2014年广二模理科数学试卷及答案

试卷类型2014年广州市普通高中毕业班综合测试（二数学（理科4页，21150分.120分钟座位号填写在答题卡上.2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.漏1参考：锥体的体积是

Sh,S是锥体的底面积h是锥体的高3一、选择题：本大题8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只z满足iz2iz C．2 D．22yfxy3xf1231 31log2

log3 C． 命题“xRx3x2”存在xR，使得x3 B．不存在xR，使得x3 C．存在xR，使得x3 D．对任意xR，都有x30将函数fx

3sin2xcos2x(xR6

ygxyg是奇函 有两张卡片，一张的正分别写着数字0与1，另一张的正分别写着数字2与3， F1F2分别是椭圆Ca2b21ab0P在椭圆Cy轴上，若PF1F230，则椭圆C16C．6

3D．3

2222A．6C．6

B．12D．12123451246812345124682第45………………aij2014，则ij C． 二、填空题：本大题共7小题，考6小题，每小5分，满30分（一）必做题（9～13题不等式2x2x10的解集 已知2x3

1xx

的展开式的常数项是第7项，整数n的值 已知四边形ABCD是边长为a的正方形，若DE2EC,CF2FB，则AEAF的值 xy

2xy28xy40zaxbya0,b0x0,y为8，则ab的最大值 已知x表示不超过x的最大整数例如1.52,1.51.设函数fxxx，当x0,n(nN*)时函数fx的值域为集合A则A中的元素个数为 （二）选做题（14～15题，考生从中选做一题y14（坐标系与参数方程选做题）xOy中，直线xatyy圆x1cos,(为参数)相切，切点在第一象限，则实数y15（AE1EBDEACACDEFAEF的面积为1cm22△AFD的面积 cm2三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步16.（12分B2ABCDACB2且ABAD1，BD23(1)求cosA（2）求sinC的值

图1717（一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样称出它们的重（单位分组区间为5,15，1525，2535，3545，由此得到样本的重量频率分布直方图，如图3.求a（注：设样本数据第i组的频率为pi，第i组区间的中点值为xii1,2, ,n频则样本数据的平均值为Xx1p1x2p2x3p3 xnpn.）组从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在5,15的小球个数为，求的分布列和数学期望

a

图

重量/18（如图4ABCDEFABCD是边长为2的正方形，EFABCD3EF1，FBFC,BFC90，AE 3D求证：AB平面BCF DAEBDE所成角的正切值C 图1919（已知数列{a}的前n项和为S，且a0，对任意nN*，都有 Snn1 求数列an的通 若数列bn满足anlog2nlog2bn，求数列bn的前n项和Tn20（F0,1和直线ly1F且与直线lMEE的方程A的坐标为2,1直线l1ykx1(kRk0EBC两ABAC分别交直线lS,T.ST为直径的圆是否恒过两个定点?若是，求这两个定点的坐标；若不是，说明理由.2121（fxalnxbx(a,bR在点1f1x2y20求a,bk当x1时，fx 0恒成立，求实数k的取值范围xnN

n2

1nln2ln1nln

3n2n.2n22014年广州市普通高中毕业班综合测试（二数学（理科）试题参考答案及评分标一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分12345678ABCBCDAC二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题530分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一 n2n2 2

221 2三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步16（2解：在△ABD中，ABAD1，BD23231212 AB2AD2

3 ∴cosA

2AB

4解：由（1）cosA1，且0A31cos223sin1cos223DAC∴AC2AD2.AB2AC2 1222 在△ABC中，cosA

，………82AB 21 解得BC 103

BCAB 11sin sin12 ABsin∴sinC 17（本小12分

266 12 3解：由题意，得0.020.032x0.01810 1解得x 2解50X0.2100.32200.3300.184024.6（克 3由样本估计总体可估计盒子中小球重量的平均值约为24.6 4解：利用样本估计总体，该盒子中小球重量在5,15内的概率为0.2，则 5 5的取值为0,1,2,3 6 P0

4

64，P1

14 P2C

1

4

1，P3

3 3 1 10

0123P1 11E064148212313 12 （或者E 18（本小14分证明ABMEMAMMB1，∵EF∥平面ABCD，EF平面ABFE，平面ABCD平面ABFEAB∴EF∥AB，即EF∥MB 1∵EFMB∴四边形EMBF是平行四边形 2∴EM∥FB，EMFB2在Rt△BFC中，FB2FC2BC24，又FBFC，得FB 2∴EM

33在△AME中，AE ，AM1，EM 23∴AM2EM23AE2AMEM 4ABCDABBC 5 BCBFBBCFBCBCF∴AB平面BCF 61ACACBD相交于点O，则点OACBCH，连接OHEOFHDOHDOH则OHABOH1AB 由（1）EFABEF1AB2EFOHEFOHEOHF是平行四边形

