弹性力学之平面问题的极坐标解答

第四章平面问题的极坐标解答第一节极坐标中的平衡微分方程第二节极坐标中的几何方程及物理方程第三节极坐标中的应力函数与相容方程第四节应力分量的坐标变换式第五节轴对称应力和相应的位移第四章平面问题的极坐标解答第六节圆环或圆筒受均布压力第八节圆孔的孔口应力集中第九节半平面体在边界上受集中力第十节半平面体在边界上受分布力例题第七节压力隧洞区别:直角坐标中,

x和y坐标线都是直线,有固定的方向,x和y的量纲均为L。

极坐标中,坐标线（=常数）和坐标线（=常数）在不同点有不同的方向;相同:两者都是正交坐标系。直角坐标(x,y)与极坐标比较：坐标线为直线,坐标线为圆弧曲线;的量纲为L,的量纲为1。这些区别将引起弹性力学基本方程的区别。对于圆形，弧形，扇形及由径向线和环向围成的物体，宜用极坐标求解。用极坐标表示边界简单，使边界条件简化。应用§4－1极坐标中的平衡微分方程在A内任一点（，）取出一个微分体，考虑其平衡条件。微分体--由夹角为的两径向线和距离为的两环向线围成。两面不平行，夹角为；两面面积不等，分别为，。从原点出发为正，从x

轴向y轴方向转动为正。注意：平衡条件：平衡条件考虑通过微分体形心C的向及矩的平衡，列出3个平衡条件:注意：

--通过形心C的力矩为0，当考虑到二阶微量时，得--通过形心C的向合力为0，整理，略去三阶微量，得同理，由通过形心C的向合力为0可得：极坐标下的平衡微分方程：

几何方程--表示微分线段上形变和位移之间的几何关系式。§4－2几何方程及物理方程极坐标系中的几何方程可以通过微元变形分析直接推得，也可以采用坐标变换的方法得到。下面讨论后一种方法。根据直角坐标与极坐标之间的关系，有注意：可求得根据张量的坐标变换公式对平面问题：几何方程由此可得比较可知极坐标中的物理方程直角坐标中的物理方程是代数方程，且x与y为正交，故物理方程形式相似。物理方程极坐标中的物理方程也是代数方程,且与为正交，

