矩阵及其运算演示文稿

矩阵及其运算演示文稿目前一页\总数三十八页\编于十六点第五讲

矩阵及其运算一、矩阵二、矩阵的运算目前二页\总数三十八页\编于十六点√√√√√其中√表示有航班始发地ABCD目的地ABCD例1

某航空公司在A、B、C、D四座城市之间开辟了若干航线，四座城市之间的航班图如图所示，箭头从始发地指向目的地.BACD城市间的航班图情况常用表格来表示:√√一、矩阵1.引例目前三页\总数三十八页\编于十六点为了便于计算，把表中的√改成1，空白地方填上0，就得到一个数表：ABCDABCD√√√√√√√这个数表反映了四个城市之间交通联接的情况.目前四页\总数三十八页\编于十六点其中aij

表示工厂向第

i家商店发送第j种货物的数量．例2

某工厂生产四种货物，它向三家商店发送的货物数量可用数表表示为：这四种货物的单价及单件重量也可列成数表：其中bi1

表示第

i种货物的单价，bi2

表示第

i种货物的单件重量．目前五页\总数三十八页\编于十六点称为

m行

n列矩阵，简称

m×n矩阵．记作2.矩阵的定义

定义1由

m×n

个数排成的

m行

n列的数表目前六页\总数三十八页\编于十六点元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵.这m×n个数称为矩阵A的元素，简称为元.简记为目前七页\总数三十八页\编于十六点行数不等于列数共有m×n个元素本质上就是一个数表行数等于列数共有n2个元素矩阵行列式目前八页\总数三十八页\编于十六点（1）行数与列数都等于

n的矩阵，称为n阶方阵．可记作.（2）只有一行的矩阵称为行矩阵(或行向量).

只有一列的矩阵称为列矩阵(或列向量).（3）元素全是零的矩阵称为零距阵．可记作O

.例如：3.特殊的矩阵目前九页\总数三十八页\编于十六点（4）形如的方阵称为对角矩阵．当时，称为数量矩阵.

特别地，方阵称为单位矩阵．记作记作．目前十页\总数三十八页\编于十六点4.同型矩阵与矩阵相等（1）

两个矩阵的行数相等、列数相等时，称为同型矩阵.例如为同型矩阵.（2）两个矩阵与为同型矩阵，并且对应

元素相等，即

则称矩阵A

与

B相等，记作A=B

.目前十一页\总数三十八页\编于十六点注：不同型的零矩阵是不相等的.

矩阵之间不能比较大小.例如目前十二页\总数三十八页\编于十六点例3某工厂生产四种货物，它在上半年和下半年向三家商店发送货物的数量可用数表表示：试求：工厂在一年内向各商店发送货物的数量．其中aij

表示上半年工厂向第

i家商店发送第j种货物的数量．其中cij

表示工厂下半年向第

i家商店发送第j种货物的数量．二、矩阵的运算目前十三页\总数三十八页\编于十六点解：工厂在一年内向各商店发送货物的数量目前十四页\总数三十八页\编于十六点1.矩阵的加法定义2设有两个

m×n

矩阵

A=(aij)，B=(bij)，那么矩阵

A与

B的和记作

A＋B，规定为说明：只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.目前十五页\总数三十八页\编于十六点知识点比较目前十六页\总数三十八页\编于十六点交换律结合律其他矩阵加法的运算规律设

A、B、C是同型矩阵设矩阵

A=(aij)，记－A

=(－aij)，称为矩阵

A的负矩阵．显然目前十七页\总数三十八页\编于十六点设工厂向某家商店发送四种货物各

l件，试求：工厂向该商店发送第

j种货物的总值及总重量．例4（续例2）该厂所生产的货物的单价及单件重量可列成数表：其中bi1

表示第

i种货物的单价，bi2

表示第

i种货物的单件重量．目前十八页\总数三十八页\编于十六点解：工厂向该商店发送第

j种货物的总值及总重量其中bi1

表示第

i种货物的单价，bi2

表示第

i种货物的单件重量．目前十九页\总数三十八页\编于十六点2.数与矩阵相乘定义3数

l与矩阵

A

的乘积记作

lA或

Al

，规定为目前二十页\总数三十八页\编于十六点知识点比较目前二十一页\总数三十八页\编于十六点结合律分配律备注数乘矩阵的运算规律设

A、B是同型矩阵，l

,

m

是数矩阵相加与数乘矩阵合起来，统称为矩阵的线性运算.目前二十二页\总数三十八页\编于十六点其中aij

表示工厂向第

i家商店发送第j种货物的数量．例5（续例2）

某工厂生产四种货物，它向三家商店发送的货物数量可用数表表示为：这四种货物的单价及单件重量也可列成数表：其中bi1

表示第

i种货物的单价，bi2

表示第

i种货物的单件重量．试求：工厂向三家商店所发货物的总值及总重量．目前二十三页\总数三十八页\编于十六点解：以

ci1，ci2

分别表示工厂向第

i家商店所发货物的总值及总重量，其中i=1,2,3．于是其中aij

表示工厂向第

i家商店发送第j种货物的数量．其中bi1

表示第

i种货物的单价，bi2

表示第

i种货物的单件重量．目前二十四页\总数三十八页\编于十六点可用矩阵表示为一般地，目前二十五页\总数三十八页\编于十六点3.矩阵的乘法定义4设，，那么规定矩阵

A与矩阵

B的乘积是一个

m×n矩阵，其中并把此乘积记作C=AB．目前二十六页\总数三十八页\编于十六点例6设则目前二十七页\总数三十八页\编于十六点知识点比较有意义.没有意义.只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘.目前二十八页\总数三十八页\编于十六点例7

结论：（1）矩阵乘法不一定满足交换律.（2）矩阵，却有， 从而不能由得出或的结论．目前二十九页\总数三十八页\编于十六点矩阵乘法的运算规律(1)结合律(3)分配律(2)结合律（其中

l

是数）(4)单位矩阵在矩阵乘法中的作用类似于数1，即推论1矩阵乘法不一定满足交换律，但是数量阵

lE

与任何同阶方阵都是可交换的.数量阵不同于对角阵目前三十页\总数三十八页\编于十六点(5)矩阵的幂若A是n阶方阵，定义显然思考：下列等式在什么时候成立？A、B可交换时成立目前三十一页\总数三十八页\编于十六点4.矩阵的转置定义5把矩阵

A的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做A的转置矩阵，记作AT

.例目前三十二页\总数三十八页\编于十六点转置矩阵的运算性质目前三十三页\总数三十八页\编于十六点例8已知解法1目前三十四页\总数三十八页\编于十六点解法2目前三十五页\总数三十八页\编于十六点定义6设A

为n

阶方阵，如果满足，即那么A称为对称矩阵.如果满足A=－AT，那么A称为反对称矩阵.对称矩阵反对称矩阵目前三十六页\总数三十八页\编于十六点5.方阵的行列式定义7由

n阶方阵的元素所构成的行列式，叫做方阵

A的行列式，记作|A|或detA.运算性质定义8设A是

n阶方阵，当|A|=0时，称A为奇异矩阵（或退