7由（1）ABBCFFHBCFFH 8FHBC BCBABABCDBCABCD∴FH平面ABCD 9EOABCDAOABCDEO 10AOBD BDOEOEBDBDEBD∴AO平面EBD ∴AEO是直线AE与平面BDE所成的角 12 2RtAOEtanAEO 2

132AEBDE2

142ACACBD相交于点O，则点OACzD取BC的中点H，连接OH,EO，FH D1则OH∥AB，OH AB121由（1）EFABEFEFOHEFOHEOHF是平行四边形

2A 7由（1）ABBCFFHBCF∴FHABFHBC BCBABABCDBCABCDFHABCD∴EO平面ABCD 8Hxyz

9BDEnxyznBD0nBE0，得2x2y0xyz0，得z0xy. 10AEBDE所成角为则sin

n,

11n61sin2∴1sin2

3，tansin

2 13 2AEBDE2

1419（本小14分（1）解法1：当n2时，nan1Snnn1，n1anSn1nn1，……1分两式相减得nan1n1anSnSn1nn1nn1， 3分即nan1n1anan2n，得an1an2 5当n1时，1a2S112，即a2a12 6∴数列an是以a10为首项，公差为2的等差数列an2n12n 7解法2：由nan1Snnn1，得nSn1SnSnnn1 1整理得，nSn1n1Snnn1 2两边同除以nn1得，Sn1Sn 3n ∴数列SnS10为首项，公差为1的等差数列n1 n1 ∴Sn0n1nnSnnn1 4当n2时，anSnSn1nn1n1n22n2 5又a10适合上式 6∴数列an的通 为an2n2 7（2）1anlog2nlog2bn bnn2nn n 9∴Tbbb

b40241342 n14n2n4n1

41242343 n14n1n4n 114n14n1

13n4n②得

404142

n4n n4n 1 ∴

139 1492anlog2nlog2bn bnn2nn n 9∴Tbbb b40241342 nnx1xxx

x1 11nxn1n1xx02x13x2

1

………12令x4，得40241342 . 13∴

13n14n 14920（本小14分91：由题意,MF的距离等于它到直线l的距离故点M的轨迹是以点F为焦点,l为准线的抛物线 1∴曲线E的方程为x24 2x2y2M的坐标为xyx2y

y1即x24y

y1 1 ∴曲线E的方程为x24 解法1:设点BC的坐标分别为x1,y1x2,x24由ykx1yx24kxx24kk2

x24yx24yx1,2

4k2

k2

2k x1x24kx1x2 3y

2x1x

xAB

4 1 ， x x 故直线AB的方程为y1x12x 44y1x2

，x1S的坐标为2

1 5同理可得点T的坐标为2

x2

1 6∴

2

x1

2

8x18x1x2x1x22x1x2

8

72xx2

xx24x∴

k

1k

8设线段ST的中点坐标为x01x

2 2

2

x22 44k 22

9144k214∴以线段ST为直径的圆的方程为x k

y12

ST2 k 10 4k2 x2

xy12 k k令x0，得y124，解得y1或y3 12∴以线段ST为直径的圆恒过两个定点0,1,0,3 14解法2：由（1）Ex24y设直线AB的方程为y1k1x2，点B的坐标为x1,y1y1kx

x22

1由y1

解得 y

S的坐标为2

,

3由y1k1x2yx24kx

40x24 即x2x4k120，解得x2或x4k1 4∴x4k2，

1x24k2

1.

4 ∴点B的坐标为4k2,4k24k1 5 同理，设直线AC的方程为y1k2x2则点T的坐标为221，点C的坐标为

2,4k2

6k k

BC在直线l1ykx14k24k14kk k 4 2

k1

1k1k2k1 7又4k24k1k4k21，得4k24k

2k 化简得kkk 81 设点Px,y是以线段ST为直径的圆上任意一点，则SPTP0 9得x22x22y

10 k k 1 2整理得，x24x4y120 11k令x0，得y124，解得y1或y3 12∴以线段ST为直径的圆恒过两个定点0,1,0,3 1421（本小14分（1）解：∵fxalnxbx ∴fxabx∵直线x2y20的斜率为1，且过点1,1 1 2 f11 b11∴ 1∴ 即

解得a1,b 3 f1

ab x解法1：由（1）得fxlnx x2 当x1时，fx 0恒成立，即lnx 0，等价于k xlnx

4令gxx2xlnx，则gxxlnx1x1lnx 52hxx1lnxhx11x1 x1时hx0，函数hx在1上单调递增，故hxh10 6从而，当x1时gx0，即函数gx在1上单调递增故gxg11 72 因此，当x1时，k xlnx恒成立，则k 8 ∴所求k的取值范围是,1 9 2 2：由（1）fxlnxx2当x1时，fxk0恒成立，即lnxxk0恒成立 4 x22x2令gxlnx ，则gx 2 x22x2k