工程力学第三章 静力平衡问题

第三章静力平衡问题3.1平面力系的平衡问题3.2含摩擦的平衡问题3.3平面桁架3.4空间力系的平衡问题13.1平面力系的平衡问题思路：研究对象受力分析平衡方程求解一、平面力系平衡问题的分析方法ABC静力平衡问题，一般有二类：

对于完全被约束的物体或系统，在已知外载荷的作用下，求约束力。

对于未完全被约束的物体或系统，求平衡时外载荷所应满足的条件及约束力。60ABCDF2例3.1求图示结构中铰链A、B处的约束力。解：1）画整体受力图。注意BC为二力杆。验算，再写一个不独立平衡方程，看是否满足。如

MB(F)=0.5F+Fq-2FAy=1+1-2=0结果正确。2）取坐标，列平衡方程。

Fx=FAx-FCcos30=0ABCF=2KNFq30q=0.5KN/mL=2m1.5mFq=2q=1KNFCFAyFAxxyFy=FAy+FCsin30-F-Fq=0

MA(F)=FCL/2-1.5F-FqL/2=03）解方程得到;FC=4KN;FAy=1KN;FAx=2KN矩心取在二未知力交点A处，力矩方程中只有一个未知量FC，可直接求解。3例3.3夹紧装置如图。设各处均为光滑接触，求P力作用下工件所受到的夹紧力。研究整体，受力如图。需要求的是FC。列平衡方程：

Fy=FB-F=0FB=F

解：逐一讨论A、B，可解。ABFBAFCFBFABFAFABCFayxOFBFCFAMA(F)=FB.ABcos-FC.ABsin=0

FC=Fctga。

越小，夹紧力越大。讨论：若将矩心取在FA、FB二未知力交点O，则由力矩方程直接可得:MO(F)=FABcos-FCABsin=0

FC=Fctg

4例3.4梁ACB如图。梁上起重小车重W=50kN，吊重P=10kN，求A、B处的约束力。由(1)知，FAx=0。剩余二个方程中含三个未知约束反力，不足以求解。

列平衡方程：Fx=FAx=0---(1)Fy=FAy+FBy-P-W=0---(2)MA(F)=MA+12FBy-4W-8P=0---(3)解：1)取系统整体为研究对象，画受力图。4mCA4m1m1m8mBWPFByFAxFAyMA5

2)小车为研究对象，列平衡方程：

MD(F)=2FE-W-5P=0

FE=(50+50)/2=50kN

Fy=FD+FE-W-P=0

FD=10kN3)取BC梁为研究对象，有：

MC(F)=8FBy-FE=0

FBy=FE/8=6.25kN将FBy代入(2)、(3)式，求得：

FAy=P+W-FBy=53.75kN

MA=4W+8P-12FBy=205kN.m有时需要综合研究整体及部分的平衡，联立求解4mWP1m1mDEFEFDC1m8mBFEFCyFByFCx=06补充例：已知AD=BD=CD=a，求图示杆系A、B及D处的约束力。解：研究整体有：

Fy=FAy-F=0

FAy=F

MA(F)=FB2a-Fa=0

FB=F/2Fx=FAx+FB=0

FAx=-FB=-F/2

研究CD杆，有：MC(F)=FDya=0YD=0Fy=FACsin45-F=0FACFx=FDx-FACcos45=0FDxABCFDFAyFAxFBCDFFDyFDxFAC请验算：AB杆(带销A)受力是否平衡？FBFDxFDyFAxFAyFACFACFAxFAy7求解平面力系平衡问题的一般方法和步骤为：弄清题意，标出已知量整体受力图，列平衡方程，解决问题否？选取适当的坐标轴和矩心，注意正负号。检查结果，验算补充选取适当研究对象，画受力图，列平衡方程求解。NoYes注意：力偶M在任一轴上的投影为零；力偶对任一点之矩即为M。8问题1：不计杆重，求连杆机构在图示平衡位置时F1、F2之关系。问题2:三铰拱受力偶M作用，不计拱的重量，求A、B处的约束力。bＣMABac4560ABCDF1F2问题3：试求图示双跨梁A端的约束力。ABCFq2aaa459问题1.不计杆重，求连杆机构在图示平衡位置时F1、F2之关系。4560ABCDF1

