基本支撑体系数学资料竞赛指导初中数学竞赛与课外活动指导专题微课

三角形的“五心”一、赛点要求：与三角形有关的重心、外心、垂心、内心、旁心，这5个重要的点称为三角形的“五心”．重心是三角形的三条中线的交点，且各中线被这点分成比为2∶1的两部分．外心是三角形三边的垂直平分线的交点，此点到三角形三个顶点的距离都相等，以此点为圆心，到一顶点的距离为半径的圆经过三角形的三顶点(即是三角形的外接圆)．垂心是从三角形的各顶点向其对边所作的三条垂线(即三高线)的交点．三角形三个顶点、三个垂足、垂心这7个点可以得到6个四点圆．内心是三角形的三条内角平分线的交点．此点到三角形三边的距离都相等．以此点为圆心且到三角形一边的距离为半径的圆分别与三角形的三边相切．三角形的面积等于内切圆半径与三角形周长的一半的积．旁心是三角形的任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点，此点到三角形三边所在直线的距离都相等．以此点为圆心且到三角形一边所在直线的距离为半径的圆分别切三角形一边及其余两边的延长线．三角形有三个旁心．关于三角形“五心”问题包含两个基本内容，一是涉及到线共点，二是这“五心”的若干应用．通过处理三角形“五心”问题，我们可以得到处理线共点问题的基本方法，以及如何运用“五心”处理线段及角之间关系问题的基本思路．二、类型分解：例1证明三角形的三条内角平分线交于同一点.证明：设D、E、F分别是ABC的内角平分线AD，BE，CF与边BC，CA，AB的交点，则易知（如图过D点作DRAC）所以从而知AD,BE,CF共点I.(2)证明三条高线相交与同一点H.当ABC为锐角三角形时，如图，则有BD=ABcosB,CD=ACcosC,CE=BCcosC,AE=ABcosA,AF=ACcosA,FB=BCcosB.于是有从而知AD,BE,CF共点I.当ABC为钝角三角形时，如图，则BD=ABcosB,CD=ACcosC,CE=BCcosC,AE=AB（-cosA）,AF=AC（-cosA）,FB=BCcosB.于是有从而知AD,BE,CF共点.当ABC为直角三角形时，高AD,BE,CF经过直角定点，即它们共点.例2证明三角形重心定理：三角形重心到各顶点的距离等于过该顶点中线的.如图在ABC中，AD,BE,CF为三中线，G为重心，求证：证明取CG的中点P，BG的中点Q，连结PQ，EF，PE，QF.∵PQ是GBC的中位线，PQBC又∵EF是ABC的中位线，EFBC于是PQEF.∴四边形PEFQ是平行四边形，∴轮换顶点，可得.证明三角形内心张角定理：设I是ABC的内心，则证明因为I为ABC内心，所以是三内角平分线的交点，它位于ABC内部（如图）.同理同理可证证明三角形外心张角定理：设O是ABC的外心，且A为最大角.(1)若A则(2)若A则证明（1）如图所示，因为A，所以外心O在ABC内部或BC边的中点.当时，延长OA交外接圆于D，因为OA=OB=OC,∴OAC=OCA,OAB=OBA,∴ DOC=2OAC,DOB=2OAB.∵ BOC=DOB+DOC=2(OAB+OAC=2A)同理可证， COA=2B,AOB=2C当A=900时，O点为BC的中点，BOC=1800=2A，其他两角仍有COA=2B,AOB=2C(2)如图所示，因为A，所以外心O点在BC的下方，延长BO交外接圆于D，因为OA=OB=OC，所以OCB=OBC,OABOBA所以AOD=2OBA,COD=2OBC,∴ AOC=AOD-COD=2(OBA-OBC)=2B同理可证：BOA=2C∴ BOC=BOA+AOC=2C+2B=3600-2A证明三角形垂心张角定理：（1）若A<900,则BHC=1800-A,CHA=1800-B,AHB=1800-C.（2）若A>900,则BHC=1800-A,CHA=B,AHB=C.证明（1）如图所示，因为A<900，且A为最大角，所以垂心H在ABC内,BHC=1+2(∵1=3,2=4)=3+4=(900-5)+(900-6)=C+B=1800-A.同理可证其他两式.（2）如图所示，因为A>900，所以垂心H在ABC外部∵BHC=1+2=（900-4）+（900-3）=1800-（5+6）=1800-A,CHA=1=900-BCH=B(注意RtBCE)AHB=2=900-CBH=C(注意RtBCE)证明三角形的垂外心定理：三角形任一顶点到垂心的距离等于外心到它的对边距离的2倍.