生经过交流后得到：因为对背景相似（相同）的问题，当等可能的角度不同时，样本空间可能不一样，一旦样本空间确定，所使用的测度随之确定.上述三种解法中，点的选择都是等可能的，在解法1中，B点是在圆周上任意取，研究弦就是研究圆周上的点，样本空间是圆周，测度为弧的长度；在解法2中，弦垂直于它的直径PQ的交点（弦的中点），研究这样的弦就是研究直径上的点，样本空间是直径PQ，测度为线段的长度；在解法3中，弦长被中点唯一确定，圆内的弦与圆内的点一一对应，研究这样的弦就是研究圆内的点，样本空间就是圆内，测度为圆的面积.苏教版必修3（文[1]）P102的例3和P104（探究·拓展）第6题（阅读题）这两题的辨析是一个难点，经过上述探索与交流后，对这一难点的突破就比较容易了.具体分析如下：例3在等腰直角三角形△ABC中，在斜边AB上任取一点M，求AM小于AC的概率.我们从M点形成的角度看，例3中M直接在斜边AB上任取，是等可能的，此时的样本空间是线段AB，测度为线段的长，易得P（AM＜AC）=.（探究·拓展）第6题将本节例3改为：如图在等腰直角三角△ABC中，过直角顶点C在∠ABC内部任作一条射线CM，与线段AB交于点M，求AM＜AC的概率.此时M点是过直角顶点C作一条射线与AB的交点，虽然点M与射线一一对应，但M点选择不满足等可能的条件，不妨假设射线CA按逆时针旋转α角度（设α角度较小）得到射线，继续旋转α角度得到射线（如图4），由角平分线定理：，因为|CA|≠||，所以，所以M点在线段AB上不是等可能.此时样本空间不能为线段AB，不能用长度来计算概率.我们以C为圆心，CA为半径画一个圆（如图5），并且设射线CM交圆弧为N点，此时N点与射线一一对应，满足等可能性，此时样本空间为弧AB，测度为弧的长度，在AB上截取AM'=AC，延长AM'交弧AB于N'，当N在弧AB'上时，有AM＜AC，否则AM≥AC，此时弧AN'=，故P（AM＜AC）=.如果将（探究·拓展）第6题改为：“如图在等腰直角三角△ABC中，在线段AB上任取一点M，过直角顶点C作射线CM，求AM＜AC的概率.”此时虽然也是作射线CM，但点M的形成与例3一样，故测度一样，解答也一样.对“贝特朗悖论问题”探究和交流后，教材[1]P102的例3和P104（探究·拓展）第6题这两道题辨析这一难点，学生很容易理解了.三、妙用“悖论”，完善知识结构有些悖论在它“荒诞”中蕴含着哲理，巧用这些悖论，能够帮助学生完善认知结构，优化知识，使其不仅知其然，而且知其所以然，使学生对概念理解更加深刻.在讲解数系的扩充与复数的引入这一章节时，在复数范围内，除非它们都是实数，否则两个复数无法比较大小，学生对这一规定结论感到非常疑惑，为什么呢？这个可以利用“0与i谁大谁小”这一悖论进行说明.所谓能比较大小，就是对于规定的“＞”关系能满足下面四条性质：性质一：对任意两个不同的数a和b，或a＞b，或b＞a，两者不能同时成立.性质二：若a＞b，b＞c，则a＞c.性质三：若a＞b，则a+c＞b+c.性质四：若a＞b，c＞0，则ac＞bc.下面根据上面四条性质，研究一下0与i谁大谁小.（1）如果i＞0，由性质四，得＞0·i，即-1＞0.（注意，由于“＞”不一定是实数规定的含义，故此式并未导出矛盾）对上面的不等式两边同乘以-1（注意此时有-1＞0），利用性质四，得＞0·（-1），即1＞0.另一方面，对-1＞0这一结果两边同加上1，用性质三，得-1+1＞0+1，即0＞1.于是得到1＞0，且0＞1，也就是0与1无法满足性质一，矛盾.（2）如果0＞i，两边同时加-i，由性质三得0+（-i）＞（-i）+i，即-i＞0.对这个式子，两边同乘-i，由性质四得＞0·i，即有-1＞0，以下可依照上面的证明过程，推得同样的矛盾.通过这个悖论的介绍，学生知道，在复数域中，无法规定一种关系，否则将导致悖论.四、使用“悖论”，增加人文教育新课程标准指出：数学是人类的一种文化，它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分.数学教育应该把数学知识、文化知识的教学和人文精神的培养融为一体，展示数学的科学价值和人文价值.悖论是数学文化的重要组成部分，许多内容涉及数学史料和数学的发展，有人文教育的价值.如数学悖论与三次数学危机，第一次数学危机与“希帕索斯悖论”.公元前五世纪，古希腊的著名数学家和哲学家毕达哥拉斯提出了“万物皆数”的著名论断，其数学体现就是“一切现象均可表示为整数或整数之比”.此后该学派的成员希帕索斯提出了一个新问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少？这一长度既不能用整数表示，也不能用分数表示，而只能用一个新数字来表示，这就是“希帕索斯悖论”.导致了数学史上第一个无理数的诞生，之后许多数学家正式研究了无理数，建立了完整的实数理论；“贝克莱悖论”与第二次数学危机.在十七世纪，牛顿、莱布尼兹各自独立发现微积分这一锐利无比的数学工具，两人的理论都建立在无穷小分析之上，英国大主教贝克莱提出的悖论大致表述为“无穷小量究竟是否为0”的问题，在微积分的实用中，无穷小量有时当作0，有时又看作不是0，从形式逻辑上看，这无疑是矛盾.这一问题的提出在当时的数学界又引起新的大辩论，由此导致了第二次数学危机的产生.此后经过柯西、欧拉、康托尔等数学家历经100多年的不懈努力，重建微积分学基础；1903年，英国数学家罗素提出的著名的罗素悖论，发现集合论是有漏洞的，导致第三次数学危机，后来建立公理化集合论体系，成功排除了集合论中出现的悖论，从而比较圆满地解决了第三次数学危机.数学悖论作为数学文化