2023届内蒙巴彦淖尔市高二数学第二学期期末统考试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（2018年天津卷文）设变量x，y满足约束条件则目标函数的最大值为A．6 B．19 C．21 D．452．已知双曲线的焦距为，两条渐近线的夹角为，则双曲线的标准方程是（）A． B．或C． D．或3．已知分别为内角的对边，且成等比数列，且，则=（）A． B． C． D．4．在的展开式中，系数最大的项是（）A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项5．根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为930，下雨的概率为1130，既吹东风又下雨的概率为A．89 B．25 C．96．若X是离散型随机变量，P(X=x1)=23,P(X=x2)=1A．53 B．73 C．37．已知函数，下面结论错误的是()A．函数的最小正周期为 B．函数在区间上是增函数C．函数的图像关于直线对称 D．函数是奇函数8．如果点位于第三象限，那么角所在象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限9．函数在上取得最小值时，的值为（）．A．0 B． C． D．10．若随机变量的分布列如下表：-2-101230.10.20.20.30.10.1则当时，实数的取值范围是A． B．C． D．11．已知过点作曲线的切线有且仅有1条，则实数的取值是（）A．0 B．4 C．0或-4 D．0或412．设正项等差数列an的前n项和为Sn，若S2019A．1 B．23 C．136二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．函数在点处切线方程为，则=______.14．直线y=x+1与圆x2+y2+2y-3=0交于15．某学校为了了解住校学生每天在校平均开销情况，随机抽取了名学生，他们的每天在校平均开销都不低于20元且不超过60元，其频率分布直方图如图三所示，则其中每天在校平均开销在元的学生人数为_________．16．已知函数，，则的最小值是__________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若存在实数，使得，求正实数的取值范围.18．（12分）某学校实行自主招生，参加自主招生的学生从8个试题中随机挑选出4个进行作答，至少答对3个才能通过初试已知甲、乙两人参加初试，在这8个试题中甲能答对6个，乙能答对每个试题的概率为，且甲、乙两人是否答对每个试题互不影响.（1）试通过概率计算，分析甲、乙两人谁通过自主招生初试的可能性更大；（2）若答对一题得5分，答错或不答得0分，记乙答题的得分为，求的分布列及数学期望和方差.19．（12分）三棱锥中，平面平面，，，分别为，的中点.（1）求证：平面；（2）若，求证：平面.20．（12分）伴随着智能手机的深入普及，支付形式日渐多样化，打破了传统支付的局限性和壁垒，有研究表明手机支付的使用比例与人的年龄存在一定的关系，某调研机构随机抽取了50人，对他们一个月内使用手机支付的情况进行了统计，如表：年龄（单位：岁）[15，25）[25，35）[35，45）[45，55）[55，65）[65，75）人数510151055使用手机支付人数31012721（1）若以“年龄55岁为分界点”，由以上统计数据完成下面的2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为“使用手机支付”与人的年龄有关；年龄不低于55岁的人数年龄低于55岁的人数合计使用不适用合计（2）若从年龄在[55，65），[65，75）内的被调查人中各随机选取2人进行追踪调查，记选中的4人中“使用手机支付”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望；参考数据如下：0.050.0100.001k03.8416.63510.828参考格式：，其中21．（12分）现有9名学生，其中女生4名，男生5名.（1）从中选2名代表，必须有女生的不同选法有多少种？（2）从中选出男、女各2名的不同选法有多少种？（3）从中选4人分别担任四个不同岗位的志愿者，每个岗位一人，且男生中的甲与女生中的乙至少有1人在内，有多少种安排方法？22．（10分）在中，角,,所对的边分别是，，，已知.（1）求的值；（2）若，，，为垂足，求的长.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】分析：首先画出可行域，然后结合目标目标函数的几何意义确定函数取得最大值的点，最后求解最大值即可.详解：绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，联立直线方程：，可得点A的坐标为：，据此可知目标函数的最大值为：.本题选择C选项.点睛：求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.2、B【解析】

