2023届上海市静安区上戏附中高二数学第二学期期末学业水平测试试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若曲线y＝x3﹣2x2+2在点A处的切线方程为y＝4x﹣6，且点A在直线mx+ny﹣2＝0（其中m＞0，n＞0）上，则（）A．m+7n﹣1＝0 B．m+n﹣1＝0C．m+13n﹣3＝0 D．m+n﹣1＝0或m+13n﹣3＝02．函数有极值的充要条件是（）A． B． C． D．3．在高台跳水运动中，时相对于水面的高度（单位：）是，则该高台跳水运动员在时瞬时速度的大小为（）A． B． C． D．4．下列各对函数中，图象完全相同的是（）A．与 B．与C．与 D．与5．若集合，函数的定义域为集合B，则A∩B等于（）A.（0，1）B.[0，1）C.（1，2）D.[1，2）6．从5名女教师和3名男教师中选出一位主考、两位监考参加2019年高考某考场的监考工作．要求主考固定在考场前方监考，一女教师在考场内流动监考，另一位教师固定在考场后方监考，则不同的安排方案种数为（）A．105 B．210 C．240 D．6307．已知集合，集合满足，则集合的个数为A． B． C． D．8．2021年起，新高考科目设置采用“”模式，普通高中学生从高一升高二时将面临着选择物理还是历史的问题，某校抽取了部分男、女学生调查选科意向，制作出如右图等高条形图，现给出下列结论：①样本中的女生更倾向于选历史；②样本中的男生更倾向于选物理；③样本中的男生和女生数量一样多；④样本中意向物理的学生数量多于意向历史的学生数量.根据两幅条形图的信息，可以判断上述结论正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个9．若函数在区间内单调递增，则实数的取值范围是(

)A． B． C． D．10．曲线在点处的切线的斜率为（）A． B． C． D．11．在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，若，则的面积为()A． B． C． D．12．已知等比数列满足，，则（）A．7 B．14 C．21 D．26二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．学校艺术节对同一类的四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品获奖情况预测如下：甲说：“作品获得一等奖”；乙说：“作品获得一等奖”；丙说：“两项作品未获得一等奖”；丁说：“或作品获得一等奖”.评奖揭晓后发现这四位同学中只有两位预测正确，则获得一等奖的作品是_______.14．已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上,且球的表面积为,,平面,,则三棱锥的体积为__________．15．下列命题中①已知点，动点满足，则点的轨迹是一个圆；②已知，则动点的轨迹是双曲线右边一支；③两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于；④在平面直角坐标系内，到点和直线的距离相等的点的轨迹是抛物线；⑤设定点，动点满足条件，则点的轨迹是椭圆.正确的命题是__________．16．有一个倒圆锥形的容器，其底面半径是5厘米，高是10厘米，容器内放着49个半径为1厘米的玻璃球，在向容器倒满水后，再把玻璃球全部拿出来，则此时容器内水面的高度为________厘米三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）某小组有10名同学,他们的情况构成如下表,表中有部分数据不清楚,只知道从这10名同学中随机抽取一位,抽到该名同学为中文专业”的概率为.专业性别中文英语数学体育男11女1111现从这10名同学中随机选取3名同学参加社会公益活动(每位同学被选到的可能性相同)(1)求的值;(2)设为选出的3名同学中“女生”的人数,求随机变量的分布列及其数学期望.18．（12分）传说《西游记》中孙悟空的“如意金箍棒”原本是东海海底的一枚“定海神针”.作为兵器，“如意金箍棒”威力巨大，且只有孙悟空能让其大小随意变化。假定孙悟空在使用“如意金箍棒”与各路妖怪打斗时，都将其变化为底面半径为4至10之间的圆柱体。现假定孙悟空刚与一妖怪打斗完毕，并降伏了此妖怪，此时“如意金箍棒”的底面半径为10，长度为.在此基础上，孙悟空使“如意金箍棒”的底面半径以每秒1匀速缩短，同时长度以每秒40匀速增长，且在这一变化过程中，当“如意金箍棒”的底面半径为8时，其体积最大.（1）求在这一变化过程中，“如意金箍棒”的体积随时间（秒）变化的解析式，并求出其定义域；（2）假设在这一变化过程中，孙悟空在“如意金箍棒”体积最小时，将其定型，准备迎战下一个妖怪。求此时“如意金箍棒”的底面半径。19．（12分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，的极坐标方程为．（Ⅰ）写出的直角坐标方程；（Ⅱ）为直线上一动点，当到圆心的距离最小时，求的直角坐标．20．（12分）已知函数，.（1）当时，求函数的单调区间；（2）当时，若存在，使不等式成立，求的最小值.21．（12分）已知抛物线:的焦点为，准线为，与轴的交点为，点在抛物线上，过点作于点，如图1.已知，且四边形的面积为.（1）求抛物线的方程；（2）若正方形的三个顶点，，都在抛物线上（如图2），求正方形面积的最小值.22．（10分）已知函数，对任意的，满足，其中，为常数.（1）若的图象在处的切线经过点，求的值；（2）已知，求证：；（3）当存在三个不同的零点时，求的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

