材料力学讲义四

材料力学讲授:顾志荣同济大学航空航天与力学学院

顾志荣第六章弯曲内力材料力学第六章弯曲内力一平面弯曲的概念及梁的种类二梁的内力及其求法三剪力方程与弯矩方程、剪力图与弯矩图四弯矩、剪力和分布荷载之间的关系五平面刚架与曲杆的内力图六关于内力图的进一步讨论第六章弯曲内力一平面弯曲的概念及梁的种类1、平面弯曲的概念讨论杆的弯曲暂时限制在如下的范围:（1）杆的横截面至少有一根对称轴（一个对称面）对称轴对称轴对称轴对称轴第六章弯曲内力/一平面弯曲的概念及梁的种类

(2)载荷作用在对称平面内

所有外力都作用在通过杆件轴线的纵向对称平面内(受力特点)。轴线纵向对称面FqM弯曲后梁的轴线（挠曲线）(3)杆件轴线在载荷作用平面内弯成一条曲线(变形特点)。1、平面弯曲的概念第六章弯曲内力/一平面弯曲的概念及梁的种类2、凡是以弯曲为主要变形的杆件，通常称为梁。第六章弯曲内力/一平面弯曲的概念及梁的种类第六章弯曲内力/一平面弯曲的概念及梁的种类PaAB阳台梁栏杆PABq第六章弯曲内力/一平面弯曲的概念及梁的种类第六章弯曲内力/一平面弯曲的概念及梁的种类第六章弯曲内力/一平面弯曲的概念及梁的种类上海长江大桥第53号至54号桥墩间，将架起“百米长梁”。这一箱梁长105米、宽16米、高5米，重2300吨，为世界第一。"百米长梁"超越东海大桥"梁式大桥"70米的跨度，实现了桥梁史上的一大突破。上海长江大桥跨江段长10公里，全桥长16.5公里，双向6车道，设计时速100公里。整个隧桥工程将在2010年完工。

上海长江大桥架起"世界第一梁"3、梁的种类：静定梁——支座反力可由静力平衡方程确定的梁。（a）简支梁（b）悬臂梁（c）外伸梁（d）静定组合梁中间铰第六章弯曲内力/一平面弯曲的概念及梁的种类

超静定梁——支座反力不能由静力平衡方程完全确定的梁。第六章弯曲内力/一平面弯曲的概念及梁的种类第六章弯曲内力二梁的内力及其求法x解：(1)、根据平衡条件求支座反力(2)、截取m-m截面左段。AxmmM剪力——使截面不产生移动弯矩M——使截面不产生转动得到：oALBFabmm1、梁的内力—剪力与弯矩得到：第六章弯曲内力/二梁的内力及其求法

2、剪力、弯矩的正、负号规定：Q（＋）QMM（－）符号规定左上右下，剪力为正左顺右逆，弯矩为正第六章弯曲内力/二梁的内力及其求法

第六章弯曲内力/二梁的内力及其求法

例题

一简支梁受力如图所示。试求C截面（跨中截面）上的内力。解：1、根据平衡条件求支座反力qAB4aaaC3、求指定截面上的剪力和弯矩第六章弯曲内力/二梁的内力及其求法

2、求C截面（跨中截面）上的内力qAaC得到：（剪力的实际方向与假设方向相反，为负剪力）得到：（弯矩M的实际方向与假设方向相同，为正弯矩）第六章弯曲内力/二梁的内力及其求法

如以右侧梁作为研究对象，则：为了计算方便，通常取外力比较简单的一段梁作为研究对象。qBaC第六章弯曲内力/二梁的内力及其求法

qAB4aaaC取左段梁为研究对象:取右段梁为研究对象:截面左侧（或右侧）梁上的所有外力向截面形心简化所得到的主矢。第六章弯曲内力/二梁的内力及其求法

截面左侧（或右侧）梁上的所有外力（力和力偶）向截面形心简化所得到的主矩。qAB4aaaC取左段梁为研究对象:取右段梁为研究对象:第六章弯曲内力/二梁的内力及其求法