根据题意，有，根据斜率公式求出的值，进而联立组成方程组求出，的值，将其代入双曲线的标准方程即可得出结果.【详解】解：根据题意双曲线的焦距为，则双曲线的一个焦点为，则①，双曲线的两条渐近线的夹角为，一条渐近线的斜率为或则或②，联立①、②可得或.则双曲线的标准方程是或.故选：B.【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，涉及双曲线的焦点、渐近线的求法，属于中档题.3、C【解析】因为成等比数列，所以,利用正弦定理化简得：,又，所以原式=所以选C.点睛：此题考察正弦定理的应用，要注意求角度问题时尽量将边的条件转化为角的等式，然后根据三角函数间的关系及三角形内角和的关系进行解题.4、C【解析】

先判断二项式系数最大的项，再根据正负号区别得到答案.【详解】的展开式中共有8项.由二项式系数特点可知第4项和第5项的二项式系数最大，但第4项的系数为负值，所以的展开式中系数最大的项为第5项.故选C.【点睛】本题考查了展开式系数的最大值，先判断二项式系数的最大值是解题的关键.5、A【解析】

利用条件概率的计算公式即可得出．【详解】设事件A表示某地四月份吹东风，事件B表示四月份下雨．根据条件概率计算公式可得在吹东风的条件下下雨的概率P(B|A)=8故选：A【点睛】本题主要考查条件概率的计算，正确理解条件概率的意义及其计算公式是解题的关键，属于基础题.6、C【解析】

本题考查期望与方差的公式，利用期望及方差的公式，建立方程，即可求得结论．【详解】∵E(X)=∴2∴x1=1x∴x故选C.考点：离散型随机变量的期望方差.7、D【解析】试题分析：,所以函数的最小正周期为,函数在区间上是增函数,函数的图像关于直线对称,函数是偶函数.考点：1.三角函数的周期性；2.三角函数的奇偶性；3.图像得对称轴；4.函数的单调性.8、B【解析】

由二倍角的正弦公式以及已知条件得出和的符号，由此得出角所在的象限.【详解】由于点位于第三象限，则，得，因此，角为第二象限角，故选B.【点睛】本题考查角所在象限的判断，解题的关键要结合已知条件判断出角的三角函数值的符号，利用“一全二正弦，三切四余弦”的规律判断出角所在的象限，考查推理能力，属于中等题.9、D【解析】

根据三角函数的单调性分析求解即可.【详解】当时,.根据正弦函数的性质可知,当,即时,取得最小值.故选：D【点睛】本题主要考查了三角函数的最值问题,属于基础题.10、C【解析】分析：根据概率为0.8，确定实数的取值范围详解：因为，所以实数的取值范围为选C.点睛：本题考查分布列及其概率，考查基本求解能力.11、C【解析】

求出导函数，转化求解切线方程，通过方程有两个相等的解，推出结果即可．【详解】设切点为，且函数的导数，所以，则切线方程为，切线过点，代入得，所以，即方程有两个相等的解，则有，解得或，故选C．【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用，其中解答中熟记导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于基础题．12、D【解析】

先利用等差数列的求和公式得出S2019=2019a1+a20192=6057【详解】由等差数列的前n项和公式可得S2019=2019由等差数列的基本性质可得a2∴61所以，1a2+4a因此，1a2+4【点睛】本题考查的等差数列求和公式以及等差数列下标性质的应用，考查利用基本不等式求最值，解题时要充分利用定值条件，并对所求代数式进行配凑，考查计算能力，属于中等题。二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、4【解析】分析：因为在点处的切线方程，所以，由此能求出．详解：因为在点处切线方程为，，