证法一如图，分别取AH,BH的中点P，Q，则只须证明PH=OM,QH=ON,也即只须证明HPQOMN.事实上，因为PQ为HAB的中位线，所以PQAB.又因为M,N分别为BC,AC中点,MN为CAB的中位线，从而MNAB.因此MNPQ.又因PD,OM同垂直于BC,∴PHIIOM,HPQ=OMN.同理，HQP=ONM.∴HPQOMN(ASA)∴OM=PH=AH,ON=QH=BH.证法二如图，连CH,取CH的中点X，连NX,MX,则NX为CAH的中位线.∴NXAH.同理，MX为CBH的中位线,∴MXBH.又BHIION,∴MXIION,同理，NXIIOM,∴OMXN是一平行四边形.∴OM=NX=AH,ON=MX=BH证法三如图，连AO并延长到P，使OP=AO,连CP,这时ON为ACP的中位线.∴ONCP,又NOIIBE，∴CPIIBE,1=2.连PM并延长交高线BE于H,连AH并延长交BC于D,现在只须证明AD为高线（即H为垂心）即可，事实上.所以3=4，BM=CM,∴CMPBMH∴PM=MH,因此，在PAH中,OM为中位线.∴OMAH.又OMBC,∴ADBC,即H为垂心.此时，AH=2OM,BH=CP=2ON.证法四考虑命题与外心有关，故可尝试作ABC的外接圆.如图.过C引ABC外接圆直径COP，作弦PA,PB,这时OM为CPB的中位线.∴OMBP.同理，ONAP.又ADIIOM,故AHIIPB.同理，BHIIAP,则APBH为平行四边形.∴AD=PB=2OM,BH=PA=2ON.如图，设I为三角形ABC内心，且A’,B’,C’分别是IBC,ICA，IAB的外心，求证：ABC与A’B’C’有相同外心证明作ABC外接圆，延长AI交圆于A”，连BA”、CA”，易知.BIA”=(A+B)=IBA”,CIA”=(A+C)=ICA,故A”B=A”I=A”C即A”是BIC的外心，即A”与A’重合.同理，B’与B”，C’与C”分别重合，因此ABC与A’B’C’有同一个外接圆.如果1个三角形的面积和周长都被一直线平分，那么该直线是否必通过这个三角形的内心、外心、重心、垂心？说明理由.下面我们来证明内心是满足要求的.设平分ABC的面积和周长的直线分别交AB,AC于D,E且I为ABC的内心,r是ABC内切圆半径，如图.于是有,因为直线ED平分ABC的周长，故有AE+AD=BD+BC+CE,所以.注意，所以，即直线DE经过I点.如图，与相交于A,B两点，且在的圆周.弦C交于D.证明：D是ABC的内心.证明∵BAD=BD=BAC∴AD平分BAC.同理可证BD平分ABC,即D是ABC的内心.在半圆的直径AB上有2点P和Q，又在半圆弧上有2点R与S，使PQRS为一E方形.C为半圆弧上的一点，使三角形ABC和E方形PQRS面积相等.证明：直线AR或BS与E方形的一边的交点是ABC的内心.证明如图，设O是圆心，半径为1，则O也是PQ的中点.设OQ=x,则QR=PQ=2x,即从而E方形的面积为直角三角形ABC的面积是又所以AC:BC=1:2=OQ:RQ从而ABCORQ,得BAC=ROQ=2BAR,故ABC的内心在AR上.设内切圆半径r，则ABC的面积又可表示即另一方面，设AR与PS交于I，则IP:AP=IS:RS,即所以，I就是ABC的内心..如图，ABC的外心为O，内心为I,R和r分别为它的外接圆和内切圆的半径，则OI2=R2-r2证明连AI交圆O于D，连DO反向延长OD交圆O于E，连BD,BE，延长OI交圆O于G，H，过I作IFAB于F，则IF=r,DE=2R.因为GIIH=AIID,GI=R+OI,IH=R-OI,GIIH=R2-OI2,从而有R2-OI2=AIID.由BAD=BED,AFI=EBD=900AFIEBD,则有，即AIBD=DEIF=2Rr.又IBD=ABC+DBC=ABC+BAC=BID,ID=BD.因此，即.R2-OI2=AIBD=2Rr,OI2=R2-2Rr因为OI20，所以有.于是进一步证得：三角形的外接圆的半径不小于内切圆的直径.说明上述例10的结论，称为欧拉定理.ABC的外接圆上任意一点P，过P作三边所在直线的垂线，求证此三垂足共线.已知P为ABC的外接圆上任意一点P，PDBC,PEAB,PFCA,D,E,F为垂足.