2023届四川省绵阳巿三台中学数学高二下期末统考试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若是离散型随机变量，，，又已知，，则的值为（）A． B． C．3 D．12．若关于的不等式恰好有个整数解，则实数的范围为（）A． B． C． D．3．已知函数在处取得极值，则的图象在处的切线方程为（）A． B． C． D．4．已知，函数，若函数恰有三个零点，则（）A． B．C． D．5．角的终边上一点，则（）A． B． C．或 D．或6．函数的部分图象可能是（）A． B．C． D．7．设双曲线：的左、右焦点分别为、，点在上，且满足.若满足条件的点只在的左支上，则的离心率的取值范围是（）A． B． C． D．8．在等比数列中，已知，则的值为（）A． B． C． D．9．已知变量，满足约束条件，则目标函数的最大值为A．7 B．8 C．9 D．1010．已知集合,,则（）A． B． C． D．11．“”是“方程表示焦点在轴上的双曲线”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件12．已知三棱锥的底面是等边三角形，点在平面上的射影在内（不包括边界），.记，与底面所成角为，；二面角，的平面角为，，则，，，之间的大小关系等确定的是（）A． B．C．是最小角，是最大角 D．只能确定，二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若向量，，则______.14．数列满足，则等于__________.15．如图，正方体的棱长为1，分别为线段上的点，则三棱锥的体积为___________.16．“直线与平面内无数条直线垂直”是“”的______条件.（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分又不必要”）三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，且，．（1）证明：平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．18．（12分）某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．（1）sin213°+cos217°-sin13°cos17°（2）sin215°+cos215°-sin15°cos15°（3）sin218°+cos212°-sin18°cos12°（4）sin2（-18°）+cos248°-sin2（-18°）cos248°（5）sin2（-25°）+cos255°-sin2（-25°）cos255°Ⅰ试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数Ⅱ根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广位三角恒等式，并证明你的结论19．（12分）已知函数，曲线在处的切线与轴平行.（1）求实数的值；（2）设，求在区间上的最大值和最小值.20．（12分）已知的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是．（Ⅰ）求展开式中各项二项式系数的和；（Ⅱ）求展开式中中间项．21．（12分）如图,四棱柱中,底面是等腰梯形,,,是线段的中点,平面.(1)求证:平面；(2)若,求平面和平面所成的锐二面角的余弦值.22．（10分）在二项式展开式中，所有的二项式系数和为1．（1）求展开式中的最大二项式系数；（2）求展开式中所有有理项中系数最小的项．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】分析：由期望公式和方差公式列出的关系式，然后变形求解．详解：∵，∴随机变量的值只能为，∴，解得或，∴．故选D．点睛：本题考查离散型随机变量的期望与方差，解题关键是确定随机变量只能取两个值，从而再根据其期望与方差公式列出方程组，以便求解．2、C【解析】

依题意可得，0＜k＜1，结合函数y＝k|x|与y＝﹣|x﹣2|的图象可得4个整数解是2，3，4，5，由⇒x，即可得k.【详解】解：依题意可得，0＜k＜1，函数y＝k|x|与y＝﹣|x﹣2|的图象如下，由0＜k＜1，可得xA＞1，∴关于x的不等式k|x|﹣|x﹣2|＞0恰好有4个整数解，他们是2，3，4，5，由⇒xB，故k；故选：C【点睛】本题主要考查根据含参绝对值不等式的整数解的个数，求参数范围问题，着重考查了数形结合思想，属于中档题．3、A【解析】

利用列方程，求得的值，由此求得，进而求得的图象在处的切线方程.【详解】，函数在处取得极值，，解得，，于是，可得的图象在处的切线方程为，即．故选：A【点睛】本小题主要考查根据极值点求参数，考查利用导数求切线方程，属于基础题.4、C【解析】

