平均数标准差和变异系数

平均数标准差和变异系数第1页，共41页，2023年，2月20日，星期一第三章平均数、标准差和变异系数平均数（mean）用于反映资料的集中性，即观测值以某一数值为中心而分布的性质。标准差（standarddeviation）与变异系数（variationcoefficient）反映资料的离散性，即观测值分散变异的性质。第2页，共41页，2023年，2月20日，星期一第一节平均数一、平均数的意义和种类二、算术平均数的计算方法三、算术平均数的重要特性四、算术平均数的作用五、总体平均数第3页，共41页，2023年，2月20日，星期一一、平均数的意义和种类平均数(average)是数据的代表值，表示资料中观察值的中心位置，并且可作为资料的代表而与另一组资料相比较，借以明确二者之间相差的情况。平均数是统计学中最常用的统计量，用来表明资料中各观测值相对集中较多的中心位置。平均数主要包括有：算术平均数（arithmeticmean）中位数（median）众数（mode）几何平均数（geometricmean）调和平均数（harmonicmean）第4页，共41页，2023年，2月20日，星期一算术平均数:一个数量资料中各个观察值的总和除以观察值个数所得的商数，称为算术平均数(arithmeticmean)，记作。因其应用广泛，常简称平均数或均数(mean)。均数的大小决定于样本的各观察值。012345678910平均数=5平均数=61234567141、算术平均数第5页，共41页，2023年，2月20日，星期一2、中位数中位数:将资料内所有观察值从大到小排序，居中间位置的观察值称为中数(median)，计作Md。当观测值的个数是偶数时，则以中间两个观测值的平均数作为中位数。当所获得的数据资料呈偏态分布时，中位数的代表性优于算术平均数。中位数的计算方法因资料是否分组而有所不同。对于未分组资料，先将各观测值由小到大依次排列，找到中间的1个数（n为奇数）或2个数（n为偶数），之后求平均即可。0123456789101214012345678910中位数=5中位数=5第6页，共41页，2023年，2月20日，星期一众数:资料中最常见的一数，或次数最多一组的中点值，称为众数(mode)，记为M0。如棉花纤维检验时所用的主体长度即为众数。3、众数众数可能不存在可能有多个众数多用于属性数据01234567891011121314众数=9没有众数第7页，共41页，2023年，2月20日，星期一几何平均数:如有n个观察值，其相乘积开n次方，即为几何平均数(geometricmean)，用G代表。其计算公式如下：

4、几何平均数第8页，共41页，2023年，2月20日，星期一为了计算方便，可将各观测值取对数后相加除以n，得lgG，再求lgG的反对数，即得G值，即：第9页，共41页，2023年，2月20日，星期一调和平均数:（harmonicmean）各观测值倒数的算术平均数的倒数，称为调和平均数，记为H。即

（4.6）5、调和平均数第10页，共41页，2023年，2月20日，星期一对于同一资料：算术平均数>几何平均数>调和平均数上述五种平均数，最常用的是算术平均数。第11页，共41页，2023年，2月20日，星期一算术平均数可根据样本大小及分组情况而采用直接法或加权法计算。(一)直接法主要用于未经分组资料平均数的计算。二、算术平均数的计算方法第12页，共41页，2023年，2月20日，星期一设某一资料包含n个观测值：x1、x2、…、xn，则样本平均数可通过下式计算：（4.1）简写：第13页，共41页，2023年，2月20日，星期一【例1】某植保站测得10只某类害虫的体重分别为500、520、535、560、585、600、480、510、505、490（mg），求其平均数。由于Σx=500+520+535+560+585+600+480+510+505+490=5285，n=10得：即10只害虫的平均体重为528.5mg。第14页，共41页，2023年，2月20日，星期一（二）加权法（4.2）式中：xi-第i组的组中值；fi-第i组的次数；k-分组数第i组的次数fi是权衡第i组组中值xi

在资料中所占比重大小的数量，因此将fi称为是xi

的“权”，加权法也由此而得名。对于样本含量n≥30以上且已分组的资料，可以在次数分布表的基础上采用加权法计算平均数，计算公式为：第15页，共41页，2023年，2月20日，星期一【例2】从A、B两小区分别抽取4个和5个小麦麦穗，测得其样本如下，用两种方法计算其平均值，并比较计算结果。

第16页，共41页，2023年，2月20日，星期一【例3】140行水稻产量（P38），用两种方法求其平均数，并比较计算结果。（1）直接法：第17页，共41页，2023年，2月20日，星期一（2）加权法：第18页，共41页，2023年，2月20日，星期一1、算术平均数的计算与每一个数（值）都有关。