求证：D,E,F三点共线.证明如图，连PA,PB.只需证明BED=FEA因为PDBC,PEAB,PFCA,所以B,D,E,P;A,E,P,F四点分别共圆，则FAP=PBD,所以有BPD=FPA,从而BED=FEA.故D,E,F三点共线.说明（1.）人们称此线为西姆松线（2）容易知道外接圆上任意一点的西姆松线平分该点和垂心的连线.（3）例11中，将“PEB=PFA=PDB=90改为PEB=PFA=PDB”,结论成立吗？即有P为ABC外接圆上一点，过P作三边的斜线PD，PE，PF，且有PDC=PEA=PFM，则D，E，F三点共线.三、专题训练：1、设H为ABC的垂心，且BH=AC，求证：BCH=ABC.2、已知ABC的两条高AD、BE相交于H，延长AD交外接圆于K，求证：HD=DK．3、若过三角形内心和重心的直线平行于一边，则三角形其他两边之和为这一边的2倍．4、已知ABC中，内心I、外心O、垂心H互不重合，但在一直线上．求证：ABC是等腰三角形．5、如图，3只苍蝇沿三角形ABC的边爬行，它们形成的三角形的重心都在同一位置．证明：如果它们中的1只苍蝇沿三角形的整个边界爬过，那么它们的重心与ABC的重心重合．6、已知ABC中，高AD．在其内部，过AAB，ACD的内心Il，I2引直线分别交AB,AC于E,F.若BAC=90,则AE=AF.若AE=AF,则BAC=90也成立吗？若仍成立，请证明；若不成立，请说明理由，并指出不成立的情形.专题训练答案：如图，在BDH和ADC中，BH=AC,BDH=ADC=90.因HBD+ACD=900，所以CAD+ACD=900,HBD=CAD.因此BDH≌ADC，于是DH=DC,AD=BD.所以BCH=450,ABC=450所以BCH=ABC.由H,E,C,D四点共圆知BHD=BCA,而BCA=BKH,所以BKH=BHK,得BH=BK.又BDHK,故HD=DK.连AG交BC于D,连AI交BC于E,连BI,CI.在ADE中，因GI理有AC:CE=AI:IE=2:1,既AB=2BE,AC=2CE.从而有AB+AC=2BC.假设ABC不是等腰三角形，则O、I、H三点所在直线不能经过A、B、C中的任一点，连AI、AH、AO,并将AH延长交BC于D,则ADBC.又将AO延长交⊙O于E,连BE，则BEAB.又，则，.若连结BO、BH、CO、CH，同理得所以又，则则有二个外心，这不可能.由此可知假设不能成立.故是等腰三角形.如果1只苍蝇位于顶点A，那么，由苍蝇形成的三角形的重心位于三角形ADE内（如图15—26），这里DE:BC=2:3.因为1只苍蝇游遍了所有顶点，所以“苍蝇3角形”的重心应属于图中带斜线的3个三角形区域，而它们惟一的公共点就是ABC的重心.（1）连结DI1,DI2,并延长DI1交AB于G.则RtABD∽RtCAD，且所以DI1I2∽ABC,从而.故得AE-AF.（2）假设，则连AI1,AI2,DI1,DI2,则AE=AF≠AD.在AB,AC上分别截取AE,AF,使得AE=AF=AD,故ADI1≌AEI1,ADI2≌AFI,得，于是或，从而≌,得又≌，得故因此不一定等于.当时存在不成立情形.四、同步测试：1、如图，ABC的边长为6，8，10，一个以P为圆心且半径为1的圆在其内部滚动，且总是与ABC的边长相切.当P第一次回到它原来的位置时，P走过的长度是多少？如图，连接ABC的边长的外接圆的的中点M,N的线段，与边AB,AC分别相交于D，K．证明：点A，D，K和ABC的内心组成菱形.3、若ABC的外接圆和内切圆的半径分别为R和r，I为ABC的内心，AI的延长线交外接圆于D，则AI·ID=2Rr．4、在ABC·中，边AB=AC，有1个圆内切于ABC的外接圆，并且与AB，AC分别相切于户，Q，求证：户，Q两点连线的中点是ABC的内切圆圆心．5、如图，在直角ABC中，CD为斜边AB上的高，O，Ol，O：分别为ABC，ACD，BCD的内心．连结COl延长交AB于M，连CO：延长交AB于N．求证：OM上ON．6、已知如图，ABC的中线AM、高BH和角平分线CD相交于一点，求ABC三边o，6，c的关系．同步测试答案：1、容易计算出ABC的内切圆半径为2，设ABC的内心为I,P点轨迹应为ABC,如图所示.ABC内切圆半径为,所以ABC的内切圆半径为