人教版高一数学必修一知识点

2018人教版高一数学必修一知识点第一章会合与函数观点一、会合有关观点会合的含义会合的中元素的三个特性：(1)元素确实定性如：世界上的山元素的互异性如：由HAPPY勺字母组成的会合｛H,A,P,Y｝元素的无序性：如：｛a,b,c｝和｛a,c,b｝是表示同一个会合会合的表示：｛｝如：｛我校的篮球队员｝,｛太平洋，大西洋,印度洋,北冰洋｝(1)用拉丁字母表示会合：A=｛我校的篮球队员｝,B二｛1,2,3,4,5｝(2)会合的表示方法：列举法与描绘法。注意：常用数集及其记法：XKb1.Com非负整数集(即自然数集)记作：N正整数集：N*或N+整数集：Z有理数集：Q实数集：R列举法：{a,b,c}描绘法：将会合中的元素的公共属性描绘出来，写在大括号内表示会合{xR|x-3>2},{x|x-3>2}语言描绘法：例：{不是直角三角形的三角形}4)Venn图:4、会合的分类：有限集含有有限个元素的会合无限集含有无限个元素的会合(3)空集不含任何元素的会合例：{x|x2=—5}二、会合间的基本关系“包含”关系—子集会合。反之：会合A不包含于会合B,或会合B不包含会合A,记作AB或BA2.“相等”关系：A=B（5>5,且5<5,则5=5）实例：设A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同则两会合相等”即：①任何一个会合是它本身的子集。AA②真子集：如果AB，且AB那就说会合A是会合B的真子集，记作AB（或BA）③如果AB,BC,那么AC④如果AB同时BA那么A=B3.不含任何元素的会合叫做空集，记为①规定：空集是任何会合的子集，空集是任何非空会合的真子集。4.子集个数：有n个元素的会合，含有2n个子集，2n-1个真子集，含有2n-1个非空子集，含有2n-1个非空真子集三、会合的运算运算种类交集并集补集定义由所有属于A且属于B的元素所组成的会合，叫做A,B的交集.记作AB（读作‘A交B'）,即卩AB={x|xA，且xB}.由所有属于会合A或属于会合B的元素所组成的会合，叫做A,B的并集.记作：AB（读作‘A并B'）,即卩AB={x|xA，或xB}）.设S是一个会合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的会合，叫做S中子集A的补集(或余集)记作，即CSA=性质AA=AA①二①AB=BAABAABBAA=AA①=AAB=BAABAABB(CuA)(CuB)=Cu(AB)(CuA)(CuB)=Cu(AB)A(CuA)=UA(CuA)=①.二、函数的有关观点1.函数的观点设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f,使对于会合A中的随意一个数x，在会合B中都有确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A-B为从会合A到会合B的一个函数.记作：y=f(x),x?A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的会合｛f(x)|x?A｝叫做函数的值域.1.定义域：能使函数式存心义的实数x的会合称为函数的定义域。求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：分式的分母不等于零；偶次方根的被开方数不小于零；对数式的真数必须大于零；指数、对数式的底必须大于零且不等于1.如果函数是由一些基本函数经过四则运算联合而成的.那么，它的定义域是使各部分都存心义的x的值组成的会合.指数为零底不能够等于零，(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题存心义.相同函数的判断方法：①表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关)；②定义域一致(两点必须同时具备)2．值域:先考虑其定义域察见解(2)配方法(3)代换法函数图象知识概括定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x),(x?A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x,y)的会合C,叫做函数y=f(x),(x?A)的图象．C上每一点的坐标(x，y)均知足函数关系y=f(x)，反过来，以知足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上.画法描点法：2.图象变换法：常用变换方法有三种：1）平移变换2）伸缩变换3）对称变换4．区间的观点1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间（2）无穷区间（3）区间的数轴表示．5．映射一般地，设A、B是两个非空的会合，如果按某一个确定的对应法例f,使对于会合A中的随意一个元素x，在会合B中都有确定的元素y与之对应，那么就称对应f:AB为从会合A到会合B的一个映射。记作“f（对应关系）：A（原象）B（象）”对于映射f：A-B来说，则应知足：1）会合A中的每一个元素，在会合B中都有象，并且象是的；2）会合A中不同的元素，在会合B中对应的象能够是同一个；3）不要求会合B中的每一个元素在会合A中都有原象。分段函数1）在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。2）各部分的自变量的取值情况．(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集．补充：复合函数如果y=f(u)(u?M),u=g(x)(x?A),则y=f[g(x)]=F(x)(x?A)称为f、g的复合函数。二．函数的性质1.函数的单一性(局部性质)(1)增函数设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的随意两个自变量x1,x2,当x1如果对于区间D上的随意两个自变量的值xl,x2，当x1注意：函数的单一性是函数的局部性质；(2)图象的特点如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上拥有(严格的)单一性，在单一区间上增函数的图象从左到右是上涨的，减函数的图象从左到右是下降的.(3).

