第二章-渗流数学模型

第二章

油气渗流的数学模型油气层渗流力学§2.1概述●基本概念、基本规律——第一章●工程问题→物理过程→数学模型——第二章●具体应用——第三章、第四章、第五章、第六章……

§2.1建立数学模型的基本原则§2.2运动方程§2.3状态方程§2.4连续性方程§2.5

渗流基本微分方程的建立§2.6

定解条件主要内容

重点——几种典型渗流数学模型的适用条件和基本结构难点——渗流基本微分方程的建立主要内容例：

对于封闭弹性不稳定渗流，其数学模型为：内边界条件外边界条件初始条件渗流微分方程定解条件例：

对于封闭弹性不稳定渗流，其数学模型为：

●适用条件：

★单相微可压缩液体；

★地层岩石均质微可压缩 ★线性渗流规律 ★弹性不稳定渗流 ★等温渗流过程内边界条件外边界条件初始条件渗流微分方程——§2.5定解条件——§

2.6基本方程——§2.2、2.3、2.4建立数学模型的基本原则——§2.1§2.1概述

●渗流力学研究主要解决两类基本问题：

★单相渗流问题中，弄清流域内压力和流速的分布及变化；

★在多相渗流过程中和非等温渗流过程中，弄清流域内饱和度和温度的分布及变化。因变量：自变量：§2.1概述

●油气渗流数学模型：用数学语言综合表达油气渗流过程中全部力学现象和物理化学现象的内在联系和运动规律的方程式（或方程组）。渗流综合微分方程（渗流基本微分方程）定解条件初始条件边界条件完整的数学模型§2.2渗流基本微分方程的建立假设条件●单相微可压缩液体；●液体渗流符合线性渗流规律；●地层岩石均质微可压缩；●地层中为等温渗流过程。§2.1概述

●油气渗流基本微分方程体现了在渗流过程中需要研究的流体力学、物理学和化学问题的总和，并且还要描述这些现象的内在联系。因此，建立基本渗流微分方程要考虑包括以下几方面的因素：

﹡

渗流过程是流体运动的过程，必然受运动方程支配；

﹡

渗流过程又是流体和岩石的状态不断改变的过程，所以需要建立流体和岩石的状态方程；§2.1概述

﹡质量守恒定律是自然界的一般规律，因此基本渗流微分方程的建立必须以表示物质守恒的连续性方程为基础；

﹡在渗流过程中，有时伴随发生一些物理化学现象，如能量传递、弥散、双重孔隙介质中的窜流等，此时还应建立描述这种特殊现象的特征方程。基本渗流微分方程运动方程流体和岩石的状态方程连续性方程特征方程§2.2渗流基本微分方程的建立一、运动方程或写为：§2.2渗流基本微分方程的建立二、状态方程状态方程：描述液体、气体、岩石的状态参数随压力变化规律的数学方程。

1.液体的状态方程取全微分整理流体质量分离变量积分按麦克劳林级数展开，取前两项变化较小，看成常数§2.2渗流基本微分方程的建立

2.岩石的状态方程开采前开采后为孔隙体积积分§2.2渗流基本微分方程的建立三、连续性方程（质量守恒方程）在渗流力学中，质量守恒定律可描述为：在地层中任取一微小单元体，在微元体内若没有源和汇存在，那么包含在微元体封闭表面内的液体质量变化应等于同一时间间隔内液体流入质量与流出质量之差，用质量守恒定律建立起来的方程称为质量守恒方程（或连续性方程）。﹡微分法：无穷小微元体分析法。●积分法：矢量场方法。微分法在地层中取一微小的平行六面体单元如图：点质量流速：分速度分别为：方向时间内，从左侧面流入微元体的质量流量为：时间内，从右侧面流出微元体的质量流量为：则微元体在时间内，沿方向流入流出的质量流量差为：同理：方向方向●同一时间间隔内液体流入质量与流出质量之差时间内，纯流入微元体的流体质量为：时间内，微元体中流体质量增加量为：由质量守恒得：微元体内流体质量●●微元体封闭表面内的液体质量变化●●●由质量守恒定律建立连续性方程的物理含义：质量流速为的点，单位体积在单位时间内向包围曲面外流出的流体质量，反映该点源的强度。无源场有源场（正、负）为微可压缩液体在微可压缩地层中满足达西线性渗流定律的连续性方程。不可压缩液体在刚性介质中渗流的连续性方程为：简化:或：§2.2渗流基本微分方程的建立四、渗流基本微分方程（数学模型）将运动方程、状态方程代入连续性方程。●方程左端：同理：则方程左端为：●●方程右端：

