基本支撑体系数学资料竞赛指导初中数学竞赛与课外活动指导专题“十校联赛”一等奖

奇数偶数一、赛点要求：整数可以分为两类：能被2整除的整数，称为偶数；不能被2整除的整数，称为奇数．换句话说，0，±2，±4，±6，±8，±10，…，称为偶数；±1，±3，±5，±7，±9，±11，…，称为奇数．偶数的一般形式是2n，其中n是整数．奇数的一般形式是2n-1(或2n+1)，其中n是整数．注意，现在的奇数包括正奇数与负奇数．偶数包括正偶数、负偶数和零．零是偶数，因为它能被2整除．性质：1．整数可分为奇数和偶数两类，一个整数不是奇数就是偶数，反之，一个整数不是偶数就是奇数；2．奇数≠偶数；3．奇数±奇数=偶数，偶数±偶数=偶数，奇数±偶数=奇数；4．奇数×奇数=奇数，整数×偶数=偶数；5．两个连续整数，必然有一个是奇数，另一个是偶数；6．两个整数的和与差的奇偶性相同；7．整数a与an(n为正整数)的奇偶性相同．二、类型分解：例1已知x，y，z中有两个奇数和一个偶数，求证：(x+1)(y+2)(z+3)一定是偶数．证法一因为x，y，z中有两个奇数和一个偶数，则x和z中至少有一个是奇数．当x是奇数时，x+1是偶数，则(x+1)(y+2)(z+3)是偶数；当z是奇数时，z+3是偶数，则(x+1)(y+2)(z+3)是偶数．故(x+1)(y+2)(z+3)一定是偶数．证法二因为x，y，z中有两个奇数和一个偶数，则x+y+z是偶数，从而(x+1)+(y+2)+(z+3)=(x+y+z)+6为偶数．所以x+1，y+2，z+3中至少有一个是偶数，即(x+1)(y+2)(z+3)一定是偶数．评点：证法一采用分类法说明几个整数相乘积为偶数，整数中至少有一个偶数。证法二说明三个整数的和为偶数，则至少其一是偶数，积必为偶数。求证：任意奇数的平方减去1是8的倍数证明：设k为整数，那么2k－1是任意奇数，（2k－1）2－1＝4k2－4k＋1－1＝4k(k－1)∵k(k－1)是两个連续整数的积，必是偶数∴4k(k－1)是8的倍数即任意奇数的平方减去1是8的倍数评点：奇偶数的设法：设k为整数，2k±1、2k±3……均为奇数，2k、2k±2……均为偶数。根据题意恰当的设法可简化运算。例3已知：有n个整数它们的积等于n，和等于0求证：n是4的倍数证明：设n个整数为x1,x2,x3,…xn根据题意得如果n为正奇数，由方程（1）可知x1,x2,x3,…xn都只能是奇数，而奇数个奇数的和必是奇数，这不适合方程（2）右边的0，所以n一定是偶数；当n为正偶数时，方程（1）左边的x1,x2,x3,…xn中，至少有一个是偶数，而要满足方程（2）右边的0，左边的奇数必湏是偶数个，偶数至少有2个。所以n是4的倍数。例4己知：a,b,c都是奇数求证：方程ax2+bx+c=0没有整数解证明：设方程的有整数解x，若它是奇数，这时方程左边的ax2，bx，c都是奇数，而右边0是偶数，故不能成立；若方程的整数解x是偶数，那么ax2,bx,都是偶数，c是奇数，所以左边仍然是奇数，不可能等于0。既然方程的解不可能是奇数，也不能是偶数，∴方程ax2+bx+c=0没有整数解。评点：没有整数解直接证很难，又因为整数包括奇数、偶数，只须证明奇数、偶数不是方程的解即可。以上的证明方法是反证法，反证法作为一种证明方法将在第二章详细介绍。例5求方程x2－y2＝60的正整数解分析：x2－y2＝(x+y)(x－y)＝60是偶数，(x+y)、(x－y)至少有一个偶数。若(x+y)是偶数，x、y同为偶数或奇数，则(x－y)是偶数；若(x+y)是奇数，x、y一奇、一偶，则(x－y)是奇数不可能舍去。解：(x+y)(x－y)=60，60可分解为：1×60，2×30，3×20，4×15，5×12，6×10左边两个因式(x+y)，(x－y)至少有一个是偶数因此x,y必湏是同奇数或同偶数，且x>y>0,适合条件的只有两组解得∴方程x2－y2＝60的正整数解是三、专题训练：1、选择题①设n是正整数，那么n2+n-1的值是（）（A）偶数（B）奇数（C）可能是奇数也可能是偶数②求方程85x－324y=101的整数解，下列哪一个解是错误的？（）（A）（B）（C）（D）填空：①能被3，5，7都整除的最小正偶数是______②能被9和15整除的最小正奇数是____最大的三位数是____③1＋2＋3＋…＋2022＋2022的和是奇数或偶数？答____④正整数1234…20222022是奇位数或偶位数？答____⑤能被11整除，那么n是正奇数或正偶数？答____任意三个整数中，必有两个的和是偶数，这是为什么？试说明方程2x+10y=77没有整数解的理由求证：两个連续奇数的平方差能被8整除试证明：任意两个奇数的平方和的一半是奇数求方程（2x－y－2）2＋（x+y+2）2=5的整数解方程19x+78y=8637的解是()(A)(B)(C)(D)9.十进制中，六位数能被33整除，求a,b的值专题训练答案：1.①B，②D2.①210，②45，945③奇数(有奇数个奇数)，④奇数位，⑤正偶数3.整数按奇数，偶数分为两类，3个整数中必有两个同是奇数或同偶数，故它们的和是偶数4.∵左边2，10、都是偶数，不论取什么整数，都是偶数，而右边是奇数，等式不能成立5.(2n+1)2-(2n-1)2=8n6.任意两个奇数可设为2m7.∵两个整数的平方和5为，只有(±1)2+(±2)2=5或(±2)2+(±1)2=5可得四个方程组，解得8.(D)9.a=9，b=2；a=2，b=6；a=5，b=9。四、同步测试：填空题（1）有四个互不相等的自然数，最大数与最小数的差等于4，最大数与最小数的积是一个奇数，而这四个数的和是最小的两位奇数，那么这四个数的乘积是_____.（2）有五个连续偶数，已知第三个数比第一个数与第五个数和的多18，这五个偶数之和是____.（3）能否把1993部电话中的每一部与其它5部电话相连结？答____.2.选择题（1）设a、b都是整数，下列命题正确的个数是（