截面左营侧（或柜右侧）课梁上的丘所有外合力向截面钻形心简幻玉化所得千到的主梁矢。截面左怒侧（或团右侧）帐梁上的倦所有外难力（力和培力偶）根向截面齿形心简翠化所得到的主夫矩。第六章脖弯倘曲内力口/二界梁的内岩力及其既求法解：1、根鼻据平衡勉条件求垂支座反帅力例题一外伸梁态受力如图社所示。试结求D、B截面盒上的内勾力。AB1m1m1m1m2mq=2KN/mP=2K粒NDC2、求B、D截面衫上的内奶力?第六章淘弯曲内装力/二斧梁的内力枣及其求法解：1、根据思平衡条件畏已求出支罢座反力例题一外伸梁去受力如图渗所示。试晒求D左、D右、B左、B右截面上锯的内力受。AB1m1m1m1m2mq=2KN/mP=2K床NDC2、求D左、D右、B左、B右截面上枕的内力谨?第六章姜弯丧曲内力危/二慎梁的内灰力及其据求法AB1m1m1m1m2mq=2KN/mP=2厉KNDC截面：第六章森弯饲曲内力伸/二罩梁的内碗力及其满求法AB1m1m1m1m2mq=2KN/mP=2脉KNDC截面：第六章急弯曲内宽力/二弹梁的内力宴及其求法截面：AB1m1m1m1m2mq=2KN/mP=2K网NDC第六章芦弯腔曲内力押/二夺梁的内录力及其泪求法截面：与截面相比，该截面的内力只增加了约束反力，故有：亦可取缝梁的右扁侧的外丙力简化锡，但必侍须注意量外力的银符号变闭化。AB1m1m1m1m2mq=2KN/mP=2爽KNDC第六章丘弯曲内裕力/二云梁的内力梨及其求法4、小享结(基旨本规律榜)（1）誉求指定班截面上象的内力送时，既坊可取梁金的左段掠为脱离洁体，也禽可取右睛段为脱燃离体，若两者计属算结果叛一致（客方向、贴转向相拖反）。玩一般取联外力比营较简单谊的一段讨进行分阻析。（2）在践解题时，低一般在需需要内力的替截面上把荡内力（FQ、M）假设腿为正号帆。最后靠计算结腥果是正羽，则表绍示假设佣的内力捏方向（鱼转向）拘是正确乐的，解求得的FQ、M即为正浙的剪力葬和弯矩嫂。若计榴算结果脱为负，腊则表示邻该截面相上的剪冠力和弯唇矩均是东负的，浪其方向萌（转向卫）应与辉所假设猜的相反培（但不答必再把姐脱离体边图上假疑设的内岗力方向袖改过来膀）。第六章歌弯叫曲内力姥/二划梁的内典力及其驱求法（3）梁臂内任一截柜面上的剪续力FQ的大小，凳等于这截就面左边（快或右边）鸽所有与截头面平行的把各外力的吼代数和。若考虑密左段为葵脱离体湖时，在馆此段梁轮上所有咱向上的间外力会吸使该截肠面上产务生正号基的剪力废，而所眠有向下糖的外力喇会使该呼截面上能产生负课号的剪追力。（4）窗梁内任灶一截面状上的弯委矩的大慌小，等懂于这截拥面左边壤（或右夕边）所久有外力读（包括顶力偶）叠对于这径个截面狱形心的吩力矩的聪代数和留。第六章简弯曲内牵力/二砌梁的内力前及其求法若考虑咳左段为卖脱离体确时，在脸此段梁昨上所有蜡向上的飘力使该龟截面上羡产生正罩号的弯犹矩，而畜所有向舟下的力昂会使该洋截面上最产生负靠号的弯膜矩;在偿此段梁羞上所有顶顺时针信转向的片外力偶民会使该沸截面上践产生正划号的弯爆矩，而铸所有逆杂时针转慈向的外你力偶会粒使该截涌面上产炎生负号扩的弯矩陷。(5)哗集中力礼作用的妈截面上澡剪力有命“跳跃甚“（突肃变），艇其跳跃爆的值就哗是这个觉集中力施的大小右；集中牛力偶作铺用的截彩面上弯收矩有”丙跳跃”高，其跳绿跃的值墨就是这欢个集中滚力偶的戴大小．第六章抓弯圣曲内力准/二引梁的内冒力及其摄求法第六章第弯败曲内力三剪力队方程与弯章矩方程、谨剪力图与甲弯矩图在一般法情况下划，梁横帮截面上甚的剪力谜和弯矩卸随截面肉的位置央而变化奖。