建筑力学组合变形

建筑力学组合变形第1页，共46页，2023年，2月20日，星期一11.1组合变形的概念在实际工程中，构件的受力情况是复杂的，构件受力后的变形往往不仅是某一种单一的基本变形，而是由两种或两种以上的基本变形组合而成的复杂变形，称为组合变形。

例如，图11.1(a)所示的屋架檩条；图11.1(b)所示的空心墩；图11.1(c)所示的厂房支柱，也将产生压缩与弯曲的组合变形。11.1.1组合变形的概念第2页，共46页，2023年，2月20日，星期一图11.1第3页，共46页，2023年，2月20日，星期一

解决组合变形强度问题，分析和计算的基本步骤是：首先将构件的组合变形分解为基本变形；然后计算构件在每一种基本变形情况下的应力；最后将同一点的应力叠加起来，便可得到构件在组合变形情况下的应力。试验证明，只要构件的变形很小，且材料服从虎克定律，由上述方法计算的结果与实际情况基本上是符合的。11.1.2组合变形的解题方法第4页，共46页，2023年，2月20日，星期一11.2斜弯曲对于横截面具有对称轴的梁，当横向力作用在梁的纵向对称面内时，梁变形后的轴线仍位于外力所在的平面内，这种变形称为平面弯曲。如果外力的作用平面虽然通过梁轴线，但是不与梁的纵向对称面重合时，梁变形后的轴线就不再位于外力所在的平面内，这种弯曲称为斜弯曲。第5页，共46页，2023年，2月20日，星期一

如图11.2(a)所示的矩形截面悬臂梁，集中力P作用在梁的自由端，其作用线通过截面形心，并与竖向形心主轴y的夹角为φ。将力P沿截面两个形心主轴y、z方向分解为两个分力，得

Py=PcosφPz=Psinφ分力Py和Pz将分别使梁在xOy和xOz两个主平面内发生平面弯曲。11.2.1外力的分解第6页，共46页，2023年，2月20日，星期一图11.2第7页，共46页，2023年，2月20日，星期一在距自由端为x的横截面上，两个分力Py和Pz所引起的弯矩值分别为

Mz=Py·x=Pcosφ·x=McosφMy=Pz·x=Psinφ·x=Msinφ该截面上任一点K(y，z)，由Mz和My所引起的正应力分别为

σ′=Mz·y/Iz=yMcosφ/Iz

σ″=My·z/Iy=zMsinφ/Iy

11.2.2内力和应力的计算第8页，共46页，2023年，2月20日，星期一根据叠加原理，K点的正应力为

σ=σ′+σ″=Mz·y/Iz+My·z/Iy

=M(ycosφ/Iz+zsinφ/Iy)式中Iz和Iy分别是横截面对形心主轴z和y的惯性矩。正应力σ′和σ″的正负号，可通过平面弯曲的变形情况直接判断，如图11.2(b)所示，拉应力取正号，压应力取负号。第9页，共46页，2023年，2月20日，星期一图11.2第10页，共46页，2023年，2月20日，星期一因为中性轴上各点的正应力都等于零，设在中性轴上任一点处的坐标为y0和z0，将σ=0代入式(12.1)，有

σ=M(y0cosφ/Iz+z0sinφ/Iy)=0则

y0cosφ/Iz+z0sinφ/Iy=0上式称为斜弯曲时中性轴方程式。11.2.3中性轴的位置第11页，共46页，2023年，2月20日，星期一从中可得到中性轴有如下特点：

(1)中性轴是一条通过形心的斜直线。

(2)力P穿过一、三象限时，中性轴穿过二、四象限。反之位置互换。

(3)中性轴与z轴的夹角α(图11.2(c))的正切为

tanα=｜y0/z0｜=Iz/Iytanφ从上式可知，中性轴的位置与外力的数值有关，只决定于荷载P与y轴的夹角φ及截面的形状和尺寸。第12页，共46页，2023年，2月20日，星期一图11.2第13页，共46页，2023年，2月20日，星期一进行强度计算，首先要确定危险截面和危险点的位置。危险点在危险截面上离中性轴最远的点处，对于工程上常用具有棱角的截面，危险点一定在棱角上。图11.2(a)所示的悬臂梁，固定端截面的弯矩值最大，为危险截面，该截面上的B、C两点为危险点，B点产生最大拉应力，C点产生最大压应力。若材料的抗拉和抗压强度相等，则斜弯曲的强度条件为

σmax=Mzmax/Wz+Mymax/Wy≤［σ］11.2.4强度条件第14页，共46页，2023年，2月20日，星期一对于不同的截面形状，Wz/Wy的比值可按下述范围选取：矩形截面：Wz/Wy=h/b=1.2～2；工字形截面：Wz/Wy=8～10；槽形截面：Wz/Wy=6～8。第15页，共46页，2023年，2月20日，星期一【例11.1】跨度l=4m的吊车梁，用32a号工字钢制成，材料为A3钢，许用应力［σ］=160MPa。作用在梁上的集中力P=30kN，其作用线与横截面铅垂对称轴的夹角φ=15°，如图11.3所示。试校核吊车梁的强度。【解】(1)

