学习指导-7-非正弦周期电路

学习指导-7-非正弦周期电路第一页，共28页。二、教学要求

1．掌握非正弦周期信号的傅立叶级数分解，注意具有对称性时信号分解的简化方法。2．熟练掌握周期信号作用下有效值、平均值和平均功率的计算。3．深刻理解谐波分析方法，熟练地运用此方法对线性电路进行分析。4．理解周期信号频谱的含义，熟练地画出信号的频谱图。5．了解低通、高通滤波器的作用。第二页，共28页。8.2学习要点1、非正弦周期信号的傅里叶级数展开

满足“狄利克雷”条件，周期为T的任意一个的周期信号f(t)，可以展开成一个收敛的傅里叶级数：式中：

第三页，共28页。第四页，共28页。2、信号的对称性与傅立叶级数

第五页，共28页。3、非正弦周期信号傅立叶级数的性质

非正弦周期信号的傅里叶级数具有离散性、谐波性和收敛性（衰减性）。由于具有衰减性，工程上可以只取级数的少数几项近似地表示原信号。同时，也可以只用少数几项正弦或余弦分量，合成得到希望的非正弦周期信号。4、非正弦周期信号傅立叶级数的性质

（1）有效值周期电流有效值的定义为用谐波系数计算为第六页，共28页。（2）平均值周期电流的平均值定义为（3）平均功率周期电流信号的平均功率定义为该电流加在1Ω电阻上所消耗功率的平均值：用谐波系数计算为：一个端口的平均功率，定义为在一个周期内它的瞬时功率p的（直接）平均值：第七页，共28页。用谐波系数计算为：5．非正弦周期电流电路的计算非正弦周期电流电路中电压、电流及功率的计算，可以应用叠加定理来进行。具体步骤：（1）将非正弦周期形式的电压或电流展开为傅里叶级数。（2）直流分量，对电路进行直流分析。电路中的电容开路，电感短路。（3）谐波分量，分别对电路进行不同频率下的正弦稳态分析。（4）将（2）和（3）步骤计算结果相加，电压、电流的叠加是瞬时值表达式的叠加。第八页，共28页。6．周期性信号的频谱将傅立叶级数各系数的幅度Ak对的关系绘制成图形，称为周期信号的幅度频谱。将各系数初相位对的关系绘制成图形，称为周期信号的相位频谱。周期信号的傅立叶级数也可以表示为指数形式，由指数形式的复系数对的关系绘制的图形，称为周期信号的复数频谱。频谱图更清楚、更直观地描述了周期信号的频域特征。7．低通、高通滤波器滤波器由电容、电感与电阻组成。滤波器对某一部分的谐波分量有阻碍作用。低通滤波器允许频率低于截止频率的谐波分量通过；高通滤波器允许频率高于截止频率的谐波分量通过。第九页，共28页。2.精选例题解析例7-1

求例7-1图所示周期信号的傅立叶级数。例7-1

解析：求周期信号的傅立叶级数，主要是求出级数的傅立叶系数。手工计算系数是比较繁杂的，如果周期信号是偶函数、或是奇函数，部分系数则为0，可以减少计算量。f1(t)是偶函数，它的傅立叶级数中正弦分量为0，即。因此，只需计算余弦分量的系数。f1(t)在正半周期内的表达式为：第十页，共28页。先计算直流分量系数：是周期信号在一个周期内的平均值，计算时可以通过求出一个周期内的面积，再做平均：计算各谐波分量余弦系数：上式中，是基波频率。仔细计算积分，得：傅里叶级数为：第十一页，共28页。例7-2

利用上题的结果求例7-2图所示周期信号的傅立叶级数。例7-2

解析：仔细观察f2(t)与f1(t)，不难发现：f2(t)是将f1(t)向下平移了，同时f2(t)是f1(t)右移，即：上题中已经求出了f1(t)的傅立叶级数，于是在f1(t)的傅立叶级数中以代替t、再减去，便可得到f2(t)的傅立叶级数。第十二页，共28页。当周期信号波形向右移动时，将傅立叶级数中的改为。第十三页，共28页。例7-3