当时，最多一个零点；当时，，利用导数研究函数的单调性，根据单调性画函数草图，根据草图可得．【详解】当时，，得；最多一个零点；当时，，，当，即时，，在，上递增，最多一个零点．不合题意；当，即时，令得，，函数递增，令得，，函数递减；函数最多有2个零点；根据题意函数恰有3个零点函数在上有一个零点，在，上有2个零点，如图：且，解得，，．故选．【点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.由于方程中涉及两个参数，故按“一元化”想法，逐步分类讨论，这一过程中有可能分类不全面、不彻底.5、D【解析】

根据三角函数的定义求出，注意讨论的正负．【详解】的终边上一点，则，，所以.故应选D.【点睛】本题考查三角函数的定义，解题时要注意分类讨论，即按参数的正负分类．6、B【解析】∵，∴，∴函数的定义域为，又，∴函数为偶函数，且图象关于轴对称，可排除、．又∵当时，，可排除．综上，故选．点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路(1)由解析式确定函数图象的判断技巧：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．(2)由实际情景探究函数图象．关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题．7、C【解析】

本题需要分类讨论，首先需要讨论“在双曲线的右支上”这种情况，然后讨论“在双曲线的左支上”这种情况，然后根据题意，即可得出结果。【详解】若在双曲线的右支上，根据双曲线的相关性质可知，此时的最小值为，因为满足题意的点在双曲线的左支，所以，即，所以①，若在双曲线的左支上，根据双曲线的相关性质可知，此时的最小值为，想要满足题意的点在双曲线的左支上，则需要满足，即，所以②由①②得，故选C。【点睛】本题考查了圆锥曲线的相关性质，主要考查了圆锥曲线中双曲线的相关性质，考查双曲线的离心率的取值范围，考查双曲线的长轴、短轴以及焦距之间的关系，考查推理能力，是中档题。8、D【解析】

根据数列是等比数列得到公比，再由数列的通项公式得到结果.【详解】因为数列是等比数列，故得到进而得到，则故答案为：D.【点睛】这个题目考查了等比数列的通项的求法，是简单题.9、C【解析】

由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数即可得答案．【详解】作出可行域如图，联立，解得，化目标函数为，由图可知，当直线过时，有最大值为9，故选．【点睛】本题主要考查简单的线性规划问题的解法。10、D【解析】分析：先化简集合P,Q，再求.详解：由题得，，所以.故答案为：D.点睛：本题主要考查集合的化简与交集运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平，属于基础题.11、B【解析】

解得方程表示焦点在轴上的双曲线的m的范围即可解答.【详解】表示焦点在轴上的双曲线⇔,解得1<m<5,故选B.【点睛】本题考查双曲线的方程，是基础题，易错点是不注意12、C【解析】

过作PO⊥平面ABC，垂足为，过作OD⊥AB，交AB于D，过作OE⊥BC，交BC于E，过作OF⊥AC，交AC于F，推导出OA＜OB＜OC，AB＝BC＝AC，OD＜OF＜OE，且OE＜OB，OF＜OA，由此得到结论．【详解】解：如图，过作PO⊥平面ABC，垂足为，过作OD⊥AB，交AB于D，过作OE⊥BC，交BC于E，过作OF⊥AC，交AC于F，连结OA，OB，OC，PD，PE，PF，∵△ABC为正三角形，PA＜PB＜PC，二面角P−BC−A，二面角P−AC−B的大小分别为，，PA，PB与底面所成角为，，∴＝∠PAO，＝∠PBO，γ＝∠PEO，＝∠PFO，OA＜OB＜OC，AB＝BC＝AC，在直角三角形OAF中，，在直角三角形OBE中，，OA＜OB，∠OAF＜∠OBE，则OF＜OE，同理可得OD＜OF，∴OD＜OF＜OE，且OE＜OB，OF＜OA，∴＜，＜，＞，＜，可得是最小角，是最大角，故选：C．【点睛】本题考查线面角、二面角的大小的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、.【解析】

求出向量的坐标后，即可求出模.【详解】解：由题意知，，则.故答案为:.【点睛】本题考查了空间向量坐标运算，考查了向量的模的求解.14、15.【解析】

先由，，结合，求出，然后再求出．【详解】，，，，．．故答案为：15.【点睛】本题以数列的表示法递推法为背景，考查利用递推关系求数列中的项，考查基本运算求解能力．15、【解析】

