排列问题的递归算法

排列问题的递归算法第1页，共11页，2023年，2月20日，星期一4.1.4排列问题的递归算法

有n个元素，把它们编号为1，2…n，用一个数组A来存放所生成的排列，然后输出它们。假定开始时n个元素以依次存放在数组A中，为了生成这n个元素的所有排列，可以采取下面的步骤：（1）第一个元素为1，即排列的第一个元素为1，生成后面n-1个元素的排列。

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（2）第一个元素和第二个元素互换，使排列的第一个元素为2，生成后面n-1个元素的排列。

（3）如此继续，最后第一个元素和第n个元素互换，使排列的第一个元素为n，生成后面n-1个元素的排列。第3页，共11页，2023年，2月20日，星期一

在上面的第一步，为生成后面n-1个元素的排列，继续采取下面的步骤：（1）第二个元素为2，即排列的第二个元素为2，生成后面n-2个元素的排列。（2）第二个元素和第三个元素互换，使排列的第二个元素为3，生成后面n-2个元素的排列。

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（3）如此继续，最后第二个元素和第n个元素互换，使排列的第二个元素为n，生成后面n-2个元素的排列。

这种步骤一直继续，当排列的前n-2个元素已确定后，为生成后面2个元素的排列，可以：（1）第n-1个元素为n-1,即排列的第n-1个元素为n-1，生成后面1个元素的排列,此时n个元素已构成一个排列。（2）第n-1个元素和第n个元素互换，使排列的第n-1个元素为n，生成后面1个元素的排列,此时n个元素已构成一个排列。

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令排列算法perm(A,k,n)表示生成数组后面个元素的排列。通过上面的分析有：（1）基础步：k=1,只有一个元素，已构成一个排列。（2）归纳步：对任意的k,1<k<=n完成perm(A,k-1,n),逐一对第n-k元素与第n-k~n元素进行互换，每互换一次，就执行一次perm(A,k-1,n)操作，产生一个排列。

由此，排列生成的递归算法可描述如下：第6页，共11页，2023年，2月20日，星期一算法4.5排列的生成输入：数组A[],数组的元素个数n输出：数组A[]的所有排列1.template<classType>2.voidperm(TypeA[],intk,intn)3.{4. inti;5. if(k==1)6. for(i=0;i<n;i++) /*已构成一个排列,输出它*/7. cout<<A[i];8. else9. {10. for(i=n-k;i<n;i++)/*生成后续的一系列排列*/11. {12. swap(A[i],A[n-k]);13. perm(A,k-1,n);14. swap(A[i],A[n-k]);15. }16. }17.}第7页，共11页，2023年，2月20日，星期一第8页，共11页，2023年，2月20日，星期一第9页，共11页，2023年，2月20日，星期一4.1.5递归算法的讨论

结构清晰明了、容易阅读、容易用数学归纳法证明它的正确性。程序调试很方便。递归深度加深，工作栈所需空间增大，递归调用时所花辅助操作增多。运行效率较低。可