平面应力问题的物理方程：物理方程对于平面应变问题，只须作如下同样变换，

边界条件--应用极坐标时，弹性体的边界面通常均为坐标面，即：边界条件故边界条件形式简单。以下建立直角坐标系与极坐标系的变换关系，用于：§4－3极坐标中的应力函数

与相容方程1、物理量的转换;2、从直角坐标系中的方程导出极坐标系中的方程。函数的变换：将式或代入，坐标变量的变换：反之1.从直角坐标系到极坐标系的变换坐标变换或矢量的变换：位移坐标变换将对杨的导数，面变换为对织的豆导数：可看成是硬，而她又是磨的函数证，即拼是通蝇过中间变暮量斜，笋为料的复合函中数。有:坐标变换导数的变换：而代入，舍即得一阶导数枯的变换公景式,一阶导数，。展开即得仔：二阶导喘数的变换公挖式，可以从困式(e)导出。例鼓如二阶导数拉普拉斯樱算子的变换：由式（f）得二阶导券数3.极坐赶标中应力腿用应力函幻玉数丑表示可考虑几俯种导出方便法：2.极功坐标中却的相容叼方程从平衡抹微分方既程直接架导出（考类似于直角坐标岸系中方法疲）。相容方类程应力公式(2)应到用特殊贯关系式督，即当x轴转动到连与轴重合时能，有:(3)部应陕用应力劝变换公浙式（下撇节）应力公式(4)葛应用应距力变换公傻式（下节职），而代入式邮(f)，得出纤的公赖式。比较两剥式的蹲的河系数，纤便得出限的公式本。应力公式当不计隙体力时虑应力用烛应力函稀数表示际的公式应力公裕式4.极坐复标系中按怀应力函数凡求解靠，应满足：(1)A内相容方撤程(2)摇上的应力责边界条件汪（设全部警为应力边界条防件）。(3)多连体惭中的位师移单值膨条件。按求表解应力分茧量不仅解具有方卸向性，找还与其肝作用面育有关。应力分堵量的坐标变默换关系：§4－料4应障力分量认的坐标哄变换式1、已岛知沾，求值。（含携）的三角形蓝微分体，厚度稼为1，哪如下图A，考虑其平机衡条件。取出一个受包含x、y面(含膀)和面得同理，由得类似地取荷出包含x面,y面和忘面的乏三角形碌微分体堤，厚度捎为1，开如图B，考虑其享平衡条被件，得应用相似萄的方法，全可得到2、已知急，竞求3、可甩以用前翻面得到往的求一蹄点应力狐状态的糊公式推辱出。也可以用跃应力坐标嚷变换公式页得到轴对称，即绕吸轴对称洪，凡通摇过此轴肌的任何浸面均为你对称面糕。轴对称应因力问题：§4－5目轴对称姨应力和相拖应的位移轴对称应旺力问题应力数值秀轴对称--仅为抬的蓄函数，应力方寸向轴对止称--展开为相应的辨应力函筝数以，所以应力公挪式为：（1）相容方攀程的通解这是一个典型的欧拉方程，引入变量，则。则原方程变为

此方程解的形式为代入整理得特征方程为

由此可得应力函数的通解为

（4-10）(2)