函数单一区间与单一性的判断方法(A)定义法：(1)任取xl,x2?D,且x1(2)作差f(x1)—f(x2);或者做商(3)变形(往常是因式分解和配方);(4)定号(即判断差f(x1)—f(x2)的正负);(5)下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单一性).图象法(从图象上看升降)复合函数的单一性复合函数f[g(x)]的单一性与组成它的函数u=g(x),y=f(u)的单一性亲密有关,其规律：“同增异减”注意：函数的单一区间只能是其定义域的子区间,不能把单一性相同的区间和在一同写成其并集.函数的奇偶性(整体性质)偶函数：一般地,对于函数f(x)的定义域内的随意一个x,都有f(—x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数.奇函数：一般地,对于函数f(x)的定义域内的随意一个x,都有f(—x)=—f(x),那么f(x)就叫做奇函数.(3)拥有奇偶性的函数的图象的特点：偶函数的图象对于y轴对称;奇函数的图象对于原点对称.利用定义判断函数奇偶性的步骤：O1首先确定函数的定义域，并判断其是否对于原点对称；02确定f(—x)与f(x)的关系；03作出相应结论：若f(—x)=f(x)或f(—x)—f(x)=0，则f(x)是偶函数；若f(—x)=—f(x)或f(—x)＋f(x)=0，则f(x)是奇函数．注意：函数定义域对于原点对称是函数拥有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否对于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判断;(2)由f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1来判断;(3)利用定理，或借助函数的图象判断.10、函数的解析表达式(1)函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法例，二是要求出函数的定义域.(2)求函数的解析式的主要方法有：1.凑配法2.待定系数法3.换元法4.消参法11．函数(小)值01利用二次函数的性质(配方法)求函数的(小)值02利用图象求函数的(小)值03利用函数单一性的判断函数的(小)值：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单一递增，在区间[b,c]上单一递减则函数y=f(x)在x=b处有值f(b)；如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单一递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；第三章基本初等函数一、指数函数(一)指数与指数幂的运算1．根式的观点：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中>1，且?*.负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作。当是奇数时，，当是偶数时，2．分数指数幂正数的分数指数幂的意义，规定：0的正分数指数幂等于，0的负分数指数幂没存心义03．实数指数幂的运算性质1)•；2）；3）．（二）指数函数及其性质1、指数函数的观点：一般地，函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R．注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．2、指数函数的图象和性质a>10定义域R定义域R值域y>0值域y>0在R上单一递增在R上单一递减非奇非偶函数非奇非偶函数函数图象都过定点（0，1）函数图象都过定点（0，1）注意：利用函数的单一性，联合图象还能够看出：1）在［a,b］上，值域是或；2）若，则；取遍所有正数当且仅当；3）对于指数函数，总有；、对数函数（一）对数1．对数的观点：—底数，—一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作：真数，—对数式）说明：O1注意底数的限制，且；O2;03注意对数的书写格式.两个重要对数：O1常用对数：以10为底的对数；02自然对数：以无理数为底的对数的对数.指数式与对数式的互化幂值真数=N=b底数指数对数（二）对数的运算性质如果，且，，，那么：01•+;O2-;03．注意：换底公式：（，且;，且;）．利用换底公式推导下面的结论：（1）;（2）．