设的导数，可得切线的斜率为，然后根据切线方程尽量关于的方程组，再结合条件，即可求得的关系，得到答案．【详解】设的导数，可得切线的斜率为，又由切线方程为，所以，解得，因为点在直线上，所以，故选B．【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用，其中解答中熟记导数的几何意义，利用切线方程列出相应的方程组求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．2、C【解析】因为，所以，即，应选答案C．3、C【解析】

根据瞬时速度就是的导数值即可求解.【详解】由，则，当时，.故选：C【点睛】本题考查了导数的几何意义，同时考查了基本初等函数的导数以及导数的运算法则，属于基础题.4、C【解析】

先判断两个函数的定义域是否是同一个集合，再判断两个函数的解析式是否可以化为一致．【详解】解：对于A、∵的定义域为，的定义域为．两个函数的对应法则不相同，∴不是同一个函数．对于B、∵的定义域，的定义域均为．∴两个函数不是同一个函数．对于C、∵的定义域为且，的定义域为且．对应法则相同，∴两个函数是同一个函数．对于D、的定义域是，的定义域是，定义域不相同，∴不是同一个函数．故选C．【点睛】本题考查两个函数解析式是否表示同一个函数，需要两个条件：①两个函数的定义域是同一个集合；②两个函数的解析式可以化为一致．这两个条件缺一不可，必须同时满足．5、D【解析】试题分析：，，所以。考点：1.函数的定义域；2.集合的运算。6、B【解析】试题分析：由题意得，先选一名女教师作为流动监控员，共有种，再从剩余的人中，选两名监考员，一人在前方监考，一人在考场后监考，共有种，所以不同的安排方案共有种方法，故选B．考点：排列、组合的应用．7、D【解析】分析：根据题意得到为的子集，确定出满足条件的集合的个数即可详解：集合，集合满足，则满足条件的集合的个数是故选点睛：本题是基础题，考查了集合的子集，当集合中有个元素时，有个子集。8、B【解析】

分析条形图，第一幅图从性别方面看选物理历史的人数的多少，第二幅图从选物理历史的人数上观察男女人数的多少，【详解】由图2知样本中的男生数量多于女生数量，由图1有物理意愿的学生数量多于有历史意愿的学生数量，样本中的男生更倾向物理，女生也更倾向物理，所以②④正确，故选：B.【点睛】本题考查条形图的认识，只要分清楚条形图中不同的颜色代表的意义即可判别．9、B【解析】

求出函数的导数，问题转化为a＞-，而g（x）=﹣在（，2）递增，求出g（x）的最小值，从而求出a的范围即可．【详解】f′（x）=+2ax，若f（x）在区间（，2）内存在单调递增区间，则f′（x）＞0在x∈（，2）有解，故a＞-，而g（x）=﹣在（，2）递增，g（x）＞g（）=﹣2，故a＞﹣2，故选：B．【点睛】本题考查函数的导数的应用，函数有解以及函数的最值的求法，可以用变量分离的方法求参数的范围，也考查转化思想以及计算能力．10、B【解析】

求导后代入即可得出答案。【详解】故选B【点睛】本题考查利用导函数求切线斜率。属于基础题。11、C【解析】

设直线的方程为，与抛物线联立，设，由，所以，结合韦达定理可得，，由可得解.【详解】因为抛物线的焦点为所以，设直线的方程为，将代入，可得，设，则，，因为，所以，所以，，所以，即，所以，所以的面积，故选C．【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，考查了设而不求的思想，由转化为是解题的关键，属于基础题.12、B【解析】

根据等比数列的通项公式可求出公比，即可求解.【详解】因为，可解的，所以，故选B.【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、C【解析】若获得一等奖,则甲、丙、丁的话是对的,与已知矛盾;若获得一等奖,则四人的话是错误的,与已知矛盾;若获得一等奖,则乙、丙的话是对的,满足题意;所以获得一等奖的作品是.14、1【解析】

由题意两两垂直，可把三棱锥补成一个长方体，则长方体的外接球就是三棱锥的外接球．由此计算即可．【详解】∵平面，∴，又，∴三棱锥可以为棱补成一个长方体，此长方体的外接球就是三棱锥的外接球．由，得，∴，即，，．故答案为1．【点睛】本题考查棱锥及其外接球，考查棱锥的体积，解题是把三棱锥补成长方体，则长方体的外接球就是三棱锥的外接球，而长方体的对角线就是球的直径，这样计算方便．15、①②③【解析】①中，根据，化简得：，所以点P的轨迹是个圆；②因为,所以根据双曲线的的定义，P点的轨迹是双曲线右支，正确；③根据相关性定义，正确；④因为点在直线上，不符合抛物线定义，错误；⑤因为，且当时取等号，不符合椭圆的定义，错误.综上正确的是①②③.16、6【解析】

