平面体系的几何组成

平面体系的几何组成分析本章讨论平面结构的几何组成规则，进行几何构造分析。在几何构造分析中，最基本的规则是三角形组成规则。规则本身是简单浅显的，但规则的运用则是变化无穷。因此，学习本章时遇到的困难不在于学懂，而在于运用。16.1

分析几何组成的目的16.2

平面体系的自由度及约束16.3

几何不变体系的简单组成规则16.4

几何组成分析举例16.5

静定结构与超静定结构16.1分析几何组成的目的

结构是用来支承和传递荷载的，因此，它应能在荷载作用下保持自身的几何形状和位置。

平面杆件结构是由杆件和杆件之间的联结装置所组成的，但并不是杆系无论怎样组成都能作为工程结构使用。如图16.1所示。由图16.1可以看出，平面杆件体系可以分为两类：

（1）几何不变体系在不考虑材料应变的假定下，能保持其几何形状和位置的体系，如图16.1(b)。

（2）几何可变体系即使不考虑材料的应变，其几何形状和位置也是可以改变的体系，如图16.1(a)。对结构进行分析计算时，必须首先分析判别它是否是几何不变的。这种分析判别体系是否几何不变的过程称为体系的几何组成分析，其目的在于：

（1）判断某一体系是否几何不变，从而确定它能否作为结构，以保证结构的几何不变性。

（2）根据体系的几何组成，可以确定结构是静定的还是超静定的，从而选择相应的计算方法。

（3）通过几何组成分析，明确结构各部分在几何组成上的相互关系，从而选择简便合理的计算顺序。在进行几何组成分析时，由于不考虑材料的应变，因而体系中的某一杆件或已经判明是几何不变的部分，均可视为刚体。平面内的刚体又称刚片。图16.116.2平面体系的自由度及约束

所谓自由度是指确定体系位置所必需的独立坐标的个数；也可以说是一个体系运动时，可以独立改变其位置的坐标的个数。平面内的一个点，要确定它的位置，需要有x，y两个独立的坐标（图16.2(a))，因此，一个点在平面内有两个自由度。确定一个刚片在平面内的位置则需要有三个独立的几何参变量。如图16.2(b)所示。16.2.1自由度由以上分析可见，凡体系的自由度大于零，则是可以发生运动的，位置是可以改变的，即都是几何可变体系。图16.2能使体系减少自由度的装置称为约束（或称联系）。减少一个自由度的装置，称为一个约束，减少n个自由度的装置，称为n个约束。下面分析几种联结装置的约束作用。

(1)

链杆如图16.3(a)所示。一根链杆能使体系减少一个自由度，它相当于一个约束。

(2)

铰联结两个刚片的铰称为单铰。如图16.3(b)所示。单铰的作用相当于两个约束，或相当于两根链杆的作用。16.2.2约束

（3）

刚性联结所谓刚性联结如图16.3(c)所示，它的作用是使两个刚片不能有相对的移动及转动。刚性联结能减少三个自由度，相当于三个约束。如果在一个体系中增加约束，体系的自由度并不减少，则这种约束称为多余约束。或者说多余约束对体系的自由度没有影响。

图16.316.3几何不变体系的简单组成规则规则一：二元体规则在刚片上用两根不共线的链杆联结出一个结点，则形成无多余约束的几何不变体系（图16.4(a)）。这种由两根不共线的链杆联结一个新结点的装置称为二元体。并有如下推论：在一个体系上依次增加或依次拆除二元体不改变原体系的几何不变性（或可变性）。规则二：两刚片规则两刚片用一个铰和一根不通过该铰的链杆相连，则组成无多余约束的几何不变体系（图16.4(b))

规则三：三刚片规则三刚片用三个不共线的铰两两相连，组成无多余约束的几何不变体系（图16.4(c))。

现结合规则一作如下说明：

如图16.4(a)，若设刚片Ⅰ不动，考虑链杆1的约束作用，A点应绕B点以链杆1为半径作圆弧运动；考虑链杆2的作用，A点应绕C点以链杆2为半径作圆弧运动。当链杆1、2不共线时，两圆弧在A点相交，则A点不能运动，被完全固定，因此该体系是几何不变的。

显然若在此基础上再增加一根链杆3(如图16.5(a))，则体系仍是几何不变的，但有一多余约束。在图16.5(b)中，两链杆1、2在一条直线上，前述两圆弧便不能相交，而是在A点相切，在这种特殊情况下，当链杆1不动时，A点可沿着公切线有无限小的运动。前已说明，一个铰或两根链杆都相当于两个约束。现在进一步说明，联结两刚片的任何两根链杆相当于一个铰。如图16.6所示。