因此，剪浇力和弯矩盛均可表示骄为截面位灶置x的函凭数，即称为剪力世方程和弯冶矩方程AB1m1m1m1m2mq=2KN/mP=2KNECDF1剪之力方程棵与弯矩倡方程第六章衬弯曲内团力/三乡丰剪力方程踪蝶与弯矩方宵程、剪力泉图与弯矩陵图2内首力与外幻玉力的相跌依关系某一截啊面上的喘内力与冈作用在莫该截面酿一侧局闷部杆件浊上的外溉力相平愤衡；在载荷葡无突变榨的一段霞杆的各心截面上仰内力按贸相同的谜规律变异化；第六章弯弯羊曲内力俯/三诸剪力方提程与弯台矩方程狼、剪力焦图与弯疯矩图AB1m1m1m1m2mq=2KN/mP=2KNEDF因此，惯必须分册段列出谣梁的剪怠力方程修和弯矩俗方程，胆各段的料分界点苦为各段夺梁的控洁制截面图。所谓控制译截面,即蜂外力规律假发生变化陷的截面—导集中力、隶集中力偶肾作用点、尺分布载荷乒的起点和附终点处的背横截面。3控制毯截面的概眯念第六章敲弯漫曲内力皱/三丑剪力方融程与弯漏矩方程岛、剪力吹图与弯俭矩图xx(+)(+)(-)(-)剪力图蜘和弯矩馒图——抛用图示斤方法形社象地表富示剪力族和弯矩后沿梁轴钩线的变拆化情况椒。注意：必健须标明控策制截面上的建内力值4剪庙力图和恒弯矩图第六章捞弯裳曲内力肺/三静剪力方培程与弯剂矩方程栽、剪力佛图与弯谎矩图例题悬臂梁受力如图所示。试列出梁的剪力方程和弯矩方程，作出梁的剪力图和弯矩图，并求出梁的和及其所在截面位置。Pm=PaACBaa取参考坐甚标系Ax狂y。解：xy1、列出女梁的剪力周方程和弯阳矩方程AB段:x第六章竿弯抓曲内力励/三皂剪力方丢程与弯霸矩方程浩、剪力掩图与弯兔矩图BC段:Pm=PaACBaaxx2、作梁杯的剪力图郑和弯矩图-PPa(+)(-)3、求和（在B袋C段的舞各截面植）（在AB瞎段的各截识面）第六章辜弯堵曲内力让/三真剪力方务程与弯卵矩方程孕、剪力挠图与弯赞矩图注意：1、在茎列梁的冒剪力方漂程和弯雨矩方程善时，参疑数x可辨以从坐该标原点遭算起，也可翅从另外的骂点算起，房诚仅需要写投清楚方程打的适用范兽围（x的区奥间）即可僚。2、剪力、弯矩方程的适用范围，在集中力（包括支座反力）作用处，应为开区间，因在该处剪力图有突变；而在集中力偶作用处，M(x)应为开区间，因在该处弯矩图有突变。3、若所兔得方程为漂x的二次侵或二次以搂上方程时对，则在作炉图时除计算控制截提面的值外险，应注意备曲线的凹倘凸向及其牙极值。第六章得弯限曲内力氧/三许剪力方挑程与弯障矩方程盐、剪力讽图与弯冶矩图例题外伸况简支梁受秒力如图所更示。试列赏出梁的剪延力方程和岸弯矩方程，肺作出梁饼的剪力卵图和弯茎矩图。ABqF=qaCa2a解：xy1、取参转考坐标系梯Cxy。椒根据平衡键条件求支怕座反力第六章动弯适曲内力教/三呆剪力方何程与弯懂矩方程器、剪力焦图与弯蔑矩图2、列出嚼梁的剪力时方程和弯只矩方程yABqF=qaCa2axCA段倦:xAB段齐:x第六章妙弯曲内牲力/三崇剪力方程告与弯矩方桌程、剪力贺图与弯矩锦图yABqF=qaCa2ax3、作茶梁的剪厦力图和碗弯矩图-qa(-)(-)(+)(-)E(+)第六章谱弯可曲内力唐/三失剪力方嗽程与弯吉矩方程验、剪力萝图与弯竹矩图例1.辆简支梁载AB受力犯如图，试胖作该梁的德剪力图和径弯矩图。yxaaapapACBDFAyFByxxx解：1.支座反力2.剪力方程、弯矩方程yxaaapapACBDFAyFByxxxP／32P／3QxPa/32Pa/33.剪力图、弯矩图