2、如果是n1个值的平均数,是n2个值的平均数，那么全部n1＋n2个值的算术平均数是（加权平均数）

三、算术平均数的重要特性第19页，共41页，2023年，2月20日，星期一

3、样本各观测值与平均数之差的和为零，即离均差之和等于零。

或简写成第20页，共41页，2023年，2月20日，星期一

4、样本各观测值与平均数之差的平方和为最小，即离均差平方和为最小。（常数）或简写为：第21页，共41页，2023年，2月20日，星期一5、若A为任意常数，第22页，共41页，2023年，2月20日，星期一6、平均数是有单位的数值，与原资料单位相同。注意：必须性状同质时，才有代表性。第23页，共41页，2023年，2月20日，星期一第24页，共41页，2023年，2月20日，星期一算术平均数是描述观测资料的重要特征数，它的作用主要有以下两点：1.指出数据资料的中心位置，标志着资料所代表性状的数量水平和质量水平。2.可以作为样本或资料的代表数据与其他资料进行比较。四、算术平均数的作用第25页，共41页，2023年，2月20日，星期一

对于总体而言，通常用μ表示总体平均数，有限总体的平均数为：

（4.3）

式中，N表示总体所包含的个体数。当一个统计量的数学期望等于所估计的总体参数时，则称此统计量为该总体参数的无偏估计量。统计学中常用样本平均数（）作为总体平均数（μ）的估计量，并已证明样本平均数是总体平均数μ的无偏估计量。五、总体平均数第26页，共41页，2023年，2月20日，星期一第二节变异数平均数作为样本的代表，其代表性的强弱受样本资料中各观测值变异程度的影响。每个样本有一批观察值，除以平均数作为样本的集中性表现外，还应该考虑样本内各个观察值的变异情况，才能通过样本的观察数据更好地描述样本，乃至描述样本所代表的总体，为此必须有度量变异的统计数。常用的描述变异程度指标有：1、极差（range）2、方差（variance）3、标准差（standarddeviation）4、变异系数（variationcoefficient）第27页，共41页，2023年，2月20日，星期一一、极差极差(range)，又称全距，记作R，是资料中最大观察值与最小观察值的差数。极差虽可以对资料的变异有所说明，但它只是两个极端数据决定的，没有充分利用资料的全部信息，而且易于受到资料中不正常的极端值的影响。所以用它来代表整个样本的变异度是有缺陷的。第28页，共41页，2023年，2月20日，星期一二、方差为了正确反映资料的变异度，较合理的方法是根据样本全部观察值来度量资料的变异度。这时要选定一个数值作为共同比较的标准。平均数既作为样本的代表值，则以平均数作为比较的标准较为合理，但同时应该考虑各样本观察值偏离平均数的情况，为此这里给出一个各观察值偏离平均数的度量方法。第29页，共41页，2023年，2月20日，星期一为了准确地表示样本内各个观测值的变异程度，人们首先会考虑到以平均数为标准，求出各个观测值与平均数的离差，()，称为离均差。虽然离均差能表示一个观测值偏离平均数的性质和程度，但因为离均差有正、有负，离均差之和为零，即Σ()=0，因而不能用离均差之和Σ()来表示资料中所有观测值的总偏离程度。为了解决离均差有正、有负，离均差之和为零的问题，可先求离均差的绝对值并将各离均差绝对值之和除以观测值个数n求得平均绝对离差，即Σ|x–x|/n。虽然平均绝对离差可以表示资料中各观测值的变异程度，但由于平均绝对离差包含绝对值符号，使用很不方便，在统计学中未被采用。第30页，共41页，2023年，2月20日，星期一

我们还可以采用将离均差平方的办法来解决离均差有正、有负，且离均差之和为零的问题。先将各个离均差平方，即()2，再求离均差平方和，即，简称平方和，记为SS；由于离差平方和常随样本大小而改变，为了消除样本大小的影响，用平方和除以样本大小，即，求出离均差平方和的平均数；第31页，共41页，2023年，2月20日，星期一为了使所得的统计量是相应总体参数的无偏估计量，统计学证明，在求离均差平方和的平均数时，分母不用样本含量n，而用自由度n-1，于是，我们采用统计量表示资料的变异程度。统计量称为均方（meansquare,缩写为MS）,又称样本方差，记为S2，即

S2=（4.7）第32页，共41页，2023年，2月20日，星期一相应的总体参数叫总体方差，记为σ2。对于有限总体而言，σ2的计算公式为：（4.8）第33页，共41页，2023年，2月20日，星期一标准差为方差的正平方根值，用以表示资料的变异度,其单位与观察值的度量单位相同。从样本资料计算标准差的公式为：同样，样本标准差是总体标准差的估计值。总体标准差用表示：

第34页，共41页，2023年，2月20日，星期一由于样本方差带有原观测单位的平方单位，在仅表示一个资料中各观测值的变异程度而不作其它分析时，常需要与平均数配合使用，这时应将平方单位还原，即应求出样本方差的平方根。统计学上把样本方差S2的平方根叫做样本标准差，记为S，即：三、标准差第35页，共41页，2023年，2月20日，星期一由于所以（4.9）式可改写为：（4.10）第36页，共41页，2023年，2月20日，星期一相应的总体参数叫总体标准差，记为σ。对于有限总体而言，σ的计算公式为：