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质数合数一、赛点要求：质数一个大于1的正整数a，如果仅有1与a这两个正约数，那么a叫做质数，也叫素数．合数如果一个正整数a除了1与a这两个正约数外还有其他正约数，那么a叫做合数．质因数如果一个正整数a的一个约数p是质数，则p叫做a的质因数，也可称为质约数．值得指出的是，质数与合数都是大于1的正整数．1既不是质数也不是合数．如果说单数和双数是正整数集的一种分类的话，那么正整数集的另一种分类方式就是将全体正整数分成1、质数和合数三类．所有正的偶数中除了2是质数外，其他均为合数．2是最小的质数．质数只有1和本身两个正约数，质数中只有一个偶数2如果两个质数的和或差是奇数那么其中必有一个是2，如果两个质数的积是偶数那么其中也必有一个是2，3任何合数都可以分解为几个质数的积。能写成几个质数的积的正整数就是合数。正整数的一种分类：二、类型分解：例1定理证明：定理1设a是一个大于1的正整数，则a的大于1的最小正约数p一定是质数．证若p不是质数，因p>1，由定义知，p有不同于1与其本身的正约数q，即1<q<p，且q｜p，于是q｜a，这与p是a的大于1的最小正约数矛盾．评点：凡大于1的整数至少有一个质因数．定理2若p是质数，则对于任一整数a，或者p｜a，或者(p，a)=1．证因(p，a)｜p，(p，a)≥1，而p是质数，因此，或者(p，a)=1，或者(p，a)=p，即p｜a．推论设a1，a2，…，an(n≥2)都是整数,p为质数，若p｜a1a2…an，则存在k(1≤k≤n)使得p｜ak．证若a1，a2，…，an都不能被p整除，则(p，ai)=1(i=1，2，…，n)，于是由互质的性质有(p，a1a2…an)=1．另一方面，p｜a1a2…an，故(p，a1a2…an)=p，从而有p=1．矛盾．定理3质数有无穷多个．证设p是任一质数，令a=p!+1，由定理1，a有一个质因数q，即q｜p!+1，且q>1。又因为(p!，p!+1)=1，所以，qp!，从而q>p，即对任意的质数p，存在比p更大的质数q，证毕．评点：此三个定理已被证明，今后可以直接应用。例2两个质数的和等于奇数a(a≥5)。求这两个数解：∵两个质数的和等于奇数∴必有一个是2所求的两个质数是2和a－2。例3己知两个整数的积等于质数m,求这两个数解：∵质数m只含两个正约数1和m,又∵（－1）（－m）=m∴所求的两个整数是1和m或者－1和－m.例4己知三个质数a,b,c它们的积等于30求适合条件的a,b,c的值解：分解质因数：30＝2×3×5适合条件的值共有：应注意上述六组值的书写排列顺序，本题如果改为4个质数a,b,c,d它们的积等于210,即abcd=2×3×5×7那么适合条件的a，b，c，d值共有24组，试把它写出来。例5试写出4个連续正整数，使它们个个都是合数。解：（本题答案不是唯一的）设N是不大于5的所有质数的积，即N＝2×3×5那么N＋2，N＋3，N＋4，N＋5就是适合条件的四个合数即32，33，34，35就是所求的一组数。本题可推广到n个。令N等于不大于n+1的所有质数的积，那么N＋2，N＋3，N＋4，……N＋（n+1）就是所求的合数。三、专题训练：1、小于100的质数共___个，它们是_________________________2、己知质数P与奇数Q的和是11，则P＝＿＿，Q＝＿＿3、己知两个素数的差是41，那么它们分别是＿＿＿＿＿4、如果两个自然数的积等于19，那么这两个数是＿＿＿如果两个整数的积等于73，那么它们是＿＿＿＿如果两个质数的积等于15，则它们是＿＿＿＿＿5、两个质数x和y，己知xy=91,那么x=__,y=__,或x=__,y=__.6、三个质数a,b,c它们的积等于1990.那么7、能整除311＋513的最小质数是＿＿8、己知两个质数A和B适合等式A＋B＝99，AB＝M。求M及＋的值9、试写出6个連续正整数，使它们个个都是合数。10、具备什么条件的最简正分数可化为有限小数？11、求适合下列三个条件的最小整数：大于1②没有小于10的质因数③不是质数12、某质数加上6或减去6都仍是质数，且这三个质数均在30到50之间，那么这个质数是＿＿＿13、一个质数加上10或减去14都仍是质数，这个质数是＿＿。专题训练答案：1.25个2.2，93.2，434.1，19；1，73或－1，－7356.1900＝2×5×199有6组7.28.9.令N＝2×3×5×7＝210，所求合数为N＋2，N＋3，……10.分母只含2和5的质因数11.11×1112.3713.3四、同步测试：1.试写出10个连续自然数，个个都是合数.2.已知质数a，与奇数b的和等于11，那么a=___,b=___.3.两个互质数的最小公倍数是72，若这两个数都是合数，那么它们分别等于____，____.4.写出10个连续正奇数，个个都是合数，可设m=(10+1)×2，m!=22!，那么所求的合数是22!+3，_____,____,____,……5.写出10个连续自然数，个个都是合数，还可令N=2×3×5×7×11.(这里11=10+1，即N是不大于11的质数的积).那么N+2，N+3，N+4，……N+11就是所求的合数.这是为什么？如果要写15个呢？6.已知：x,m,n都是正整数.求证：24m+2+x4n是合数.同步测试答案：1.答案不是唯一的，其中的一种解法是：令A=1×2×3×4×5×6×7×8×9×10×11那么A+2，A+3，A+4，A+5，A+6，A+7，A+8，A+9，A+10，A+11就是10个连续数，且个个都是合数.一般地，要写出n个连续自然数，个个是合数，可用令m=n+1,那么m!+2,m!+3,m!+4,+……+m!+n+1就是所求的合数.∵m!+i(2≤i≤n+1)有公约数i.2.2，9.3.8，9.4.22!+3，22!+5，