应力通解：（4-11）将应变代入几何方程，对应第一、二式分别积分，应变通解：将应力代入物理方程，得对应的应变分量的通解。应变也为轴对称。(4)求对应的位移：分开变量略，两边均井应等于同一常量F,将鱼代够入第三式，由两个拜常微分钩方程，其中代入粱，得轴对称应洁力对应的哪位移通解贼，I，K—为x、y向的刚涨体平移控，H—为绕o点的刚体家转动角度锯。位移通祸解（4-并12）说明（2）毁在轴对梢称应力条搅件下，曾形变也耐是轴对测称的,但侧位移不模是轴对摔称的。（3）尺实现轴朵对称应租力的条素件是，慕物体形蚊状、体力和面斧力应为轴禽对称。（1）在虚轴对称应力条件宾下，(4寄-10、备11、1点2),为应力者函数、吵应力和钥位移的捏通解，适用于练任何轴摘对称应辅力问题宫。说明(4)予轴对鞋称应力烟及对应艺的位移计的通解糕已满足吵相容方宋程，它品们还必食须满足勺边界条讨件及多乏连体中慕的位移馆单值条勉件，并卸由此求悦出其系笋数A、B及C。说明(5)拳轴对称应僵力及位移怨的通解，蔑可以用于百求解应力川或位移边践界条件下任的任何轴抄对称问题世。(6)岸对于平面异应变问题塔，只须将误换为圆环(雾平面应社力问题集)和圆弱筒(平恨面应变酒问题)明受内外含均布压释力，属肉于轴对称应姿力问题，可以引用鄙轴对称应尿力问题的妻通解。§4－衡6蕉圆环或样圆筒受叉均布压伞力问题问题边界条件序是边界条角件考察多连体风中的位绕移单值软条件：圆环或圆妖筒，是有阔两个连续正边界的多告连体。而悉在位移解井答中，式(b)中的久条件犯是自然指满足的度，而其福余两个留条件还瓜不足以堪完全确年定应力薪解答(a)。单值条件是一个屡多值函胀数：对忙于灰和冠是同一耻点，但脏式(c)却得出偷两个位另移值。梨由于同粘一点的抽位移只途能为单坝值，因岔此B=0。单值条件由B=0和边界条舱件(b)，便可得挑出拉梅解答孔，单值条季件(4-挎13)解答的应嚷用：（1）跳只有内要压力（2）只灶有内压力喘且阁，成咏为具有圆孔惜的无限大坦薄板（弹然性体）。（3）只明有外压力单值条件单值条顿件的说无明：（1）多监连体中的晶位移单值甩条件，实质上器就是物体的炮连续性遮条件（即位纵移连续纲性条件）。（2）掩在连续脱体中，头应力、烂形变和猜位移都应为单宰值。单值条卡件按位移求胁解时：取蛋位移为单蛇值，求形孙变（几何伯方程）也蠢为单值，尝求应力（租物理方程叔）也为单导值。按应力犯求解时：取应力您为单值，狠求形变（叫物理方程阀）也为单厘值，求位肥移（由几半何方程积耐分），常姻常会出现封多值项。所以，按扭应力求解慌时，对于盘多连体须昏要校核位辅移的单值放条件。单值条件对于单坏连体，蜂通过校育核边界党条件等英，位移晒单值条击件往往乏已自然岩满足；对于多兆连体，客应校核构位移单勾值条件锻，并使挥之满足岁。§4－晒7奖压力隧散洞本题是两暖个圆筒的接触问也题，两个脸均为轴商对称问洋题（平屿面应变骡问题）生。1.压力荐隧洞--圆筒埋在女无限大弹握性体中，沃受有均布蚁内压力。仍圆筒和无饮限大弹性鸦体的弹性毯常数分别净为压力隧洞因为不符般合均匀性擦假定，必任须分别采础用两个轴乒对称解答亏：圆筒无限大弹霸性体压力隧着洞应考虑渔的条件环：（1）鉴位移单错值条件某：（2）沉圆筒内陈边界条堂件：（3）无董限远处条扑件，由圣甩维南原理,压力隧晚洞由（1区）—（颠4）条撞件，解择出解答勒（书中饱式（4巴-1讽6））蠢。（4）云的接触条件，当变形旧后两弹性肥体保持连目续时，夫有压力隧侄洞2.一微般的接嫁触问题拢。(1)完全接膏触：变形后两嗓弹性体在s上仍然胁保持连腿续。这栽时的接它触条件槽为：在s上当两个弹姑性体胖，变形前发在s上互相接葡触，变形诸后的接触条件可分为雨几种情抽况：接触问题(2)有摩阻主力的滑何动接触：变形后方在S上法向保芹持连续，揉而切向产剂生有摩阻制力的相对救滑移，则杠在S上的接触偏条件为其中C为凝聚力丹。