荷载分解将荷载P沿梁横截面的y、z轴分解Py=Pcosφ=30cos15°kN=29kNPz=Psinφ=30sin15°kN=7.76kN(2)

内力计算吊车荷载P位于梁的跨中时，吊车梁处于最不利的受力状态，跨中截面的弯矩值最大，为危险截面。第16页，共46页，2023年，2月20日，星期一图11.3第17页，共46页，2023年，2月20日，星期一该截面上由Py在xOy平面内产生的最大弯矩为Mzmax=Pyl/4=29×4/4kN·m=29kN·m该截面上由Pz在xOz平面内产生的最大弯矩为Mymax=Pzl/4=7.76×4/4kN·m=7.76kN·m(3)

强度校核由型钢表查得32a号工字钢的抗弯截面系数Wy和Wz分别为Wy=70.8cm3=70.8×103mm3Wz=692.2cm3=692.2×103mm3第18页，共46页，2023年，2月20日，星期一【例11.2】图11.4所示矩形截面木檩条，两端简支在屋架上，跨度l=4m。承受由屋面传来的竖向均布荷载q=2kN/m。屋面的倾角φ=20°，材料的许用应力［σ］=10MPa。试选择该檩条的截面尺寸。【解】(1)

荷载分解荷载q与y轴间的夹角φ=20°，将均布荷载q沿截面对称轴y、z分解，得qy=qcosφ=2cos20°kN/m=1.88kN/mqz=qsinφ=2sin20°kN/m=0.68kN/m第19页，共46页，2023年，2月20日，星期一图11.4第20页，共46页，2023年，2月20日，星期一(2)

内力计算檩条在qy和qz单独作用下，最大弯矩均发生在跨中截面，其值分别为Mzmax=qyl2/8=1.88×42/8kN·m=3.76kN·mMymax=qzl2/8=0.68×42/8kN·m=1.36kN·m(3)

选择截面尺寸根据式(12.4)，檩条的强度条件为Mzmax/Wz+Mymax/Wy≤［σ］上式中包含有Wz和Wy两个未知数。现设Wz/Wy=h/b=1.5，代入上式，得3.76×106/1.5Wy+1.36×106/Wy≤10第21页，共46页，2023年，2月20日，星期一

Wy≥387×103mm3由Wy=hb2/6=1.5b3/6≥387×103解得b≥115.68mm为便于施工，取截面尺寸b=120mm，则h=1.5b=1.5×120mm=180mm选用120mm×180mm的矩形截面。第22页，共46页，2023年，2月20日，星期一11.3偏心压缩（拉伸）

图11.5(a)所示的柱子，荷载P的作用线与柱的轴线不重合，称为偏心力，其作用线与柱轴线间的距离e称为偏心距。偏心力P通过截面一根形心主轴时，称为单向偏心受压。(1)

荷载简化和内力计算将偏心力P向截面形心平移，得到一个通过柱轴线的轴向压力P和一个力偶矩m=Pe的力偶，如图11.5(b)所示。横截面m-n上的内力为轴力N和弯矩Mz，其值为

N=PMz=Pe11.3.1单向偏心压缩（拉伸）第23页，共46页，2023年，2月20日，星期一图11.5第24页，共46页，2023年，2月20日，星期一(2)

应力计算对于该横截面上任一点K(图11.6)，由轴力N所引起的正应力为

σ′=-N/A由弯矩Mz所引起的正应力为

σ″=-Mzy/Iz

根据叠加原理，K点的总应力为

σ=σ′+σ″=-N/A-Mzy/Iz第25页，共46页，2023年，2月20日，星期一图11.6第26页，共46页，2023年，2月20日，星期一(3)

强度条件从图11.6(a)中可知：最大压应力发生在截面与偏心力P较近的边线n-n线上；最大拉应力发生在截面与偏心力P较远的边线m-m线上。其值分别为

σmin=σymax=-P/A-Mz/Wz

σmax=σlmax=-P/A+Mz/Wz

截面上各点均处于单向应力状态，所以单向偏心压缩的强度条件为

σmin=σymax=｜-P/A-Mz/Wz｜≤［σy］σmax=σlmax=-P/A+Mz/Wz≤［σl］第27页，共46页，2023年，2月20日，星期一(4)

讨论下面来讨论当偏心受压柱是矩形截面时，截面边缘线上的最大正应力和偏心距e之间的关系。图12.6(a)所示的偏心受压柱，截面尺寸为b×h，A=bh，Wz=bh2/6，Mz=Pe，将各值代入得

σmax=-P/bh+Pe/bh2/6=-P/bh(1-6e/h)边缘m-m上的正应力σmax的正负号，由上式中(1-6e/h)的符号决定，可出现三种情况：第28页，共46页，2023年，2月20日，星期一

