建筑力学 结构第四章 应力和强度

建筑力学结构第四章应力和强度第1页，共54页，2023年，2月20日，星期一§4-1应力和强度的概念一、应力的概念问题提出：PPPP1.内力大小不能衡量构件强度的大小。2.强度：①内力在截面分布集度应力；

②材料承受荷载的能力。1.定义：由外力引起的内力集度。第2页，共54页，2023年，2月20日，星期一

工程构件，大多数情形下，内力并非均匀分布，集度的定义不仅准确而且重要，因为“破坏”或“失效”往往从内力集度最大处开始。PAM①平均应力：②应力：2.应力的表示：第3页，共54页，2023年，2月20日，星期一③应力分解为：pM垂直于截面的应力称为“正应力”

(NormalStress)；位于截面内的应力称为“剪应力”(ShearingStress)。应力的单位：即帕斯卡Pa1GPa=103MPa=109Pa第4页，共54页，2023年，2月20日，星期一变形前1.变形规律试验及平面假设：平面假设：纵向纤维变形相同，原为平面的横截面在变形后仍为平面。受载后PPd´a´c´b´二、拉（压）杆横截面上的应力均匀材料、均匀变形，内力当然均匀分布。2.拉伸应力：sNP轴力引起的正应力——

：在横截面上均布。abcd横截面第5页，共54页，2023年，2月20日，星期一三、强度设计准则（强度条件）：其中：[]--许用正应力，max--危险点的最大工作正应力

[]--许用剪应力，max-危险点的最大工作剪应力。

保证构件不发生强度破坏并有一定安全余量的条件准则。第6页，共54页，2023年，2月20日，星期一§4-2弯曲时的正应力

纯弯曲:梁的横截面上只有弯矩，而没有剪力作用。横截面上只分部正应力。第7页，共54页，2023年，2月20日，星期一

剪力弯曲:粱的横截面上既有弯矩，又有剪力作用。横截面上同时分布正应力和切应力。第8页，共54页，2023年，2月20日，星期一变形的几何关系应力与应变间物理关系静力平衡条件正应力计算公式导出纯弯曲时梁的正应力推导

纯弯曲时的正应力第9页，共54页，2023年，2月20日，星期一梁横截面上的变形

变形几何关系要找出梁横截面上正应力变化规律，须先找出纵向线应变在该截面上的变化规律.

平行于梁轴线的纵向线aa和bb代表纵向纤维；垂直于轴线的mm和nn代表横截面§4-2弯曲时的正应力第10页，共54页，2023年，2月20日，星期一

梁横截面上的变形规律：（2）在变形前，与梁轴线垂直的横向直线m-m和n-n变形后仍保持为直线，相互倾斜了一个角度，但仍与弯曲后的梁轴线保持垂直。

（1）纵向线a-a和b-b，由变形前的直线变成了平行的圆弧线，凹边的纵向线缩短，凸边纵向线伸长。第11页，共54页，2023年，2月20日，星期一中性层:

梁内既不伸长也不缩短的纵向纤维层。中性轴(z轴):

中性层与各横截面的交线,垂直于横截面的对称轴y。由观察变形而得的假设:平截面假设:横截面变形后仍保持平面,且仍垂直于变形后梁轴线,只绕横截面内某轴(中性轴)转一角度单向(纵向)受力假设:变形后各纤维之间互不挤压,只受拉伸或压缩作用.§4-2弯曲时的正应力第12页，共54页，2023年，2月20日，星期一纵向纤维线应变变化规律:变形前：变形后:

ab的伸长量：ab的线应变:变形的几何关系§4-2弯曲时的正应力第13页，共54页，2023年，2月20日，星期一物理方面(弹性)静力平衡关系

(合力矩定理、合力定理)§4-2弯曲时的正应力第14页，共54页，2023年，2月20日，星期一推论1:中性轴必通过截面形心推论2:

z

轴为主惯性轴M

—横截面上的弯矩y

—所计算点到中性轴的距离Iz—截面对中性轴的惯性矩正应力计算公式§4-2弯曲时的正应力第15页，共54页，2023年，2月20日，星期一M—横截面上的弯矩y

—所计算点到中性轴的距离Iz

—截面对中性轴的惯性矩

应力正负号确定M为正时,中性轴上部截面受压下部截面受拉;M为负时,中性轴上部截面受拉下部截面受压.