（3）、重要的公式①、负数与零没有对数；②、，③、对数恒等式（二）对数函数1、对数函数的观点：函数，且叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是（0,+乂）.注意：01对数函数的定义与指数函数近似，都是形式定义，注意鉴别。如：，都不是对数函数，而只能称其为对数型函数.02对数函数对底数的限制：，且.2、对数函数的性质：a>10定义域x>0定义域x>0值域为R值域为R在R上递增在R上递减函数图象都过定点（1，0）函数图象都过定点（1，0）三)幂函数1、幂函数定义：一般地，形如的函数称为幂函数，其中为常数．2、幂函数性质概括．所有的幕函数在(0,+乂)都有定义并且图象都过点(1,1)；时,幂函数的图象经过原点,并且在区间上是增函数．特别地,当时,幂函数的图象下凸；当时,幂函数的图象上凸；(3)时,幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内,当从右边趋向原点时,图象在轴右方无限地逼近轴正半轴,当趋于时,图象在轴上方无限地逼近轴正半轴．第四章函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的观点：对于函数,把使建立的实数叫做函数的零点。2、函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根,亦即函数的图象与轴交点的横坐标。即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．3、函数零点的求法：01(代数法)求方程的实数根;O2(几何法)对于不能用求根公式的方程，能够将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．4、二次函数的零点：二次函数．0,交点，二("△>方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个次函数有两个零点．^=0，方程有两相等实根，二次函数的图象与轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点．(3)^<0,方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点．函数的模型【二】函数的奇偶性(1)若f(x)是偶函数,那么f(x)=f(-x);(2)若f(x)是奇函数,0在其定义域内,则f(0)=0(可用于求参数）;判断函数奇偶性可用定义的等价形式：f(x)±f(-x)=0或(f(x)半0);若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性;(5)奇函数在对称的单一区间内有相同的单一性;偶函数在对称的单一区间内有相反的单一性;复合函数的有关问题复合函数定义域求法：若已知的定义域为[a，b],其复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a<g(x)<b解出即可；若已知f[g(x)]的定义域为[a,b],求f(x)的定义域，相当于x?[a,b]时，求g(x)的值域(即f(x)的定义域);研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则。(2)复合函数的单一性由“同增异减”判断;函数图像(或方程曲线的对称性)证明函数图像的对称性，即证明图像上随意点对于对称中心(对称轴)的对称点仍在图像上;证明图像C1与C2的对称性，即证明C1上随意点对于对称中心(对称轴)的对称点仍在C2上，反之亦然；曲线C1:f(x,y)=O,对于y=x+a(y二-x+a)的对称曲线C2的方程为f(y-a,x+a)=0(或f(-y+a,-x+a)=0);(4)曲线C1:f(x,y)=0对于点(a,b)的对称曲线C2方程为：f(2a-x,2b-y)=0;(5)若函数y=f(x)对x?R时，f(a+x)=f(a-x)恒建立，则y=f(x)图像对于直线x=a对称;(6)函数y=f(x-a)与y=f(b-x)的图像对于直线x二对称；函数的周期性(1)y=f(x)对x?R时，f(x+a)=f(x-a)或f(x-2a)=f(x)(a>0)恒建立，则y=f(x)是周期为2a的周期函数；(2)若y=f(x)是偶函数，其图像又对于直线x=a对称，则f(x)是周期为2|a丨的周期函数；(3)若y=f(x)奇函数，其图像又对于直线x=a对称，则f(x)是周期为4|a|的周期函数;(4)若y=f(x)对于点(a,0),(b,0)对称，则f(x)是周期为2的周期函数；(5)y=f(x)的图象对于直线x=a,x=b(a工b)对称，则函数y=f(x)是周期为2的周期函数；(6)y=f(x)对x?R时，f(x+a)二-f(x)(或