利用虚铰的概念，两刚片规则可表述为：两刚片用三根不交于一点且不全平行的链杆相连，组成无多余约束的几何不变体系（图16.7(a))。

图16.7(b)所示的两刚片Ⅰ、Ⅱ用全交于C点的三根链杆相连。此体系为瞬变体系。

图16.7(c)为三链杆相互平行且不等长的情况，此体系为瞬变体系。特殊情况下，若三链杆平行且等长（图16.7(d))时，则当两刚片发生一相对位移后，此三链杆仍互相平行，位移可继续发生，则为几何可变体系。图16.4图16.4图16.5图16.6图16.召716.课4几何组成均分析举例分析的一依般要领是霉：先将能直志接观察出泄的几何不隆变部分当滋作刚片，今并尽可能李扩大其范等围，这样完可简化体子系的组成俊，揭示出沉分析的重抄点，便于夜运用组成支规则考察恒这些刚片盘间的联结境情况，作过出结论。忠下面提出鼻几个组成亡分析的途循径，可视麻具体情况讽灵活运用荡。（1）当体系样中有明历显的二比元体时扣，可先术依次去淘掉其上搅的二元渗体，再视对余下棕的部分腐进行分艘析。如图16.化8所示体卖系。(2)当体系明的基础惜以上部袜分与基僚础间以午三根支病承链杆品按规则扎二相联礼结时，碌可先拆叉除这些锁支杆，哑只就上袋部体系锤本身进汗行分析织，所得落结果即笨代表整抱个体系梨的组成煮性质。纹如图16.封9所示体菌系。(3)凡是只以锻两个铰与森外界相连烘的刚片，膏不论其形醒状如何，由从几何组浴成分析的因角度看，粪都可看作芹为通过铰小心的链杆扰。如图16.签10所示体系宅。【例16.1押】试对图16.册11所示体赶系进行扎几何组哭成分析稳。【解】AB杆与基础墨之间用铰A和链杆1相连，赠组成几才何不变再体系，椒可看作争一扩大炒了的刚段片。将BC杆看作盛链杆，姓则CD杆用不旱交于一坟点的三泡根链杆BC、2、3和扩大镜刚片相塑连，组参成无多仁余约束随的几何盖不变体明系。【例16.2睬】试对图16.1只2所示体渡系进行侮几何组温成分析恼。【解】体系中折养杆DHG和FKG可分别狸看作链泰杆DG、FG（图16.撑12中虚线所乡丰示），依煎次去掉二平元体（DG、FG）、（EF、CF），对余蜂下部分，腿将折杆ADE、杆BE和基础分散别看作刚检片，它们麻通过不共劝线的三个跌铰A、E、B两两相火连，故派为无多艺余约束瞒的几何轨不变体锁系。【例16.3梅】试对图16.钓13所示体系仙进行几何云组成分析送。【解】体系基滔础以上予部分与供基础用陷三根不沃交于一蝴点且不倦完全平睡行的链采杆1、2、3相连，符刺合两刚片吴规则，只候分析上部与体系。将AB看作刚片Ⅰ，用链杆AC、EC固定C，链杆BD、FD固定D，则链驶杆CD是多余约鸦束，故此款体系是有挖一多余约堵束的几何恋不变体系丛。在本例镰中链杆AC、EC、CD、FD及BD其中之障一均可酒视为多闲余约束昂。【例16.4饮】分析图16.谁14所示体疤系的几罚何构造艘。【解】（1）分析图(a)中的体屋系首先，焰三角形ADE和AFG是两个槐无多余津约束的辅几何不坏变体系自，分别贱以Ⅰ和Ⅱ表示。Ⅰ与地基Ⅲ间的链我杆1、2相当于上瞬铰B，Ⅱ与地基Ⅲ间的链骂杆3、4相当于闸铰C。如A、B、C三个铰出不共线买，则体惩系为无破多余约灵束的几扯何不变闹体系。览（2）分析图损（b)中的体企系先把折杆AC和BD用虚线识表示的听链杆2与3来替换，眠于是T形刚片CDE由三个绒链杆1、2、3与基础毅相连。莫如三链部杆共点脱，则体胶系是瞬爪变的。图16.驾8图16.球9图16.草10图16.1掉1图16.1平2图16.1帝3图16.坟1416.5静定结构灭与超静定目结构平面杆件炎结构可分喉为静定结构和超静定结驱构两类。凡只需亿利用静饿力平衡乘条件就型能确定猜全部支桐座反力异和内力棚的结构村称为静定结构。全部支座胀反力或内条力不能只船由静力平点衡条件来怒确定的结毁构称为超静定结租构。图16.1懂5(a)所示为取一简支附梁。简槽支梁是饺静定结科构的一篇个例子低。图16.炼15(浴b)所示为一昨连续梁。作连续梁是刮超静定结船构的一个随例子。从几何趁组成分泻析方面话来看，驶图16.介15(顺a)为无多余