相对较小，可忽略不计。称为综合压缩系数，表示单位体积岩石在降低单位压力时，由于孔隙收缩和液体膨胀所排挤出来的液体体积。代入●●●方程左端等于方程右端：整理得：或：称为导压系数，物理意义为单位时间内压力传播的地层面积，表明地层压力波传导的速度。单位为或。单相微可压缩流体在微可压缩地层中按达西定律渗流的渗流基本微分方程。不考虑流体及岩石弹性，则：式中为拉普拉斯算子（算符）。为哈密尔顿算子（算符）。或：拉普拉斯方程单相不可压缩流体按达西定律稳定渗流的渗流基本微分方程。进一步说明的两个问题

不同渗流方式下单相液体渗流基本微分方程的具体形式稳定渗流弹性不稳定渗流单向流平面径向流球面径向流▲坐标变换同理：或综合压缩系数与导压系数的对应关系综合压缩系数定义式综合压缩系数与岩石和流体的压缩系数导压系数Ⅰ型Ⅱ型注：§2.3定解条件

●初始条件：运动要素随时间变化规律的数学数学表达式，一般知道起始时刻的分布。●边界条件：运动要素随空间位置变化规律的数学表达式，一般知道在边界上的情况。定解条件初始条件边界条件二类.已知流量（或压力梯度）的边界条件，称为第二类边界条件，或Neuman条件。井点定产：边界封闭：▲渗流力学中主要有两类边界条件：一类.已知压力（或势函数）的边界条件，称为第一类边界条件。内边界（井底）定压：外边界定压：由达西公式：

例2-1圆形均质等厚地层中为单相流体，中心一口井定产量生产，写出下面两种情况下渗流的数学模型：①.边界定压，地层中为平面径向稳定渗流；②.边界封闭，地层中为平面径向弹性不稳定渗流。解：①对于稳定渗流，产量、压力均未定值，所以，其数学模型为：内边界条件外边界条件②.对于封闭弹性不稳定渗流，其数学模型为：内边界条件外边界条件初始条件

1.写出如图所示，单相液体作单向稳定渗流的数学模型。

2.写出如图所示，封闭矩形地层中心一口井定产量生产的弹性不稳定渗流的数学模型。T

2.解：对于矩形封闭地层，其数学模型为：思考题1.解决渗流问题的一般思路（方法）是什么？2.渗流力学中的自变量和因变量（运动要素）主要有哪些？3.渗流基本微分方程由哪几个方程组成？4.方程的物理含义？5.什么是综合压缩系数？其物理意义是什么？6.什么是导压系数？其物理意义是什么？7.方程的适用条件是什么？8.油气层渗流中常见的边界条件有哪些？一、单相不可压缩液体稳定渗流1、运动方程2、连续性方程1、运动方程二、单相微可压缩液体弹性不稳定渗流2、状态方程3、连续性方程相对较小，可忽略不计三、油水两相渗流微分方程运动方程：连续性方程：方向时间内，左端面流入质量时间内，右端面流出质量流入—流出=时间内，油相质量变化为时间内，流入流出的质量差为油相:水相:运动方程：连续性方程：将运动方程代入连续性方程：稳定适用条件：●彼此不互溶、不发生化学作用的油水两相渗流●地层岩石和液体均不可压缩●不考虑毛管力和重力作用●服从线性渗流规律●等温渗流过程§2.6

定解条件定解条件运动要素～自变量微分方程——无穷多解特定解§2.6

定解条件

●初始条件：运动要素随时间变化规律的数学数学表达式，一般知道起始时刻的分布。稳定渗流无初始条件。●边界条件：运动要素随空间位置变化规律的数学表达式，一般知道在边界上的情况。例圆形均质等厚地层中为单相流体，中心一口井：（1）、定压力生产（2）、定产量生产①.边界定压，地层中为平面径向稳定渗流；②.边界封闭，地层中为平面径向弹性不稳定渗流。第一类边界条件：已知压力（或势函数）的边界条件 内边界（井底）定压： 外边界定压：圆形均质等厚地层、定压边界、中心一口井定压力生产、