2023届新疆克拉玛依市第十三中学数学高二第二学期期末经典试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a=7b，则m＝()A．5 B．6 C．7 D．82．函数的零点所在的大致区间是（）A． B．C． D．3．某品牌小汽车在匀速行驶中每小时的耗油量（升）关于行驶速度（千米/时）的函数解析式为.若要使该汽车行驶200千米时的油耗最低，则汽车匀速行驶的速度应为（）A．60千米/时 B．80千米/时 C．90千米/时 D．100千米/时4．二项式展开式中常数项等于（）A．60 B．﹣60 C．15 D．﹣155．定义在上的偶函数满足，且当时，，函数是定义在上的奇函数，当时，，则函数的零点的的个数是（）A．9 B．10 C．11 D．126．给出下列三个命题：①“若，则”为假命题；②若为真命题，则,均为真命题；③命题，则.其中正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．37．若函数在区间上是单调函数，则的取值范围是（）A． B． C． D．8．已知集合，，则（）A． B． C． D．9．从名学生中选取名组成参观团，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从人中剔除人，剩下的人再按系统抽样的方法进行.则每人入选的概率()A．不全相等 B．均不相等 C．都相等，且为 D．都相等，且为10．一个空间几何体的三规图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B． C． D．11．已知定义域为的函数满足，，当时，则（）A． B．3 C． D．412．某地区高考改革，实行“”模式，即“”指语文、数学、外语三门必考科目，“”指在化学、生物、政治、地理四门科目中必选两门，“”指在物理、历史两门科目中必选一门，则一名学生的不同选科组合有多少种？（）A．种 B．种 C．种 D．种二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知椭圆：的离心率为，三角形的三个顶点都在椭圆上，设它的三条边、、的中点分别为、、，且三条边所在直线的斜率分别、、，且、、均不为.为坐标原点，若直线、、的斜率之和为，则______.14．已知，且的实部为，则的虚部是________.15．在极坐标系中，过点并且与极轴垂直的直线方程是__________．16．已知函数，则在处的切线方程为_______________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）选修4-4：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）若直线的参数方程为（为参数），设点，直线与曲线相交于两点，求的值.18．（12分）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，且，，，，，，.（1）证明：平面；（2）求四棱锥的体积.19．（12分）若正数满足，求的最小值.20．（12分）已知非零向量，且，求证：．21．（12分）已知的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是．（Ⅰ）求展开式中各项二项式系数的和；（Ⅱ）求展开式中中间项．22．（10分）在一个圆锥内作一个内接等边圆柱（一个底面在圆锥的底面上，且轴截面是正方形的圆柱），再在等边圆柱的上底面截得的小圆锥内做一个内接等边圆柱，这样无限的做下去.（1）证明这些等边圆柱的体积从大到小排成一个等比数列；（2）已知这些等边圆柱的体积之和为原来圆锥体积的，求最大的等边圆柱的体积与圆锥的体积之比.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】试题分析：由题意可知,,,即,,解得．故B正确．考点：1二项式系数；2组合数的运算．2、C【解析】

，函数f(x)在（0，+∞）上单调递增，∵f(3)=ln3-1＞0，f(e)=lne-=1-＜0，∴f(3)·f(e)＜0，∴在区间（e，3）内函数f(x)存在零点.故选C.3、C【解析】分析：先设速度为x千米/小时，再求出函数f(x)的表达式，再利用导数求其最小值.详解：当速度为x千米/小时时，时间为小时，所以f(x)=所以令当x∈（0,90）时，函数f(x)单调递减，当x∈（90,120）时，函数f(x)单调递增.所以x=90时，函数f(x)取得最小值.故答案为C.点睛：（1）本题主要考查导数的应用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和解决实际问题的能力.(2)如果求函数在开区间内的最值，则必须通过求导，求函数的单调区间，最后确定函数的最值．4、A【解析】

化简二项式展开式的通项公式，由此计算的系数，从而得出正确选项.【详解】当时，即，故常数项为，选A.【点睛】本小题主要考查二项式展开式的通项公式，考查运算求解能力，属于基础题.5、C【解析】

由，得出，转化为函数与函数图象的交点个数，然后作出两个函数的图象，观察图像即可．【详解】由于，所以，函数的周期为，且函数为偶函数，由，得出，问题转化为函数与函数图象的交点个数，作出函数与函数的图象如下图所示，由图象可知，，当时，，则函数与函数在上没有交点，结合图像可知，函数与函数图象共有11个交点，故选C.【点睛】本题考查函数的零点个数，有两种做法：一是代数法，解代数方程；二是图象法，转化为两个函数的公共点个数，在画函数的图象是，要注意函数的各种性质，如周期性、奇偶性、对称性等性质的体现，属于中等题．6、B【解析】试题分析：①若，则且，所以①正确；②若为真命题，则，应至少有一个是真命题，所以②错；③正确．考点：1.四种命题；2.命题的否定．7、B【解析】

求导，计算函数的单调区间，根据区间上是单调函数得到答案.【详解】单调递增，单调递减.函数在区间上是单调函数区间上是单调递减不满足只能区间上是单调递增.故故答案选B【点睛】本题考查了函数的单调性，排除单调递减的情况是解题的关键.8、C【解析】

先求解绝对值不等式得到集合A，然后直接利用交集运算可得答案。【详解】解：因为，所以，得，所以集合，又因为，所以，故选C.【点睛】本题主要考查了绝对值不等式及交集运算，较基础.9、C【解析】