①当6e/h<1，即e<h/6时，σmax为压应力。截面全部受压，截面应力分布如图11.7(a)所示。

②

当6e/h=1，即e=h/6时，σmax为零。截面全部受压，而边缘m-m上的正应力恰好为零，截面应力分布如图11.7(b)所示。

③当6e/h>1，即e>h/6时，σmax为拉应力。截面部分受拉，部分受压，应力分布如图11.7(c)所示。第29页，共46页，2023年，2月20日，星期一图11.7第30页，共46页，2023年，2月20日，星期一【例11.3】图11.8所示矩形截面柱，屋架传来的压力P1=100kN，吊车梁传来的压力P2=50kN，P2的偏心距e=0.2m。已知截面宽b=200mm，试求：(1)若h=300mm，则柱截面中的最大拉应力和最大压应力各为多少?(2)欲使柱截面不产生拉应力，截面高度h应为多少?在确定的h尺寸下，柱截面中的最大压应力为多少?【解】(1)

内力计算将荷载向截面形心简化，柱的轴向压力为N=P1+P2=(100+50)kN=150kN第31页，共46页，2023年，2月20日，星期一图11.8第32页，共46页，2023年，2月20日，星期一截面的弯矩为Mz=P2e=50×0.2kN·m=10kN·m(2)

计算σlmax和σymax由式(12.6)，得σlmax=-P/A+Mz/Wz=(-2.5+3.33)MPa=0.83MPaσymax=-P/A-Mz/Wz=(-2.5-3.33)MPa=-5.83MPa(3)

确定h和计算σymax欲使截面不产生拉应力，应满足σlmax≤0，即-P/A+Mz/Wz≤0第33页，共46页，2023年，2月20日，星期一-150×103/200h+10×106/200h2/6≤0则h≥400mm取h=400mm当h=400mm时，截面的最大压应力为σymax=-P/A-Mz/Wz

=(-1.875-1.875)MPa=-3.75MPa对于工程中常见的另一类构件，除受轴向荷载外，还有横向荷载的作用，构件产生弯曲与压缩的组合变形。第34页，共46页，2023年，2月20日，星期一【例11.4】图11.9(a)所示的悬臂式起重架，在横梁的中点D作用集中力P=15.5kN，横梁材料的许用应力［σ］=170MPa。试按强度条件选择横梁工字钢的型号(自重不考虑)。【解】(1)

计算横梁的外力横梁的受力图如图11.9(b)所示。为了计算方便，将拉杆BC的作用力NBC分解为Nx和Ny两个分力。由平衡方程解得Ry=Ny=P/2=7.75kNRx=Nx=Nycotα=7.75×3.4/1.5kN=17.57kN第35页，共46页，2023年，2月20日，星期一图11.9第36页，共46页，2023年，2月20日，星期一(2)

计算横梁的内力横梁在Ry、P和Ny的作用下产生平面弯曲，横梁中点截面D的弯矩最大，其值为Mmax=Pl/4=15.5×3.4/4kN·m=13.18kN·m横梁在Rx和Nx作用下产生轴向压缩，各截面的轴力都相等，其值为N=Rx=17.57kN(3)

选择工字钢型号由式(12.7)，有σymax=｜-N/A-Mmax/Wz｜≤［σ］第37页，共46页，2023年，2月20日，星期一由于式中A和Wz都是未知的，无法求解。因此，可先不考虑轴力N的影响，仅按弯曲强度条件初步选择工字钢型号，再按照弯压组合变形强度条件进行校核。由σmax=Mmax/Wz≤［σ］得Wz≥Mmax/［σ］=77.5×103mm3=77.5cm3查型钢表，选择14号工字钢，Wz=102cm3，A=21.5cm2。根据式(12.7)校核，有σymax=｜-N/A-Mmax/Wz｜=137MPa<［σ］结果表明，强度足够，横梁选用14号工字钢。若强度不够，则还需重新选择。第38页，共46页，2023年，2月20日，星期一当偏心压力P的作用线与柱轴线平行，但不通过横截面任一形心主轴时，称为双向偏心压缩。

如图11.10(a)所示，偏心压力P至z轴的偏心距为ey，至y轴的偏心距为ez。11.3.2双向偏心压缩（拉伸）第39页，共46页，2023年，2月20日，星期一图11.10第40页，共46页，2023年，2月20日，星期一(1)

荷载简化和内力计算将压力P向截面的形心O简化，得到一个轴向压力P和两个附加力偶矩mz、my(图11.10(b))，其中

mz=Pey，my=Pez可见，双向偏心压缩就是轴向压缩和两个相互垂直的平面弯曲的组合。由截面法可求得任一截面ABCD上的内力为

N=P，Mz=Pey，My=Pez第41页，共46页，2023年，2月20日，星期一(2)

应力计算对于该截面上任一点K(图11.10(c))，由轴力N所引起的正应力为

σ′=-N/A由弯矩Mz所引