）①若a+5b是偶数，则a-3b是偶数；②若a+5b是偶数，则a-3b是奇数；③若a+5b是奇数，则a-3b是奇数；④若a+5b是奇数，则a-3b是偶数.（A）1

（B）2

（C）3

（D）4（2）若n是大于1的整数，则的值（

）.（A）一定是偶数

（B）必然是非零偶数（C）是偶数但不是2

（D）可以是偶数，也可以是奇数（3）已知关于x的二次三项式ax2+bx+c（a、b、c为整数），如果当x=0与x=1时，二次三项式的值都是奇数，那么a（

）（A）不能确定奇数还是偶数

（B）必然是非零偶数（C）必然是奇数

（D）必然是零3.（1986年宿州竞赛题）试证明11986+91986+81986+61986是一个偶数.4.请用0到9十个不同的数字组成一个能被11整除的最小十位数.5.有n个整数，共积为n，和为零，求证：数n能被4整除6.在一个凸n边形内，任意给出有限个点，在这些点之间以及这些点与凸n边形顶点之间，用线段连续起来，要使这些线段互不相交，而且把原凸n边形分为只朋角形的小块，试证这种小三我有形的个数与n有相同的奇偶性.7.（1983年福建竞赛题）一个四位数是奇数，它的首位数字泪地其余各位数字，而第二位数字大于其它各位数字，第三位数字等于首末两位数字的和的两倍，求这四位数.

8.（1909年匈牙利竞赛题）试证：3n+1能被2或22整除，而不能被2的更高次幂整除.9.（全俄15届中学生数学竞赛题）在1，2，3…，1989之间填上“+”或“-”号，求和式可以得到最小的非负数是多少？

同步测试答案：１．（１）３０．（最小两位奇数是１１，最大数与最小数同为奇数）（２）１８０．设第一个偶数为ｘ，则后面四个衣次为ｘ＋２，ｘ＋４，ｘ＋６，ｘ＋８．（３）不能．２．Ｂ．Ｂ．Ａ３．１１９８６是奇数１，９１９８６的个位数字是奇数１，而８１９８６，６１９８６都是偶数，故最后为偶数．４．仿例５

１２０３４６５８７９．５．设ａ１，ａ２，…，ａｎ满足题设即ａ１＋ａ２＋…＋ａｎ＝０①ａ１·ａ２……ａｎ＝ｎ②。假如ｎ为奇数，由②，所有ａｉ皆为奇数，但奇数个奇数之和为奇数，故这时①不成立，可见ｎ只能为偶数．由于ｎ为偶数，由②知ａｉ中必有一个偶数，由①知ａｉ中必有另一个偶数．于是ａｉ中必有两个偶数，因而由②知ｎ必能被４整除．６．设小三角形的个数为ｋ，则ｋ个小三角形共有３ｋ条边，减去ｎ边形的ｎ条边及重复计算的边数扣共有（３ｋ＋ｎ）条线段，显然只有当ｋ与ｎ有相同的奇偶性时，（３ｋ－ｎ）才是整数．７．设这个四位数是由于１≤ａ＜ｄ，ｄ是奇数所以ｄ≥３于是ｃ＝２（ａ＋ｄ）≥８，即ｃ＝８或ｃ＝９．因ｃ是偶数，所以ｃ＝８，由此得ａ＝１，ｄ＝３．又因ｂ＞ｃ，所以ｂ＝９因此该数为１９８３．８．当ｎ为奇数时，考虑（４－１）ｎ＋１的展开式；当ｎ为偶数时，考虑（２＋１）ｎ＋１的展开式．９．除９