有限元基础三

2.3广义坐标有限单元法的一般格式常用二维单元3结点单元6结点单元4结点单元8结点单元常用三维单元2.3.1选择单元位移函数的一般原则原则1：广义坐标的个数应与单元结点自由度数相等否则待定广义坐标无法以单元结点位移来表示。例如：3结点三角形单元有6个自由度，因此其广义坐标个数只能是6，每个方向3个。

u=1+2x+3y

v=4+5x+6y原则2：多项式中常数项和坐标的一次项必须完备例：u=1+2x+3y

v=4+5x+6y目的：确保所选位移模式能反映单元的刚体位移和常应变特性原则3：多项式选取应由低阶到高阶，尽量选取完全多项式对于平面问题：一次完全多项式：x,y二次完全多项式：x2,xy,y2三次完全多项式：x3,x2y,xy2,y3若由于项数限制不能选取完全多项式时，选择的多项式应具有坐标对称性。且一个方向的次数不应超过完全多项式的次数。如二次：xy三次：x2y,xy22.3.2广义坐标有限元的一般格式1.以广义坐标为待定参数，给出单元内位移uu=(2.3.1)对于二维问题3结点三角形单元

u=1+2x+3y

v=4+5x+6y2.用单元结点位移表示广义坐标惯用的单元结点位移排列是

ae=[u1

v1

u2

v2

]T为清楚地表明求解广义坐标的过程，可暂时采用另一表示方法=[u1

u2v1

v2]T将单元结点坐标代入位移模式(2.3.1)得：(2.3.2)对于二维问题由(2.3.2)式解出(2.3.3)对于二维问题为的伴随矩阵其中3.以单元结点位移ae表示单元位移函数u将(2.3.3)式代入(2.3.1)式，得(2.3.4)对于二维问题将结点位移改为一般排列顺序ae，则有(2.3.5)4.以单元结点位移ae表示单元应变和应力应变：(2.3.6)应力：由弹性变形产生的应力当有初应力和初应变时，应力的一般表达式为(2.3.7)5.用最小位能原理建立离散体系的结点平衡方程系统总位能的离散形式(2.3.8)将，，u等代入，并以结构结点位移a来表示单元结点位移ae，即ae＝Ga则系统总位能为：（2.3.9）总位能的变分p＝0，得有限元求解方程

Ka＝P（2.3.10）其中K＝GTKeG（2.3.11）（2.3.12）方程（更2.3泻.10产）中载社荷项：（2.3始.13）其中（2.际3.1条4）6.闭引入具强制边休界条件惩7.罢解甘方程得挖到结点犁位移携8.禾进行皱必要的岸辅助计仇算广义坐伪标有限叶元可能眯产生的庭困难：当位移函暖数选择不驱恰当时，A-1可能不存易在，使得钳求解广义急坐标成为不可能。当单元象结点较而多时，货求解广居义坐标的过程太才复杂。2.4蜜有限元谱解的性质广和收敛性2.4巩.1柔有限质元解的愿收敛准笋则以一个标组量场函数染为例讨论绪：微分方雄程岩A()＝屯L（）＋b包＝0相应的龙泛函为假定中包含和它直至m阶的各序阶导数峰，若m阶导数吐非零，翅则近似疾函数呼至少必姜须是m次多项式锄。若取p次完全多师项式为试付探函数，岔则必须满咏足p≥m，这时知及访其各阶导药数为：收敛准则测1：完夺备性要求如果出攀现在泛满函中的辩场函数馅的最高卫阶导数商是m阶，则有束限元解收事敛的条件玻之一是单塔元内场函纷数的试探颈函数至少获是m次完全多佣项式。或炒者说，试跃探函数中番必须包含呀本身和直靠至m阶导数块为常数嫂的项。单元的插嫁值函数满勾足上述要弹求时，称唤单元是完备的。收敛准屈则2冤：协调芝性要求如果出厅现在泛牵函中的篮最高阶臂导数是m阶，则试钩探函数在茂单元交界酬面上必须术具有Cm-1连续性，肯即在相邻确单元的交吸界面上应土有函数直漆至m-1钥阶的连解续导数热。当单元废的插值蒜函数满练足上述击要求时阳，我们养称单元劈燕是协调的。当选取的矛单元既完桑备又协调析时，有限勇元解是收泥敛的，即电当单元的驱尺寸趋于亮零时，有此限元解趋径于真解。这种单元倦称为是协调元。需要指出惹，在某些沙情况下，菠可以放松蚕对协调性铜的要求，跳只要这种香单元能通然过分片试摘验，有限场元解仍然窝可以收敛职于正确的卸解答。这疯种单元称笛为非协调质元。2.4逆.2厚收敛被准则的峡物理意西义以平面问变题为例，觉泛函中出现氏的是位乱移u和v及其一诞阶偏导薪数，xyxy，因此m＝1费。收敛准则获1要慢求插值函叛数至少是x、y的一次贫完全多宋项式。u＝1+2x+3yv＝4+5x+6y这样才六能保证的由此构漆成的有孩限元解柿能够反降映单元零的刚体中位移和宇常应变规状态。收敛准则村2要歌求位移函站数在单元亿交界处具茂有C0连续性。粘即要求位盲移函数本鼠身在单元伟交界处连锦续。如果位狮移不连颜续，将户出现两季个问题灿：不连续娇位移将认导致无溉限大应辱变，从航而使应止变能增畅大。位移不连挽续意味着东出现裂缝袄或相互嵌蛙入。梁单元僚，泛函匙中出现脖4辈阶导数滑，即m＝40阶矛导数，某即位移听本身表利示梁的菜挠度；1阶装导数表哀示梁的肝转角，波或梁轴蒸线的倾软角2阶导课数表示梁次的轴线曲沫率或弯矩3阶导粥数表示梁午的剪力4阶导零数表示梁悬的载荷集穴度2.4羞.3座收敛凑速度和夺精度估而计位移场函盈数的精确季解总可以勾在域内一塑点的领域对内展开成妙一个多项采式：在尺寸为h的单元内望，如果插债值函数采羡用p阶完全多志项式，则秒它能拟合政上式直到粒第p阶，所以贴误差为O(hp+1)。例如：泡3结闭点三角绪形单元俗，p=1，刻则u的误差为O(h2)。当单包元尺寸减帖半时，误垫差是前次必网格的(怒1/2)2=1/摧4。误差估慌计与解析帐解相比盟、与同升类问题赌相比不同单坛元尺寸真的解相夹比对于协调丈元，如已妙知收敛速奥度为O(hr)，则傲可由下颜式预测叙精确解浓：对于3颤结点三孕角形单元疾，如r=2，n=2，升则可推得思：u＝(免4u2—u1)/榴3离散误差恼与截断误程差离散误差挠是有限元拒方法本身头的误差截断误书差和舍顶入误差沙是计算额机有效丸位数造呆成的误谊差结构的病熊态和网格派畸形会严览重扩大截些断误差和宵舍入误差辉的影响。2.4.渠4位弟移有限元材解的下限静性质系统总坟位能由变分P=0得有限差元求解桌方程：Ka=P代入总椒位能式身得：即在平票衡状态渐下，系列统总位痕能等于竭负的应亮变能。因此，炊当P→Pmi距n时，U→Umax在有限闭元解中由于：则有即因为所以可见近似