F2FDFCME(F)=F2AE-F1sin60BE=0注意：BE=AB；AE=AB可解得：

F2=......F12E

10问题2:三铰拱受力偶M作用，不计拱的重量，求A、B处的约束力。解:BC为二力杆;外力只有力偶M,以AC为轴写投影方程可知，A处反力为FAy=0,整体受力如图所示。bＣMABacFBBＣFCFAxAMFAy=0FCFAFBABbＣMcdaBAFF=BdFM=×+-0有0(F)=åAM又由可解得BF11问题2再论:不计拱重，分析三铰拱的约束力。FBABＣMdFAＣABFBABＣFFBABＣFFAFA三力平衡，若有二力汇交，则第三力必过其交点。三力平衡，若有二力平行，则第三力与其平行。12问题3：试求图示双跨梁A端的约束反力。先分离研究对象，再处理其上的分布载荷。解：1）研究整体：

2）研究BC，受力如图。求出FC即可。MB(F)=2aFCcos45-Fa-qa2/2=02一般力系，3个方程，4个未知量。不足以求解FBxCFqBFByFCABCFq2aaa45FCFAyFAxMA13讨论：判断下述分析的正误。MA=

M+Fa-2Pa固定铰的约束力作用于销钉上。多杆用同一销钉连接，讨论某杆时，须考虑各杆与销钉间作用的不同。FAxMAMPF2aa3aAFAx=F;

FAy=P;MA=

M？FAyFAyPABCPABCAFAxFAyFAyFAxFAxFAByFABxFACxFACyFABxFAByFACxFACyFAxFAy14第一种情形ACBlllF问题讨论：试求图示A、B、C处的约束力。llFABDCFBFAydFAx第二种情形lllACBM=F

l

MA(F)=0FBd-F2l=0FB=22F

MB(F)=0FAyl+Fl=0FAy=-FFx=0FAx+FBcos=0FAx=-2F15第二种情形lllACBM=F

lFAyFAxllABDFBxFByFCxFCyFBxFByBC分析BC和ABD杆受力M=F

l考察BC杆的平衡:FCx=FBx;FCy=FByMB(F)=0:FCylBC+Fl=02=-—F2

FCy=FBy再考察AB杆，

由MA(F)=0可求得FBx16由ABD杆的平衡有：MA(F)=02

FBx=—F¯2MB(F)=0FAy=

0MC(F)=0:FAx=FFAyFAxllABDFBxFByCl第二种情形lllACBM=F

l更简单方法以整体为研究对象如何？FAxlllABDCM=F

lFCxFAyFCy?BCM=F

lFCxFBxllABDFBxFAx?17二、静不定问题的概念1)静定问题完全约束住的n个物体组成的物体系统在平面一般力系作用下，每一物体都处于平衡，共可写出3n个平衡方程。若反力未知量是3n个，则是静定的。由平衡方程即可确定的静力平衡问题--未知量数=独立平衡方程数ABCF30如例1系统二根杆六个平衡方程；约束三处铰链六个反力，静定。若将BC视为二力杆，则平衡方程减少二个，但B、C处约束力未知量也减少了二个。18本题作用于小车的是平行于Y轴的平行力系，系统三个物体8个平衡方程；约束固定端3；中间铰2；活动铰、车轮接触处各1共8个反力，是静定问题。如例3系统三个物体9个方程，反力只有8个。小车可能发生水平运动。未被完全约束住的物体及系统

约束力未知量数少于独立的平衡方程数，有运动的可能。CABWP192）静不定问题或超静定问题

完全约束的物体或系统，若约束力数>独立平衡方程数，问题的解答不能仅由平衡方程获得，称静不定问题。3n=3;m=4一次静不定3n=3;m=6三次静不定3n=3;m=4一次静不定约束反力数m系统中物体数n<3n未完全约束

m=3n静定问题>3n静不定问题静不定