接触问叶题(4)局部脱胖离：变形后失某一部分匹边界上两路弹性体脱辣开，则原郊接触面成螺了自由面归。在此部丹分脱开的关边界上，艰有(3)光滑接触：变形垒后法向粮保持连醒续，但吐切向产价生无摩能阻力的罩光滑移蛋动，则想在s上的接粒触条件躺为接触问膨题在工程贫上，有鸭许多接爬触问题粘的实际狸例子。娃如机械卫中轴与漠轴承的伞接触，凝基础结更构与地尊基的接甲触，坝沸体分缝盾处的接助触等等纷。一般派在接触惠边界的临各部分炮，常常妇有不同拾的接触珍条件，事难以用比理论解却表示。帝我们可垂以应用仅有限单涌元法进限行仔细女和深入州的分析滤。接触问瓜题3.薄有限值堆条件图（a）设图（a）中半径为r的圆盘撤受法向而均布压配力q作用，试求其解烘答。有限值条斥件引用轴对梨称问题的箭解答，并闻考虑边界削上的条夫件，上述斯问题还是辨难以得出累解答。这鼠时，我们逃可以考虑所谓有限值条跨件，即除援了应力勉集中点佩外，弹波性体上锻的应力谅应为有副限值。而书中替式(4章-11源)的应脂力表达吩式中，宴当拆时，活和根中的第寒一、二费项均趋最于无限程大，这逝是不可沈能的。动按照有贱限值条肠件，高当六时，必僵须有A=B对=0。有限值条膜件在弹性镰力学问泡题中，航我们是货在区域贝内和边搏界上分滋别考虑眯静力条裳件、几学何条件士和物理色条件后忍，建立忌基本方棍程及其扔边界条代件来进架行求解缓的。一般地士说，单漏值条件帽和有限罗值条件舰也是应追该满足驱的，但荷是这些环条件常客常是自蛾然满足猪的。而染在下列的乎情形下须要进行校核：(1)按应力泻求解时犹，多连疮体中的棚位移单榜值条件。有限值拔条件在弹性如力学的零复变函惕数解法秒中，首雪先排除怀不符合迫单值条甘件和有眯限值条误件的复界变函数干，从而测缩小求批解函数字的范围禽，然后项再根据跃其他条装件进行给求解。(2)无应力配集中现袄象时，捎和针，欣或处的应力的有娘限值条件(因为正湾、负幂函经数在这些呆点会成为毛无限大)只。有限值条校件工程结构薄中常开设尼孔口最简覆单的为圆滴孔。本节研究派‘小孔口挪问题’，应龄符合（1）炒孔口尺限寸＜＜兆弹性体之尺寸，孔口引起炭的应力扰蹲动局限于摩小范围内木。§4－8隙圆孔的割孔口应力守集中小孔口胀问题（2）孔巾边距边界送较远（＞1.才5倍孔口拼尺寸）孔口与边叫界不相互翅干扰。当弹性体点开孔时，判在小孔口跟附近，将发生应力集霉中现象。小孔口问腿题1.带贴小圆孔毯的矩形植板，四边受均查布拉力q，图(a)。双向受炎拉内边界条尤件为，将外边懂界改造揭成为圆灭边界，循作则有利用圆处环的轴屑对称解格答，取且R＞＞r，得应力解残答：双向受粉拉（4-1茄7）2.带亲小圆孔的蜻矩形板，x,y向分别锹受拉压纳力，图(b)。所以应力腾集中系数通为2。内边界梦条件为最大应力泡发生在孔跑边，作毒圆均，求出外辣边界条件瓦为双向受字拉压应用半逆解法求解（罢非轴对凤称问题既）:由边界条丹件，议假设代入相容辫方程，由居~共关系犯，假设兼，所以设双向受拉医压除去持，为典歉型欧拉方春程，通过输与前面§4－伏5相同的处怕理方式，污可以得解然后代宵回式（d),即可求出要应力。双向受尖拉压校核边六界条件域(b),洞(c)爬，求出A,B,C,D，得应力解丹答：在孔边讨，虎，最扫大、最小馅应力为驼，应园力集中系梢数为楚。双向受强拉压（4-1备8）3.带岔小圆孔讲的矩形恭板，只受x向均布拉妻力q。单向受箭拉应用图示挨叠加原理注（此时令源）得应力解撕答:单向受或拉（4-1配9）讨论：（1）良孔边应脆力，最大应渡力3q，最小应力乏-q。单向受过拉（2)y轴药上据应力，可见，距榨孔边1.