华中科技大学研究生矩阵论Matrix演示文稿

华中科技大学研究生矩阵论Matrix演示文稿目前一页\总数二十五页\编于四点优选华中科技大学研究生矩阵论Matrix目前二页\总数二十五页\编于四点概述：主要内容：介绍Kronecker积和Hadamard积讨论K-积，H-积的运算性质、之间的关系K-积与矩阵乘积的关系K-积，H-积的矩阵性质K-积的矩阵等价与相似关系应用：求解矩阵方程向量化算子重点：K-积及其应用目前三页\总数二十五页\编于四点6.1

Kronecker积和Hadamard积的定义定义6.1（P.136）

设矩阵A=[aij]mn和B=[bij]st，则A和B的Kronecker被定义为AB：

AB=[aijB]msnt设A=[aij]mn和B=[bij]mn为同阶矩阵，则A和B的Hadamard被定义为AB：AB=[aijbij]mn目前四页\总数二十五页\编于四点

6.1

K-积和H-积的定义例题1设，计算

AB，BA，I2B，AB，I2A目前五页\总数二十五页\编于四点例题1设，计算

AB，BA，I2B，AB，I2A分块对角矩阵对角矩阵

6.1

K-积和H-积的定义目前六页\总数二十五页\编于四点例题2

设分块矩阵A=(Ast)，则

AB=(Ast

B)特别地，若A=(A1,A2,…,An)，则

AB=(A1B,A2B,…,AnB)例题3

快速Walsh(Hadamard)变换yN=HNxN，其中于是有

6.1

K-积和H-积的定义目前七页\总数二十五页\编于四点例题2

设分块矩阵A=(Ast)，则

AB=(Ast

B)特别地，若A=(A1,A2,…,An)，则

AB=(A1B,A2B,…,AnB)例题3

快速Walsh(Hadamard)变换yN=HNxN，其中于是有

6.1

K-积和H-积的定义目前八页\总数二十五页\编于四点K-积，H-积的基本结果：A和B中有一个为零矩阵，则AB=0，AB=0II=I，II=I若A为对角矩阵，则AB为分块对角矩阵，AB为对角矩阵。K-积的基本性质定理6.1（P.138）设以下矩阵使计算有意义，则(kA)B=A(kB)A(B+C)=AB+AC(AB)C=A(BC)(AB)H=AHBHABBA目前九页\总数二十五页\编于四点H-积的基本性质：设A，B为同阶矩阵，则AB=BA(kA)B=A(kB)A(B+C)=AB+AC(AB)C=A(BC)(AB)H=AHBHKronecker和Hadamard的关系：定理6.3（P.139）AB可由AB的元素构成。目前十页\总数二十五页\编于四点K-积与矩阵乘法

定理6.2（P.138）设矩阵A，B，C，D使得下列运算有意义，则有(AB)(CD)=(AC)(BD)

意义：建立Kronecker积和矩阵乘法的相互转换。特别情形：设AFmm，BFnn，则

AB=(ImA)(BIn)=(AIm)(InB)=(ImB)(AIn)=(AIn)(ImB)

(AB)k=Ak

Bk(A1B1C1)(A2B2C2)

=(A1A2)(B1B2)(C1C2)(A1B1)(A2B2)(A3B3)

=(A1A2A3)(B1B2B3)目前十一页\总数二十五页\编于四点6.2Kronecker积和Hadamard积的性质Kronecker积的矩阵性质定理6.4

（P.140）设矩阵使下列运算有意义，则当A，B分别为可逆矩阵时，AB和BA均为可逆矩阵，而且有(AB)–1=A–1B–1当方阵AFmm，BFnn时，方阵ABFmnmn的行列式为|AB|=|BA|=|A|n|B|m若A，B是Hermite矩阵，则AB和BA均是Hermite矩阵若A，B是酉矩阵，则AB和BA均是酉矩阵。目前十二页\总数二十五页\编于四点Kronecker与矩阵等价、相似关系定理6.5（P.141）设矩阵A，B，为等价矩阵，则(AI)等价于(BI)设方阵A相似与JA，方阵B相似于JB，则(AB)相似于(JAJB)K-积特征值和特征向量定理6.6（P.142）设AFmm的特征值、特征向量分别是i，xi，BFnn的特征值、特征向量分别是

j，yj，则(AB)的特征值是ij

。特征向量是(xiyj)。(AIn)+(ImB)的特征值是i

+

j

，特征向量是(xiyj)Kronecker和，记为AB

目前十三页\总数二十五页\编于四点Kronecker与矩阵等价、相似关系推论若A，B正定（半正定），则AB和AB均正定（半正定）；

若A相似于JA，B相似于JB，则AB

相似于

JAJB，AB相似于JAJB。更一般的结果：定理6.7（P.142）

的特征值为目前十四页\总数二十五页\编于四点Kronecker积的矩阵函数性质定理6.8（P.143）设是f(z)解析函数，f(A)有意义，则

f(IA)=If(A)

f(AI)=f(A)I特例：

定理的证明思路：利用定理5.12，矩阵函数可由多项式表示。也可以直接用极限性质证明。SN(IA)=ISN(A)SN(AI)=SN(A)I目前十五页\总数二十五页\编于四点例题1设AFmn，BFst，证明rank(AB)=rank(A)rank(B)例题2（P.144），设，求(AB)的特征值和特征向量求[(AI)+(IB)]的特征值和特征向量

例题3：证明对任何方阵A,B,有目前十六页\总数二十五页\编于四点Hadamard积的性质定理6.9（Schur积定理）设A、B为同阶方阵。若A和B半正定（正定），则AB亦半正定（正定）。证明思路：利用定理3.6，有推出AB可表示为目前十七页\总数二十五页\编于四点6.3矩阵的向量化算子和K-积向量化算子Vec:Fm×n

Fmn定义（P.143）设

A=[aij]mn,则Vec(A)=(a11a21…

am1；

a12a22…

am2；…；

a1na2n…

amn)T

性质：（P.146）Vec是线性算子，并保持线性关系不变：

Vec(k1A+k2B)=k1Vec(A)+k2Vec(B)2.

定理6.10（P.146）Vec(ABC)=(CTA)VecB

3.

Vec(AX)=(I

A)VecX4.Vec(XC)=(CTI)VecX令B=X,C=I令B=X,A=I目前十八页\总数二十五页\编于四点用向量化算子求解矩阵方程思想：用Vec算子，结合Kronecker积将矩阵方程化为线性方程组求解。1、AFmm，BFnn，DFmn，AX+XB=D分析：

AX+XB=D(IA+BTI)VecX=VecDG=(IA+BTI)，方程有惟一解的充要条件是G为可逆矩阵，即A和-B没有共同的特征值。例题1（P.147）目前十九页\总数二十五页\编于四点用向量化算子求解矩阵方程2、A，XFnn，AX–XA=kX分析：

AX–XA=kX

(I

A–ATI)VecX=kVecXH=(IA–ATI)，方程(kI–

H)y=0有非零解的充要条件是k为H的特征值，k=ij。例题2求解矩阵方程AX–XA=–2X

目前二十页\总数二十五页\编于四点用向量化算子求解矩阵方程3A，B，D，XFnn，AXB=D分析：AXB=D(BTA)VecX=VecDL

=

BT

A，方程有惟一解的充要条件是L为可逆矩阵.例题3求解方程A1XB1+A2XB2=D目前二十一页\总数二十五页\编于四点例题4

设ACmm，BCnn，DFmn，证明谱半径(A)

·(B)1时方程：X=AXB+D的解为证目前二十二页\总数二十五页\编于四点用向量化算子求解矩阵微分方程