按系统抽样的概念知应选C，可分两步：一是从2018人中剔除18留下的概率是，第二步从2000人中选50人选中的概率是，两者相乘即得．【详解】从2018人中剔除18人每一个留下的概率是，再从2000人中选50人被选中的概率是，∴每人入选的概率是．故选C．【点睛】本题考查随机抽样的事件与概率，在这种抽样机制中，每个个体都是无差别的个体，被抽取的概率都相等．10、B【解析】

根据三视图得知该几何体是四棱锥，计算出四棱锥的底面积和高，再利用锥体体积公式可得出答案．【详解】由三视图可知，该几何体是四棱锥，底面是矩形，其面积为，高为，因此，该几何体的体积为，故选B．【点睛】本题考查三视图以及简单几何体体积的计算，要根据三视图确定几何体的形状，再根据体积公式进行计算，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题．11、D【解析】

根据奇偶性和可知关于轴和对称，由对称性和周期性关系可确定周期为，进而将所求函数值化为，代入可求得结果.【详解】，为偶函数，图象关于轴对称；，关于直线对称；是周期为的周期函数，.故选：.【点睛】本题考查利用函数的性质求解函数值的问题，涉及到函数奇偶性、对称性和周期性的应用；关键是能够熟练掌握对称性和周期性的关系，准确求得函数的周期性.12、B【解析】

根据题意，分步进行分析该学生在“语文、数学、外语三门”、“化学、生物、政治、地理四门”、“物理、历史两门”中的选法数目，由分步计数原理计算可得答案．【详解】根据题意，分3步进行分析：①语文、数学、外语三门必考科目，有1种选法；②在化学、生物、政治、地理四门科目中必选两门，有种选法；③在物理、历史两门科目中必选一门，有种选法；则这名学生的不同选科组合有种.故选：B．【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

求出椭圆方程，设出的坐标，利用椭圆中的结论：，，，结合直线的斜率之和为进行运算.【详解】因为椭圆的离心率为，所以，又，，，所以，，，所以.故答案为：-2【点睛】解析几何小题若能灵活利用一些二级结论，能使问题的求解更简便，计算量更小，本题等三个结论均可利用设而不求点差法证出.14、【解析】

根据的实部为，设，然后根据求解.【详解】因为的实部为，设，又因为，所以，解得，故的虚部为.故答案为：【点睛】本题主要考查复数的概念和运算，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.15、【解析】

由题意画出图形，结合三角形中的边角关系得答案．【详解】如图，由图可知，过点（1，0）并且与极轴垂直的直线方程是ρcosθ＝1．故答案为．【点睛】本题考查了简单曲线的极坐标方程，是基础题．16、【解析】

求导数，令，可得，求出，即可求出切线方程。【详解】；；又；在处的切线方程为，即；故答案为：【点睛】本题考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于基础题。三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）极坐标方程化为直角坐标方程；（2）联立直线线l的参数方程与曲线C方程，巧解韦达定理表示，解得其值.试题解析：（1）由曲线C的原极坐标方程可得，化成直角方程为．（2）联立直线线l的参数方程与曲线C方程可得，整理得，∵，于是点P在AB之间，∴．点睛：过定点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线参数方程的标准形式为(t为参数)，t的几何意义是直线上的点P到点P0(x0，y0)的数量，即t＝|PP0|时为距离．使用该式时直线上任意两点P1，P2对应的参数分别为t1，t2，则|P1P2|＝|t1－t2|，P1P2的中点对应的参数为(t1＋t2)18、（1）见解析（2）【解析】

（1）先证明，，再证明平面；（2）连接，求出AC,CB的长，再求四棱锥的体积.【详解】（1）证明：因为，，所以，即，同理可得，因为，所以平面.（2）解：连接，，，..【点睛】本题主要考查线面垂直关系的证明，考查锥体的体积是计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.19、【解析】试题分析：由柯西不等式得，所以试题解析：因为均为正数，且，所以．于是由均值不等式可知，当且仅当时，上式等号成立．从而．故的最小值为．此时．考点：柯西不等式20、证明见解析【解析】

⇔．同时注意，，将要证式子等价变形，用分析法即可获证．【详解】解：∵∴，要证，只需证，只需证，只需证，只需证0，即，上式显然成立，故原不等式得证．【点睛】用分析法证明，即证使等式成立的充分条件成立．注意应用条件⇔和．21、（Ⅰ）64；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）根据展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是求出的值，然后可求各项二项式系数的和；（Ⅱ）根据的值确定中间项，利用通项公式可求.【详解】解：由题意知，展开式的通项为：，且，则第五项的系数为，第三项的系数为，则有，化简，得，解得，展开式中各项二项式系数的和；由（1）知，展开式共有7项，中间项为第4项，令，得．【点睛】本题主要考查二项展开式的系数及特定项求解，通项公式是求解这类问题的钥匙，侧重考查数学运算的核心素养.22、（1）证明见解析；（2）【解析】

（1）求出第一个等边圆柱的体积，设第个等边圆柱的底面半径为，其外接圆锥的底面半径为，高为，则其体积，进一步求得第个等边圆柱的体积，作比可得这些等边圆柱的体积从大到小排成一个等比数列；（2）由这些等边圆柱的体积之和为原来圆锥体积的可得与的关系，则答案可求．【详解】（1）证