定积分课件梁淑莲VIP

定积分课件(梁淑莲第一页，共66页。本章基本内容1 定积分的概念与性质2 定积分基本公式3 定积分的积分法4 广义积分第二页，共66页。本章学习目的理解定积分的概念和意义，掌握定积分的运算规则和性质熟练掌握和应用牛顿---莱布尼兹公式熟练掌握定积分的计算方法了解无限区间上广义积分的定义和计算第三页，共66页。一、定积分问题举例例1.求曲边梯形的面积boxya图6－1y=f(x)注:设y=f(x)在区间[a,b]上非负、连续。由直线x=a,x=b,y=0,及曲线y=f(x)所围成的图形,称为曲边梯形。其中曲线弧称为曲边.第一节定积分的概念与性质曲边第四页，共66页。(1)

分割：分析：（2）取近似：（3）求和：boxya图6－1y=f(x)第五页，共66页。(1)

分割：boxya图6－1y=f(x)分析：（2）取近似：（3）求和：（4）取极限：第六页，共66页。boxyay=f(x)(1)

分割：将[a,b]分成n个小区间,称为子区间.过每个分点作平行于y轴的直线段,把曲边梯形分成n个窄曲边梯形，设其面积为∆Ai(i=1，2,…,n).记分点为（2）取近似：在每个小区间[xi-1,xi]上任取一点i，第七页，共66页。boxyay=f(x)（3）求和：

所有小矩形的面积和，即得曲边梯形面积A的近似值第八页，共66页。boxyay=f(x)即:（4）取极限：使每个小区间的长度趋于零，第九页，共66页。例2.变速直线运动的路程.设某物体作变速直线运动.已知速度V=V(t)是时间间隔[a,b]上的连续函数.计算在这段时间内物体所经过的路程S.分析：对于匀速直线运动，V=V(t)是常数，用匀速运动近似代替变速运动，求出路程的近似值，通过取极限，算出所求路程。具体过程如下：此时，路程=速度X时间。现在，速度不是常数而是随时间变化的变量，因此，路程不能按上述公式来计算。然而，由于速度是连续变化的，在较短的时间内速度变化不大，近似于匀速，可仿照上例，将时间间隔[a,b]分割，在每一小段内，第十页，共66页。(1)分割：匀速直线运动.路程＝速度×时间在[a,b]内任意插入若干个分点[a,b]分成n个小段：[t0,t1],[t1,t2],…,[tn-1,tn]第十一页，共66页。（2）取近似：在每个子区间[ti-1,

ti]上任取一点i由时刻ti-1到时刻ti走过的路程为Si

（3）求和：将所有这些近似值求和，得到路程的近 似值，即将时间间隔[a,

b]分得越细,近似公式越精确.第十二页，共66页。即:（4）取极限：的极限就是所求的路程。第十三页，共66页。例1与例2小结例1曲边梯形面积为例2变速直线运动的路程为以直代曲以匀速代非匀速第十四页，共66页。求曲线弧的长度:第十五页，共66页。求变力作功：设质点m受力变F的作用沿x轴由点a移至点b，并设力F平行于x轴。求变力F对质点所作的功W？oxabΔWiF(xi)m变力F(x)第十六页，共66页。二、定积分定义1.定义:设函数f(x)在[a,b]上有界,将[a,b]任意分成n个子区间,分点为在每个子区间[xi-1,

xi]上任取一点i,i[xi-1,

xi],则称这个极限值为函数f(x)在[a,b]上的定积分.记成第十七页，共66页。被积函数积分符号积分下限积分上限积分变量称为积分区间Sf(x)dx叫做被积表达式.第十八页，共66页。根据定积分的定义，前面所讨论的两个引例就可以用定积分概念来描述：

例1

曲线、x轴及两条直线x=a,x=b所围成的曲边梯形面积A等于函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，即第十九页，共66页。例2 作变速直线运动的路程S是速度函数V=V(t)在时间间隔[a,b]上的定积分：第二十页，共66页。1.几点说明：（1） 设f(x)

在区间[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上

可积.设f(x)在区间[a,b]上有界,且只有有限个第一类间断点,则f(x)在[a,b]上可积.第二十一页，共66页。(2)定积分数值与积分变量记号无关：定积分的数值只与被积函数及积分区 [a,b]有关,与积分变量的记号无关.(3)

规定当a=b时,

(4)

规定当a>b时,第二十二页，共66页。2.定积分的几何意义.(1)若当x[a,b]时,连续函数f(x)0bAoxyay=f(x)A第二十三页，共66页。(2)