所以从而．

即答案为4.点睛：本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．14、2【解析】

首先将圆的一般方程转化为标准方程，得到圆心坐标和圆的半径的大小，之后应用点到直线的距离求得弦心距，借助于圆中特殊三角形半弦长、弦心距和圆的半径构成直角三角形，利用勾股定理求得弦长.【详解】根据题意，圆的方程可化为x2所以圆的圆心为(0,-1)，且半径是2，根据点到直线的距离公式可以求得d=0+1+1结合圆中的特殊三角形，可知AB=24-2=22【点睛】该题考查的是有关直线被圆截得的弦长问题，在解题的过程中，熟练应用圆中的特殊三角形半弦长、弦心距和圆的半径构成的直角三角形，借助于勾股定理求得结果.15、1【解析】分析：由频率分布直方图，得每天在校平均开销在[50，60]元的学生所点的频率为0.3，由此能求出每天在校平均开销在[50，60]元的学生人数．详解：由频率分布直方图，得：每天在校平均开销在[50，60]元的学生所点的频率为：1﹣（0.01+0.024+0.036）×10=0.3∴每天在校平均开销在[50，60]元的学生人数为500×0.3=1．故答案为1点睛：本题考查频率分布直方图的应用，考查频数的求法，考查频率分布直方图等基础知识，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.16、【解析】

计算导数，然后构造函数，利用导数研究该函数的单调性进而判断原函数的单调性，可得结果.【详解】由题可知：令，则由，所以所以，则在递减所以，又则所以函数在递增所以所以故答案为：【点睛】本题考查函数在区间的最值，难点在于构造函数二次求导，注意细节，需要通过判断函数在区间的单调情况才能代值计算，考查对问题的分析能力，属中档题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析；（2）.【解析】

（1）求出定义域以及，分类讨论，求出大于0和小于0的区间，从而得到的单调区间；（2）结合（1）的单调性，分类讨论，分别求出和以及函数在上的单调区间以及最小值，从而求出的范围。【详解】（1）的定义域为，.当时，，则在上单调递增；当时，由得：﹔由得：.所以在上单调递减，在上单调递增.综上所述：当时，的单调递增区间为；当时，的单调递减区间为，单调递增区间为.（2）由（1）知，当时，在上单调递减，在上单调递增。①当即时，在上单调递增，不符合题意；②当即时，在上单调递减，在上单调递增，由，解得：；③当即时，在上单调递减，由，解得：．综上所述：a的取值范围是.【点睛】本题考查函数的单调性，函数的最值问题，考查导数的应用，分类讨论的思想，有一定的综合性。18、（1）甲通过自主招生初试的可能性更大.（2）见解析，，.【解析】

（1）分别利用超几何概型和二项分布计算甲、乙通过自主招生初试的概率即可；（2）乙答对题的个数服从二项分布，利用二项分布的公式，计算概率，再利用，即得解.【详解】解：（1）参加自主招生的学生从8个试题中随机挑选出4个进行作答，至少答对3个才能通过初试，在这8个试题中甲能答对6个，甲通过自主招生初试的概率参加自主招生的学生从8个试题中随机挑选出4个进行作答，至少答对3个才能通过初试.在这8个试题中乙能答对每个试题的概率为，乙通过自主招生初试的概率，甲通过自主招生初试的可能性更大.（2）根据题意，乙答对题的个数的可能取值为0，1，2，3，4.且的概率分布列为：05101520.【点睛】本题考查了超几何分布和二项分布的概率和分布列，考查了学生实际应用，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.19、（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】试题分析：(1)利用题意证得，由线面平行的结论有平面；(2)利用题意可得：，，结合线面垂直的结论则有平面．试题解析：（1）∵，分别为，的中点∴∵平面，平面∴平面（2）∵，为的中点∴∵平面平面，平面平面，平面∴平面平面∴∵，∴∵平面，平面，∴平面．点睛：注意使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面”20、（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】

（1）根据题中的数据补充列联表，计算出的值，根据临界值表找出犯错误的概率，于此可对题中的问题下结论；（2）先确定年龄在和的人数，可得知的取值有、、、，然后利用超几何分布列的概率公式计算概率，列出随机变量的分布列，并计算出的数学期望。【详解】（1）根据题意填写列联表，如下；年龄不低于55岁的人数年龄低于55岁的人数合计使用33235不适用7815合计104050根据表中数据，计算K2的观