2018-2019学年上海市上海外国语大学附属中学高二下学期期末数学试题(解析版)

第第#页共16页积的最小值时,可以考虑用极坐标的方法做进行简化计算,属于难题.23.已知抛物线E：y2=2px(p>0)，点Q为直线X=-2p上任一点，过点Q作抛物线的两条切线，切点分别为A,B,(1)证明A,Q,B三点的纵坐标成等差数列；(2)已知当点Q坐标为(—2p,2)时，|AB|=12，求此时抛物线E的方程；(3)是否存在点Q，使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线E上，其中点C满足就=04+05，若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由.【答案】(1)证明见解析；(2)y2=2，2x；(3)存在一点Q(—2p,0)满足题意.【解析】(1)设A(X1,y1),B(X2,y2)，对y2=2px求导，则可求出在a,b处的切线方程，再联立切线方程分析即可.(2)根据(1)中的切线方程，代入y；=2px1,y2=2px2则可得到直线AB的方程，再联立抛物线求弦长列式求解即可.⑶分情况，当D的纵坐标y0=0与y0w0两种情况,求出点C的坐标表达式，再利用AB与CD垂直进行求解分析是否存在即可.【详解】p(1)设A(x,y),B(x,y)，对y2=2px求导有2yy=2p,y=-，故在A(x,y)处的11 22 y 11切线方程为y-y1=f(xT,即x-x1=节-去又x1=2p同理在B(x2,y2)处的切线方程为x=子—2yp，x=军—空联立切线方程有1p2p^yyyyy2y2 y+y联立切线方程有1n———=r—在，化简得y=1c2yyy2 pp2p2p 2X卞2Py+y y+y即Q的纵坐标为4TA，因为2x+户=y+y，故A,Q,B三点的纵坐标成等差数2 2 12列.(2洞⑴有在A(x1,y1)处的切线方程为x-x1=可一于,因为y12=2px1,

所以x-yyy-2，即，二节-,又切线过（-2p,2），则-2p=2y-＞同理-2p=2P2—x2，故A(x1,y1),B(x2,y2)均满足直线方程-2p=2y—匕即2 y2=2px故直线l:x=—y+2p，联立］ 2cny2-4y-4p2=0ABp x=—y+2pp则AB=则AB=^^1-y2-4：1+±p2\；港=12,4即p2+谑=4，解得p=Y2，故抛物线E：y2=2<2x.x+x+xy+y+y、TOC\o"1-5"\h\z⑶设D(x,y)由题意得C(x+x,y+y)，则CD中点M(+^—3,同/々),33 1 21 2 2 2y-yy-y2p2pp-A2=——12—= ==——又直线ab斜率x-xy2y2y+y2yy，故设1 2 —1-——2 1 2 0 02p2pl：y-y=—(x-x).AB 1y 1 .0x+xy+y又CD的中点M在直线AB上,且AB中点(+五,、^)也在直线AB上,p代入得y3=yx3.又D(x3,y3)在抛物线上，则y；=2px3=2y0y3.02y2所以y=0或y=2y.即点D(0,0)或D(--0,2y)3 30 p0⑴当y0=0时，则y1+y2=2y0=0，此时点Q(-2p,0)满足y2+y2(2)当y丰0时，对D(0,0)，此时C(x+x,y+y)=C(4--^,2y)，则0 1 21 2 2p 0kCD4kCD 0—y2+y212=-1,不成立,p p 4py=-1,不成立,又k=-—.AB±CD，所以k•k=—• 0—二 ABy ABCDyy2+y2 y2+y20 01 2 1 22y2 v2+y2对D(--0,2y)，因为C(L二，2y)，此时直线CD平行于x轴,又因为p0 2p0k=P-丰0ABy,0故直线AB与直线CD不垂直，与题设矛盾，故y0W0时，不存在符合题意的Q点.