设水面的高度为，根据圆锥体的体积等于全部玻璃的体积加上水的体积列方程求解即可.【详解】解：设在向容器倒满水后，再把玻璃球全部拿出来，则此时容器内水面的高度为，则，解得.故答案为：6.【点睛】本题考查圆锥体积和球的体积的运算，关键要找到体积之间的关系，是基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），（2）见解析【解析】

（1）中文专业有人，因此抽1人抽到中文专业的概率是，从而可得，由此也可得．（2）共有4名女生，因此的可能值分别为0,1,2,3，分别求出其概率，得分布列，再由期望公式可得期望．【详解】(1)设事件:从10位学生中随机抽取一位,抽到该名同学为“中文专业”由题意可知“中文专业”的学生共有人.解得,所以(2)由题意,的可能取值为0,1，2,3山题意可知,“女生"共有4人所以，所以的分别列为0123所以【点睛】本题考查随机变量概率分布列，考查古典概型．考查运算求解能力．18、(1)，定义域为；(2)4【解析】

（1）根据时间，写出“如意金箍棒”的底面半径和长度，由此计算出体积的解析式，并根据半径的范围求得的取值范围，也即定义域.利用导数求得的单调区间和极大值，根据此时“如意金箍棒”的底面半径列方程，解方程求得的值，进而求得解析式.（2）由（1）中求得的单调区间，求得的最小值，并求得此时“如意金箍棒”的底面半径.【详解】解：（1）“如意金箍棒”在变化到秒时，其底面半径为，长度为则有，得：时，（秒），由知，当时，取得极大值所以，解得（）所以，定义域为（2）由（1）得：所以当时，，当时，所以在区间上为增函数，在区间上为减函数则的最小值或；又所以当（秒）时，“如意金箍棒”体积最小，此时，“如意金箍棒”的底面半径为（）【点睛】本小题主要考查圆柱的体积公式，考查利用导数研究函数的单调性、极值和最值，考查中国古代文化，考查运算求解能力，考查函数应用问题，属于中档题.19、（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】试题分析：（Ⅰ）先将两边同乘以可得，再利用，可得的直角坐标方程；（Ⅱ）先设的坐标，则，再利用二次函数的性质可得的最小值，进而可得的直角坐标．试题解析：（Ⅰ）由，得，从而有，所以．（Ⅱ）设，又，则，故当时，取最小值，此时点的直角坐标为．考点：1、极坐标方程化为直角坐标方程；2、参数的几何意义；3、二次函数的性质．20、（1）见解析；（2）2【解析】分析：（1）求出，分两种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（2）问题等价于，令，问题转化为求出，利用导数研究函数的单调性，利用函数的单调性求出的最小值，从而求出的最小值即可.详解：（1）解：∵∴∴当即时，对恒成立此时，的单调递增区间为，无单调递减区间当，即时，由，得，由，得此时，的单调递减区间为，单调递增区间为综上所述，当时，的单调递增区间为,无单调递减区间；当时，的单调递减区间为，单调递增区间为（2）解：由，得：当时，上式等价于令据题意，存在，使成立，则只需，令，显然在上单调递增而，∴存在，使，即又当时，，单调递减，当时，，单调递增∴当时，有极小值（也是最小值）∴∵，即，∴，∴又，且，∴的最小值为2.点睛：本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.21、（1）；（2）.【解析】

（1）通过借助抛物线的几何性质，设，通过勾股定理可求得，借助线段关系可求得，再借助梯形面积公式最终可求得值，进而求得抛物线的方程；（2）先通过设而不求得方法分别表示出，，和直线的斜率为和的斜率，通过正方形的边长关系代换出与直线的斜率的关系，将面积用含的式子整体代换表示，最终通过均值不等式处理可求得正方形面积的最小值.【详解】（1）设，由已知，则，，四边形的面积为，∴，抛物线的方程为：.（2）设，，，直线的斜率为.不妨，则显然有，且.∵，∴.由得即，即.将，代入得，∴，∴.故正方形面积为.∵，∴（当且仅当时取等）.又∵，∴，∴（当且仅当时取等）.从而，当且仅当时取得最小值.【点睛】结合几何关系求解曲线方程是常见题型，解题思路是通过曲线的几何性质和几何关系联立求解；直线与曲线问题是圆锥曲线中考查概率最大