抹5D处底，由得于孔口蹦引起的客应力扰雪动<5崇%。单向受拉（3）x轴怕上呆应力，同样，蜜距孔边留1.5D处霞，由陡于孔口仗引起的腔应力扰查动<5熔%。单向受较拉4.小臂孔口的症应力集恨中现象（1）集中性--孔口附近摸应力>>粗远处的应早力，孔口附近枪应力>>辟无孔时的突应力。（2）局部性--应力集它中区域子很小，鱼约在距最孔边1.5贝倍孔径射（D）范围内。鞠此区域外爽的应力扰捏动，一般黑<5%。应力集程中现象（3）凹角的讲角点应解力高度暮集中，曲率半嚷径愈小，布应力愈大钟。因此，工姑程上应尽雪量避免接解近直交的布凹角出现粥。如正方孔寸的磨角点，角点曲证率半径应力集扬中现象5.一搁般小孔劝口问题项的分析再：（1）假莲设无孔，副求出结构猪在孔心处龄的摩、、斗。（2）剪求出孔胖心处主杠应力（3）在错远处的均澡匀应力场布作用下，求出孔口陪附近的应毫力。小孔口欺解法当然，对尺于左右边廉界受均匀窄拉力作用狮带孔平板咳的应力集嚼中问题，自还可以用率如下方法兄求解单向受拉对于无擦孔板，串板中的伯应力为与之相掠应的应话力函数垫为转为极坐棋标表示为单向受瓣拉现参照上服述无孔板应的应力函链数来选取饰一个应力悬函数，使标它适用于腊有孔板。紫即代入相婚容方程阀得：解得：单向受拉由此求得淹应力分量标为：解得：单向受拉应力分棒量为：应用弹惑性力学榜问题的复变函数炊解法，已经解出许覆多各种套形状的切小孔口饱问题的境解答。复变函数解热法是一枝种求解仓弹性力摔学解答使的解析良方法，它将复册变函数芦的实部依和虚部显(均为雨实函数板)分别表示弹性俯力学的物禁理量，将世弹性力学等的相容方程(重崇调和方风程)握也化为卸复变函烈数方程最，并结衔合边界条件木进行求解做。6.珠其他小春孔口问僻题的解傍答为了了解孔小孔口应眯力集中现席象的特性愤和便于工程上堪的应用，键我们把远坏处为惧(压应力场)作逃用下，椭猪圆类孔口抬、矩形类糕孔口和廊科道孔口的应环力解答表做示在下图县中，它们鼠的应力分布情况如戒下。-43/2ba11-2.哀2312/3-1101-311.0报0-2.5-1.3明5（1）在顷(陵压应力超场)下孤，孔口命的最大拉应力发生于孔千顶和孔底繁。椭圆类压孔口均为,矩形奔类孔口靠的~,标准廊道孔漠口为0.9乒0和0.9剩2q。1.8r-1.7(c)标准廊道瞎孔口r0.9烈00.92（2）在组（锤压应力吧场）下隔，孔口帖的最大压唯应力发生在朽孔侧。贼椭圆类音孔口（拳垂直半夸轴为b，水平半轴容为a）中，当笨成为展一条裂缝时，塘；当扩；当易，~。矩形类孔圾口闻从谱，越小，镰则压应兆力集中闪系数越泡接近1森。标准浪廊道群左右。半平面体怖在边界上弓受集中力所作用如图五。它是下追图所示问题当的特殊情武况。§4－拌9半平面体柿在边界上丙受集中力半逆解闻法用半逆解店法求解。（1）炮假设应炭力：F为单位鲜宽度上笛的力，格按量纲第分析，腊应力彻应为:半逆解法（2）狮推测暮应为（3）代犹入队，购得求出f之解，代蕉入创，其中前两怖项即Ax+焦By，与应力职无关，强删去。则取应羡力函数灵为（5）考警虑边界条体件,因有集管中力作烤用于原射点，故边界条鹿件应考虑鄙两部分：（4）辩由随求甩应力,(b)在原点O附近，愈我们可亦以看成领是一段小边界。衡在此小边氏界附近，结有面力的磨作用,而面力秒可以向革原点o简化为作辅用于O点的主矢张量F，和主矩胸为0的情形。将小边犁界上的应应力边出界条件牌应用圣维南原理来进行培处理。圣维南原宪理的应用可以有两种吧方式：(a)不包含原诸点O，则在显然这条强件是满足魂的。即,(1)在同一小佛边界上，使应力学的主矢量榆和主矩,总分别等于李对应面力企的主矢量械和主矩(数值隔相等，墓方向一钱致)，阀共有3个条件屡。(2)取出包含蚕小