在拉区为正,压区为负§4-2弯曲时的正应力第16页，共54页，2023年，2月20日，星期一梁横截面上正应力的最大值：

永远出现在梁截面的上、下边缘处

——抗弯截面模量则§4-2弯曲时的正应力第17页，共54页，2023年，2月20日，星期一

正应力公式的使用条件及推广正应力公式只能用于发生平面弯曲的梁;材料处于线弹性范围内;对于具有一个纵向对称面的梁均适用;可推广应用于横力弯曲时梁的正应力计算.§4-2弯曲时的正应力第18页，共54页，2023年，2月20日，星期一

当L/h≥5时，横截面上的剪力对正应力分布和最大值的影响一般在5％以内，因此横力弯曲时横截面上的正应力

采用下式纯弯曲理论在横力弯曲中的推广§4-2弯曲时的正应力第19页，共54页，2023年，2月20日，星期一

示例：矩形截面悬臂梁受均布荷载q=2kN/m,b=120mm,h=180mm,L=2m.求C截面a、b、c正应力1.C截面上弯矩MC=-q×L/2×L/4=-qL2/8=-1kN·m2.矩形截面惯性矩Iz=bh3/12=0.583×10-4

m43.分别求a、b、c三点正应力a=MCya/Iz=1MPa(拉)b=MCyb/Iz=0,c=MCyc/Iz=1.5MPa(压)§4-2弯曲时的正应力第20页，共54页，2023年，2月20日，星期一

横力弯曲时最大正应力危险截面:最大弯矩所在截面

Mmax危险点：距中性轴最远边缘点

ymax令Iz/ymax=Wz,则max=Mmax/WzWz—抗弯截面模量矩形截面:Wz=bh2/6,Wy=hb2/6圆形截面:Wz=Wy=D3/32正方形截面:Wz=Wy=a3/6§4-2弯曲时的正应力第21页，共54页，2023年，2月20日，星期一一、极惯性矩：

定义：平面图形中任一微面积dA与它到坐标原点Ｏ的距离ρ平方的乘积ρ2dA,称为该面积dA对于坐标原点o的极惯性矩。

截面对坐标原点o的极惯性矩为：

简单图形的极惯性矩可由定义式积分计算。

实心圆截面：

空心圆截面：

二、惯性矩：

定义：平面图形中任一微面积dA对z轴、y轴的惯性矩分别为：y2dA和Z2dA；则整个图形（面积为A)对z轴、y轴的惯性矩分别为：§4-3截面的几何特征第22页，共54页，2023年，2月20日，星期一不同梁横截面的惯性矩和抗弯截面模量：§4-3截面的几何特征第23页，共54页，2023年，2月20日，星期一

正应力强度条件[]—材料的容许应力

矩形和工字形截面梁正应力

max=Mmax/WzWz=Iz/(h/2)

特点：

max+=max-§4-3梁的正应力强度第24页，共54页，2023年，2月20日，星期一

正应力强度计算校核强度:截面设计:确定许用荷载:§4-3梁的正应力强度第25页，共54页，2023年，2月20日，星期一解：画内力图求危险截面内力矩形(bh=0.12m0.18m）截面木梁如图，[]=7MPa，[]=0.9MPa，试求最大正应力和最大剪应力之比,并校核梁的强度。q=3.6kN/mxM+ABL=3mV–+x第26页，共54页，2023年，2月20日，星期一求最大应力并校核强度应力之比q=3.6kN/mxM+V–+x第27页，共54页，2023年，2月20日，星期一提高梁弯曲强度的措施

采用合理截面形状原则：当面积A一定时,尽可能增大截面的高度,并将较多的材料布置在远离中性轴的地方,以得到较大的抗弯截面模量。§4-3梁的正应力强度第28页，共54页，2023年，2月20日，星期一在面积相等的情况下，选择抗弯模量大的截面zDzaaa12a1z工字形截面提高梁弯曲强度的措施§4-3梁的正应力强度第29页，共54页，2023年，2月20日，星期一

合理安排梁的支座和荷载目的:减小梁的最大弯矩外伸梁和简支梁的比较:提高梁弯曲强度的措施§4-3梁的正应力强度第30页，共54页，2023年，2月20日，星期一

采用变截面梁目的:节省材料和减轻自重理想情况:变截面梁各横截面上最大正应力相等等强度梁:W(x)=M(x)/[]=Px/[]=bh2(x)/6Px提高梁弯曲强度的措施§4-3梁的正应力强度第31页，共54页，2023年，2月20日，星期一提高梁弯曲强度的措施§4-3梁的正应力强度第32页，共54页，2023年，2月20日，星期一