已知周期信号f(t)的四分之一周期的波形如例7-3图（a）所示，如果f(t)是偶函数，除了直流成分外，又只含有偶次谐波，试画出f(t)一个周期的完整波形。解析：此类分析注意奇偶函数的运算规律，如：两个偶函数的乘积仍是偶函数；两个奇函数的乘积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的乘积是奇函数。以纵轴对称，一个完整周期的余弦函数是偶函数，如图（c）；一个完整的周期正弦函数是奇函数，如图（d）。如果只考虑半个周期，而以处为对称轴，半个周期的余弦函数是奇函数，半个周期的正弦函数是偶函数。余弦、正弦函数的频率加倍，它们的奇、偶性如图（e）和（f）所示，请自行分析。在计算傅立叶级数的系数a0、ak、bk时，含有乘积、，如果乘积的结果是奇函数，则在一个周期内乘积的积分为0。

第十四页，共28页。第十五页，共28页。以图（c）、（d）示意k为奇数时余弦、正弦函数波形情况；以图（e）、（f）示意k为偶数时余弦、正弦函数波形情况。题中f(t)是偶函数，是奇函数，傅立叶系数，级数中只含有余弦项，不含正弦项。再考虑图（c）、（e）余弦函数的正半周与f(t)正半周的乘积。以处为对称轴，如果f(t)正半周是奇函数，它与图（c）正半周的乘积是偶函数，积分将不为0；它与图（e）正半周的乘积是奇函数，积分为0。如果f(t)正半周是偶函数，它与图（c）正半周的乘积是奇函数，积分为0；它与图（e）正半周的乘积是偶函数，积分不为0。以题意，级数中只含有偶次谐波，说明f(t)正半周与图（c）正半周的乘积是奇函数，与图（e）正半周的乘积是偶函数，也就是说：f(t)正半周是偶函数。综上得出f(t)一个完整周期的波形如图（b）所示。第十六页，共28页。例7-4

解析：有效值为直流分量的平方与各次谐波分量有效值的平方求和的平方根。电压有效值第十七页，共28页。电流有效值平均功率是直流功率与各次谐波平均功率的求和。谐波的平均功率，就是正弦交流量有功功率的计算，含有功率因数，此时要考虑谐波电压与谐波电流的相位差。当谐波电压与谐波电流的表示形式（正弦或余弦）不一致时，首先要将它们变换为一致形式。本题的形式是一致的，不需变换。平均功率第十八页，共28页。解析：有效值的计算与上题一样：电压有效值：电流有效值：平均功率的计算，首先要将谐波电压、谐波电流的形式统一。第十九页，共28页。例7-6

解析：首先需要计算出u2及i的瞬时表达式，然后才能计算有效值和有功功率（平均功率）。先将电压形式统一：（1）对于u1中的直流成分，对电路做直流分析，直流时电感短路、电容开路处理。第二十页，共28页。（2）对于u1中的基波成分，对电路做基波交流分析。第二十一页，共28页。（3）对于u1中的三次谐波成分，对电路做谐波交流分析。此时，，，即电感、电容发生并联谐振，并联电抗为无穷大，电感、电容并联相当于开路。u2及i的瞬时表达式：第二十二页，共28页。有效值：有功功率是电压u1与电流i之间的计算：第二十三页，共28页。例7-7解析：输入电压中既有直流，又有谐波。先分析电路在不同谐波频率下的传输特性，即输出电压与输入电压之比：第二十四页，共28页。与滤波器的传输特性比较，这是低通滤波器的形式，截止频率计算输出电压：直流分析，此时电容开路：谐波分析，计算不同频率下的传输特性：基波频率下，：第二十五页，共28页。100次谐波频率下，：不同频率下的输出谐波电压：输出电压瞬时值：由于电路是低通滤波器，对100次谐波衰减很明显。第