MxoPa/3例2.跟简迎支梁A柴B受力畅如图，楼试作该绑梁的剪亡力图和异弯矩图炕。yxaaqa2ACBqFAyFByxx解：1.支座反力2.剪力方程、弯矩方程qaaxq(x-a)·(x-a)/2yxaaqa2ACBqFAyFByxx3.剪力图、弯矩图

yxaaqa2ACBqFAyFByxxQx3qa/4qa/4M3qa2/4qa2/4qa2/32xx=7a/43.剪力图、弯矩图

例3.夕复奔合静定顺梁，试椒作剪力祥图和弯段矩图。特点:中间铰刻不能传裁递弯矩淘，只能析传递力士的作用缘瑞。求解群时先由冲中间铰吨处拆开粒，化为家两个单丢跨梁。AD、D污C和CB立三段剪力彼方程和弯旺矩方程如贱下：1.支这座反力a/2ACBqa/2aDxxxBAqccFCyFAyRC由AC拉跨的平惭衡条件影求得。AD:DC:CB：2.剪力图和弯矩图OQ3qa/3qa/8MO9qa2/128qa2/16qa2/183a/8a/2ACBqa/2aDxxxcBqcAFCyFAyAD段的弯矩图为一条二次抛物线，作图时须求出弯矩的极值和所在截面的位置，才能大致绘出其图形。第六章益弯葱曲内力四弯费矩、剪钥力和分驻布荷载慎之间的赴关系考察受端任意载扭荷作用亚的梁。响建立x纸y坐标系。规定向上熔的q(x耀)为正。第六章万弯曲内老力/四介弯矩、剪戴力和分布瓶荷载之间据的关系yxABq(x)考察dx微段的受般力与平衡第六章全弯途曲内力晕/四英弯矩、期剪力和葬分布荷闭载之间架的关系Q(x)Q(x)+dQ(x)M(x)M(x)+dM(x)xyxdxoq(x)上式的物理意义：梁上任一横截面上的剪力对x的一阶导数，等于该截面处作用在梁上的分布荷载集度。上式的几何意义：任一横截面上的分布荷载集度，就是剪力图上相关点处的斜率。第六章筝弯组曲内力畜/四绒弯矩、疫剪力和猫分布荷搬载之间透的关系FQ(x)FQ(x)+dFQ(x)M(x)M(x)+dM(x)xyxdxoq(x)由此式年知：剪亦力图曲线上一点除处的斜率猫等于梁上相应在点处的载明荷集度q。ABqF=qaCa2a(-)-qa(-)(-)(+)E(+)第六章请弯持曲内力警/四腊弯矩、始剪力和基分布荷忘载之间漏的关系略去二阶微量，得：上式的物理意义：梁上任一横截面上的弯矩对x的一阶导数，等于该截面上的剪力。上式的几何意义：任一横截面处的剪力，就是弯矩图上相关点处的斜率。第六章智弯曲内喂力/四目弯矩、剪翅力和分布键荷载之间袍的关系FQ(x)FQ(x)+dFQ(x)M(x)M(x)+dM(x)xyxdxoq(x)c由此式知挪：弯矩图和曲线上一杆点的斜率白等于梁上植相应截面脸处的剪力违FQ。ABqF=qaCa2a(-)-qa(-)(-)(+)E(+)第六章摩弯珍曲内力词/四减弯矩、巡寿剪力和存分布荷搬载之间四的关系上式的物净理意义：掘梁上任一卧横截面上演的弯矩笔对x的丈二阶导数刷，等于注同一截面壮处作用在花梁上的分涉布荷载集姿度数学上昂：二阶张导数可驴用来判诞定曲线歪的凹向徐，因此畏：上式的几大何意义：蜘可以根据桶对x碎的二阶导徐数的正、豆负来定出图的凹乞向。第六章要弯项曲内力纯/四重弯矩、绸剪力和敢分布荷编载之间目的关系内力FQ、M的变化故规律,戒归纳如偏下：载荷F水平直殃线+-oror上斜直收线上凸抛物线下凸抛物线下斜直徐线F(剪力胶图无突变兰)F处有尖尾角斜直线第六章匙弯曲内订力/四红弯矩、剪票力和分布钞荷载之间罩的关系1．当梁耐上某段q=0时，该段航剪力为常桐数，故剪旷力图为水回平直线。历相应的弯常矩为x的垒一次函数绕，弯矩图敲为斜直线纺。当FQ＞0时，弯矩隐图为上升埋斜直线；垫FQ＜0时，弯矩奇图为下降败斜直线。2．当牢梁上某迟段q=常数时，该冻段剪力征为x的令一次函哀数，剪艺力图为喉斜直线笨。相应宗的弯矩戒为x的星二次函才数，弯勾矩图为热二次抛挡物线。若q＞0，则剪力追图为上璃升斜直锤线，弯铅矩图为爪凹口向豆上的曲呀线（凹仰孤）；若q＜0，则剪力圣图为下退降斜直页线，弯驳矩图为壶凹口向法下的曲返线（凸派孤）。3．在集中力作用处（犬包括支承贸处），剪刃力图将发棋生突变，用其突变值贞等于该处匙集中力之总大小。当集中筛力向上券时，剪璃力图向科上突变（沿x正向），反之，向和下突变；而弯矩图出将因该处训两侧斜率怀不等出现陆拐点。在集中力偶作用处，弯矩图将发生突变，突变值等于集中力偶矩的大小。当集中力偶为顺时针方向作用时，弯矩图向上突变（沿x正向），反之则向下突变，但剪力图在该处无变化。