矩形截面梁剪应力分布假设横截面上的剪应力都平行于剪力V

剪应力沿截面宽度均匀分布，与中性轴等距处大小相等剪应力在横截面上的分布规律与截面形状有关：§4-4梁的剪应力强度第33页，共54页，2023年，2月20日，星期一Q—横截面上剪力；Iz—整个横截面对中性轴的惯性矩；b—所求剪应力处的截面宽度；Sz*—所求剪应力处横线一侧部分面积A*对中性轴静矩矩形截面梁剪应力计算公式§4-4梁的剪应力强度第34页，共54页，2023年，2月20日，星期一矩形截面剪应力沿截面高度的变化规律剪应力沿截面高度按二次抛物线规律变化:y=±h/2,=0;y=0,=max;§4-4梁的剪应力强度第35页，共54页，2023年，2月20日，星期一

工字形截面梁剪应力分布假设仍然适用Q—横截面上剪力；Iz—整个工字型截面对中性轴的惯性矩；b1—腹板宽度；Sz*—阴影线部分面积A*对中性轴的静矩最大剪应力：§4-4梁的剪应力强度第36页，共54页，2023年，2月20日，星期一

圆形截面梁剪应力分布假设不适用最大剪应力仍发生在中性轴上:§4-4梁的剪应力强度第37页，共54页，2023年，2月20日，星期一

梁的剪应力强度校核剪应力计算公式

剪应力强度条件[]—材料弯曲时容许剪应力§4-4梁的剪应力强度第38页，共54页，2023年，2月20日，星期一

设计梁时必须同时满足正应力和剪应力的强度条件。对细长梁，弯曲正应力强度条件是主要的，一般按正应力强度条件设计，不需要校核剪应力强度，只有在个别特殊情况下才需要校核剪应力强度。铆接或焊接的组合截面，其腹板的厚度与高度比小于型钢的相应比值时，要校核剪应力。梁的跨度较短，M

较小，而V较大时，要校核剪应力。各向异性材料（如木材）的抗剪能力较差，要校核剪应力。需要校核剪应力的几种特殊情况：§4-4梁的剪应力强度第39页，共54页，2023年，2月20日，星期一工程中以扭转为主要变形的构件主要是机器中的传动轴、石油钻机中的钻杆等；建筑工程中则是雨篷梁和吊车梁等。扭转：外力的合力为一力偶，且力偶的作用面与直杆的轴线垂直，杆发生的变形为扭转变形。ABOmmOBA§4-5扭转时的应力第40页，共54页，2023年，2月20日，星期一圆轴横截面上的剪应力

变形几何关系从三方面考虑：物理关系

静力学关系mm§4-5扭转时的应力第41页，共54页，2023年，2月20日，星期一变形几何关系观察到下列现象：①圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改变，只是绕轴线作了相对转动。

②各纵向线均倾斜了同一微小角度。

③所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。第42页，共54页，2023年，2月20日，星期一

平面假设：

变形前为平面的横截面变形后仍为平面，它像刚性平面一样绕轴线旋转了一个角度。mmdxx第43页，共54页，2023年，2月20日，星期一第44页，共54页，2023年，2月20日，星期一非圆截面杆的扭转

圆截面杆扭转时的应力和变形公式,均建立在平面假设

的基础上。对于非圆截面杆,受扭时横截面不再保持为平面，杆的横截面已由原来的平面变成了曲面。这一现象称为截面翘曲。因此,圆轴扭转时的应力、变形公式对非圆截面杆均不适用。第45页，共54页，2023年，2月20日，星期一mm第46页，共54页，2023年，2月20日，星期一表矩形截面杆扭转时的系数h/b1.01.21.52.02.53.04.06.08.010.0∞α0.2080.2190.2310.2460.2580.2670.2820.2990.3070.3130.333β0.1410.1660.1960.2290.2490.2630.2810.2990.3070.3130.3331.0000.9300.8580.7960.7670.7530.7450.7430.7430.7430.743第47页，共54页，2023年，2月20日，星期一§4-6构件组合变形时的强度一、组合变形：在复杂外载作用下，构件的变形会包含几种简单变形，当几种变形所对应的应力属同一量级时，不能忽略之，这类构件的变形称为组合变形。MPRzxyPP第48页，共54页，2023年，2月20日，星期一§4-6构件组合变形时的强度Phg第49页，