若当x[a,b]时,连续函数f(x)0,

oxyaby=f(x)A第二十四页，共66页。若当x[a,b]时,连续函数f(x)既取得正值,又取得负值时，y=f(x)oxyabA1A2A3（3）第二十五页，共66页。性质1

两个函数代数和的定积分等于它们定积分的代数 和，即：6.1.4定积分的基本性质

设下面函数f(x)，fi(x)，g(x)在[a,b]上可积.例：第二十六页，共66页。推论

有限个函数的代数和的定积分等于各 函数的定积 分的代数和，即例：第二十七页，共66页。性质2

被积函数的常数因子可以提到积分号外.例：第二十八页，共66页。综合性质1和性质2得：例：第二十九页，共66页。性质3如果积分区间[a,b]被分点c分成区间[a,c]和 [c,b],则oxyabc第三十页，共66页。移项：当c在区间[a,b]之外时：性质3表明定积分对积分区间具有可加性，这个性质可以用于求分段函数的定积分oxyacb第三十一页，共66页。例1解OXY121第三十二页，共66页。利用定积分的几何意义，可分别求出OXY121第三十三页，共66页。性质4oxyab1第三十四页，共66页。性质5推论第三十五页，共66页。性质6（定积分估值定理）设M和m分别是ƒ(x)在区间［a,b］上的最大值与最小值，则第三十六页，共66页。证明：第三十七页，共66页。例2解第三十八页，共66页。性质7(定积分中值定理)如果函数f(x)在闭区间[a,b] 上连续，则在积分区间[a,b]上至少存在一个点 证明

因为函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，根据闭区间上连续函数的最大值和最小值定理，f(x)在[a,b]上一定有最大值M和最小值m，由定积分的性质6，有 ,使下式成立第三十九页，共66页。即 数值介于f(x)在[a,b]上的最大值 M和最小值m之间.根据闭区间上连续函数的介值定 理,至少存在一点,使得即:第四十页，共66页。性质7的几何意义：在上至少存在一点,使得曲边梯形的面积等于同一底边而高为的矩形的面积.OXYab第四十一页，共66页。习题六1、一曲边梯形由曲线轴及围成，试列出用定积分表示该曲边梯形的面积的表达式。解：第四十二页，共66页。作直线运动，2、一物体以速度试列出时间间隔内该物体所走过的路程S的定积分表达式。解：第四十三页，共66页。3、利用定积分的几何意义，计算下列各题（1）OXY112第四十四页，共66页。OXY第四十五页，共66页。OXYKab第四十六页，共66页。OXY2-2第四十七页，共66页。4、设是上的单调增加的有界函数，证明证明：由性质6，得单调增加第四十八页，共66页。6、估计下列积分值解：在上单调递增，第四十九页，共66页。解：第五十页，共66页。练习：习题6.1第5题第五十一页，共66页。第六章

定积分10xyy=x2第五十二页，共66页。第六章

定积分10xyy=x2第五十三页，共66页。0xy=x2y解:因为y=x2在[0,1]上连续,定积分存在,将区间[0,1]等分成n等份,分点为第五十四页，共66页。于是0xy=x2y第五十五页，共66页。(1)

分割：boxya图6－1y=f(x)分析：（2）取近似：（3）求和：第五十六页，共66页。(1)

分割：boxya图6－1y=f(x)分析：（2）取近似：（3）求和：（4）取极限：第五十七页，共66页。(1)

分割：（2）取近似：（3）求和：（4）取极限：boxya图6－1y=f(x)分析：第五十八页，共66页。例1与例2小结例1曲边梯形面积为以直代曲例2变速直线运动的路程为以匀速代非匀速第五十九页，共66页。在科学技术上，还有许多问题如曲线弧的长度、旋转体的体积、变力作功等虽然实际背景不同也都归结为这种特定和式的极限！为此抛开问题的实际意义，将这种解决问题的想法抽象出来，从数学的角度，用纯数学语言加以描述，就得到定积分的概念。第六十页，共66页。若当x[a,b]时,连续函数f(x)既取得正值,又取得负值时，y=f(x)oxyabA1A2A3（3）第六十一页，共66页。曲线弧的长度:第六十二页，共66页。其中:f(x)叫做被积函数.f(x)dx叫做被积表达式.x叫做积分变量,a叫做积分下限.b叫做积分上限,[a,b]叫做积分区间.第六十三页，共66页。二、定积分定义1.定义:设函数f(x)在[a,b]上有界,将[a,b]任意分成n个子区间,分点为在每个子区间[xi-1,

xi]上任取一点i,i[xi-1,

xi],则称这个极限值为函数f