例题一零外伸梁受埋力如图所株示。试作尊梁的剪力醒图、弯矩叮图。解：1、根喇据平衡街条件求肃支座反陷力AB1m1m4mF=3KNCDq=2KN/m第六章维弯批曲内力包/四犬弯矩、滨剪力和涝分布荷何载之间勇的关系AB1m1m4mF=3KNCDq=2KN/m2、由微分关系判断各段的形状。载荷CADBAD斜直线斜直线第六章哀弯适曲内力们/四价弯矩、茄剪力和璃分布荷调载之间肾的关系AB1m1m4mF=3副KNCDq=2KN/m3、作-图。4、作绢M-图公。CA段虎：(-)DA段贸：-3K饼N4.2K魂N-3.8资KN(+)(-)DB段：-3KN况.m(-)Ex-2.2袍KN.m(-)3.8柔KN.逢m(+)(+)第六章扫弯裤曲内力歼/四蝇弯矩、中剪力和瞒分布荷低载之间绸的关系CADBRARB例题：外除伸梁，受另力如图，腾试画剪力络图和弯矩寇图。解：1.求支座反力2015M／kNmOxQ／KNxo1015515CA段：dQ／dx＝q（x）＜0，A点：RA＝35kn（），发生跳跃，AB段：B点：RB＝15kn（），发生跳跃，CA段：AD段：2.作剪力图、弯矩图D点：MD＝20kn.m，发生跳跃（）。DB段：第六章锣弯曲内来力/四酱弯矩、剪肚力和分布圣荷载之间计的关系例题：折外伸梁递，受力朗如图，芬试画敢剪力图狂和弯矩雕图。CADBERARB解：1.求支座反力2.作剪力图、弯矩图Q/knox20530M/knmxo20154560第六章愧弯丝式曲内力从/四咏弯矩、岭剪力和悼分布荷庙载之间伞的关系q(x)q(x)第六章腰弯腊曲内力为/四础弯矩、梳剪力和妙分布荷菠载之间奴的关系例题第六章盼弯曲内锻力/四枣弯矩、剪耻力和分布绒荷载之间扣的关系q(x)q(x)例题第六章讲弯共曲内力五平云面刚架愤与曲杆搜的内力隙图刚架：取由两根垂或两根美以上的秧杆件组抄成的并锈在连接涛处采用抄刚性连鉴接的结声构。横梁立柱当杆件变蹈形