则,因为平面，所以所在位置均使该三棱锥的高为；而不论在上的那一个位置，均为，所以【考点定位】本题考查空间几何体的体积运算方法，依据空间线面关系推证，进行等积转换是常考点.这里转换底面极为重要，由于两个动点的出现，加大了定值识别的难度.16、必要不充分.【解析】

根据平面内与斜线在平面内的射影垂直的直线必定与垂直，可知充分性不成立；根据线面垂直的定义，可得必要性成立．由此得到正确答案【详解】解：（1）充分性：当直线与平面斜交，且在平面内的射影为，若内的直线与垂直时与垂直，并且满足条件的直线有无数条．这样平面内有无数条直线垂直，但与不垂直，因此充分性不成立；（2）必要性：当“”成立时，内的任意一条直线都与垂直，因此“直线与平面内无数条直线垂直”成立，所以必要性成立.故答案为:必要不充分.【点睛】本题考查了判断两命题间的充分、必要条件，考查了直线与平面的位置关系.对于两个命题，，判断他们的关系时，常常分为两步，以为条件，判断是否成立；以为条件，判断是否成立.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析；（2）.【解析】

（1）推导出PA⊥AD，PA⊥AB，由此能证明PA⊥平面ABCD．（2）以A为原点，AB，AD，AP为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面PBC与平面PAD所成锐二面角的余弦值．【详解】(1)因为,所以,即.同理可得.因为.所以平面.(2)由题意可知,两两垂直,故以A为原点,分别为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,则，所以.设平面的法向量为，则，不妨取则易得平面,所以平面的一个法向量为，记平面与平面所成锐二面角为,则故平面与平面所成锐二面角的余弦值为.【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18、见解析【考点定位】本题主要考察同角函数关系、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式，考查运算能力、特殊与一般思想、化归与转化思想【解析】试题分析：（1）由倍角公式及特殊角的三角函数值即可求解；（2）根据式子的结构规律，得，由三角函数中的恒等变换的公式展开即可证明．试题解析：（1）选择（2），计算如下：sin215°+cos215°-sin15°cos15°=1-sin30°=，故这个常数为．（2）根据（1）的计算结果，将该同学的发现推广，得到三角恒等式sin2α+cos2（30°-α）-sinαcos（30°-α）=证明：sin2α+cos2（30°-α）-sinαcos（30°-α）=sin2α+-sinα（cos30°cosα+sin30°sinα）=sin2α+cos2α+sin2α+sinαcosα-sinαcosα-sin2α=sin2α+cos2α=考点：三角恒等变换；归纳推理．19、（1）；（2）最大值为，最小值为.【解析】

（1）求出导数，由可求出实数的值；（2）利用函数的导数，判断函数的单调性，求出函数的极值以及端点的函数值，比较大小后可得出该函数的最值．【详解】（1），，由于曲线在处的切线与轴平行，则，解得；（2）由（1）可得，该函数的定义域为，，令，可得.当时，，，此时；当时，，，此时.所以，函数在上单调递增，在上单调递减.，，当时，.，，令，则，所以，函数在时单调递增，即，则，因此，函数在区间上的最大值为，最小值为.【点睛】本题考查函数的导数的应用，利用切线斜率求参数以及函数的最值的求法，考查转化思想的应用，是难题．20、（Ⅰ）64；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）根据展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是求出的值，然后可求各项二项式系数的和；（Ⅱ）根据的值确定中间项，利用通项公式可求.【详解】解：由题意知，展开式的通项为：，且，则第五项的系数为，第三项的系数为，则有，化简，得，解得，展开式中各项二项式系数的和；由（1）知，展开式共有7项，中间项为第4项，令，得．【点睛】本题主要考查二项展开式的系数及特定项求解，通项公式是求解这类问题的钥匙，侧重考查数学运算的核心素养.21、（1）证明见解析；（2）.【解析】分析：（1